第一作者張濤男，博士生，1988年生

通信作者王建軍男，博士，教授，1956年生

制造誤差影響齒輪副嚙合的接觸有限元分析方法

張濤1，吳勇軍2, 吳靜3，王建軍1

(1.北京航空航天大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，北京100191;2. 中國運載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京100076;3. 北京動力機械研究所，北京100074)

摘要：制造誤差是影響齒輪副嚙合的重要因素，研究其作用機理對齒輪的減振設(shè)計具有重要意義。首先基于幾種典型制造誤差的結(jié)構(gòu)形式提出了一般的精確建模方法，以一對漸開線直齒輪為例，利用接觸有限元分析方法對嚙合過程進行仿真，發(fā)現(xiàn)理想齒輪副和含誤差齒輪副嚙合過程中的角速度、動態(tài)接觸力特性表現(xiàn)出顯著差異。然后進行單項誤差影響齒輪振動的機理研究，分別以齒廓誤差和齒距誤差為對象，利用傅里葉變換量化分析了不同加工公差等級下的單項制造誤差對齒輪副動態(tài)傳遞誤差、角加速度特性的影響規(guī)律。研究表明：所提出的建模方法可以模擬任意形式的微小量級的制造誤差，并體現(xiàn)在接觸有限元分析中。不但能夠用于精細化研究制造誤差對齒輪副嚙合過程的影響，還可以通過量化各項嚙合特性分析單項誤差影響齒輪振動的作用機理，并指導(dǎo)齒輪的減振設(shè)計和精度設(shè)計等。

關(guān)鍵詞：制造誤差；齒輪副；動態(tài)嚙合特性；接觸有限元分析；動態(tài)傳遞誤差；角加速度

收稿日期：2013-10-21修改稿收到日期：2013-12-24

中圖分類號:TH132文獻標志碼：A

基金項目：國家自然科學(xué)

Analysis of machining errors’ effects on gear pair meshing using contact finite element method

ZHANGTao1,WUYong-jun2,WUJing3,WANGJian-jun1(1. School of Jet propulsion, Beijing Univ., of Aeronautics & Astronautics, Beijing 100191, China;2. China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing 100076, China;3. Beijing Power Machinery Institute, Beijing 100074, China)

Abstract:Machining errors have significant effect on gear pair meshing, it is necessary to study its mechanism for vibration reduction design of gear pairs. Based on the analysis of several kinds of machining errors, a precise modeling method was presented. On this basis, the meshing process of one spur gear pair as an example was simulated using the contact finite element method. Its angular velocity and dynamic meshing force showed significant differences between an ideal gear pair and a gear pair with machining errors. Then, the influence mechanisms of profile error and pitch error on gear vibration were studied, respectively. Quantitative analysis of meshing characteristics including dynamic transmission error and angular acceleration was performed using FFT. The results showed that the proposed modeling method can be used to simulate arbitrary form of machining errors with a small order and this ability is reflected in the contact finite element analysis; it is effective not only to investigate how machining errors influence gear pair meshing process, but also to study influence mechanism of single machining error. The proposed method could be used to guide the anti-vibration design and accuracy design of gear pairs.

Key words:machining errors; gear pairs; dynamic meshing characteristics; contact finite element analysis; dynamic transmission error; angular acceleration

傳動平穩(wěn)、可靠性高等優(yōu)點使齒輪傳動系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于機械、航空航天領(lǐng)域，其動力和運動通過輪齒共軛齒面間連續(xù)的相互作用而傳遞，動力學(xué)行為與制造誤差密切相關(guān)[1-2]。因此，研究制造誤差對齒輪副動態(tài)嚙合特性的影響具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對此進行了大量的實驗研究，會田俊夫等[3]研究了齒輪精度與性能的關(guān)系，蔡康洪等[4]、葛藤等[5]、徐宇東[6]給出了制造誤差對齒輪振動噪聲影響的一些規(guī)律，廣泛的實際工程應(yīng)用也積累了豐富的設(shè)計經(jīng)驗。但實際齒輪曲面是多種形式誤差的綜合，實驗研究方法不能說清單項誤差影響齒輪傳動的機理。另一方面，在航空航天領(lǐng)域中，出現(xiàn)了一些新型結(jié)構(gòu)形式的齒輪，在高轉(zhuǎn)速下會表現(xiàn)出很強的非線性特性，已有的實驗數(shù)據(jù)、經(jīng)驗參數(shù)不再適用，再進行實驗研究的成本高、難度大，需要通過數(shù)值方法進行研究。

目前，制造誤差影響齒輪副動態(tài)嚙合特性的數(shù)值研究方法主要有三種。

一是從沖擊理論的角度出發(fā)，由嚙合基節(jié)誤差計算嚙合沖擊力，通過建立分析模型和力學(xué)模型計算沖擊作用下的動態(tài)響應(yīng)。王玉芳等[7]、姚文席等[8]利用該方法研究了由嚙合沖擊產(chǎn)生的齒輪振動，詳細討論了各種誤差對加速度噪聲的影響。

二是將齒輪系統(tǒng)作為彈性的機械振動系統(tǒng)，通過建立齒輪軸系的有限元模型，利用彈簧模型模擬齒輪副的嚙合剛度，把制造誤差引起的靜態(tài)傳遞誤差STE(Static Transmission Error)作為激勵，求解系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。Ozguven等[9]利用該方法研究了STE對高速齒輪動態(tài)特性的影響，Kahraman[10]進行了多級齒輪的動態(tài)響應(yīng)。

三是以彈性接觸動力學(xué)基本理論為基礎(chǔ)，利用靜態(tài)接觸有限元研究制造誤差對齒輪副嚙合狀態(tài)的影響。林騰蛟等[11]、Li等[12-13]利用該方法研究了制造誤差對輪齒接觸強度和彎曲強度的影響。

上述研究方法基于大量簡化和假設(shè)研究了制造誤差對齒輪振動噪聲的影響，要么將其當(dāng)作單純的位移激勵要么只能研究某種狀態(tài)下的齒輪受力情況，而不能具體描述制造誤差對齒輪共軛齒面嚙合過程的影響。因此，有必要提出一種數(shù)值方法，能夠在不對傳動結(jié)構(gòu)進行簡化和假設(shè)的前提下，研究制造誤差對齒輪副連續(xù)嚙合過程的影響。吳勇軍等[14-18]提出了一種基于接觸有限元的高保真動力學(xué)分析方法，可以考慮嚙合過程中的時變剛度、滑動摩擦等多種因素，并通過實驗驗證了其有效性，但研究過程中均將齒廓假設(shè)為理想的標準漸開線齒廓。本文將在這種分析方法的基礎(chǔ)上研究制造誤差對齒輪副動態(tài)嚙合特性的影響。

首先基于幾種典型制造誤差的結(jié)構(gòu)形式提出了一般的建模方法，利用接觸有限元分析方法進行嚙合過程仿真，對比分析了理想齒輪副和含誤差齒輪副的角速度、接觸力特性。然后對單項誤差的影響進行研究，分別以齒廓誤差和齒距誤差為對象，利用傅里葉變換量化分析了單項制造誤差對齒輪副動態(tài)傳遞誤差、角加速度特性的影響規(guī)律，討論了單項誤差影響齒輪振動的機理，并得到一些重要結(jié)論。

1制造誤差與建模方法

齒輪制造誤差主要來源于機床傳動鏈的周期誤差和刀具誤差，在《漸開線圓柱齒輪精度標準》中，根據(jù)各項加工誤差對使用性能的影響，將齒輪公差劃分為3組，已有研究表明[4-5]：對齒輪嚙合狀態(tài)影響較大的公差項主要有齒形誤差、周節(jié)誤差和基節(jié)誤差，其他公差項則影響不大。限于篇幅，只討論以上3種誤差的形式特點。

圖1　齒距偏差示意圖 Fig.1 Definition of pitch deviation

圖2　基節(jié)偏差示意圖 Fig.2 Definition of base circle pitch deviation

圖3　齒形誤差示意圖 Fig.3 Definition of profile deviation

圖4　制造誤差示意圖 Fig.4 Definition ofmachining error

(1)齒距誤差：在分度圓上的實際齒距與公稱齒距之差，如圖1所示。該項誤差本質(zhì)是實際齒廓在圓周方向的位置偏差，理想嚙合位置的偏移會破壞齒輪副嚙合狀態(tài)。

(2)基節(jié)誤差：實際基節(jié)與公稱基節(jié)之差，如圖2所示。形式特點與齒距偏差類似。

(3)齒形誤差：在端截面上，齒形工作部分內(nèi)，包容實際齒形且距離為最小的兩條設(shè)計齒形間的法向距離，如圖3所示。該誤差產(chǎn)生的原因是實際加工的整條齒形曲線凹凸不平，與光滑的設(shè)計齒形曲線發(fā)生了偏差，因此該誤差的本質(zhì)是實際齒形與設(shè)計齒形在形狀上的差異。

分析結(jié)果表明，幾乎所有制造誤差項均可看成如圖4所示的兩種偏差的合成，一種是理想齒廓(虛線)在圓周方向上至過渡齒廓(點劃線)的偏移，稱為齒距偏差；另一種是過渡齒廓與實際齒廓(實線)在形狀上的偏差，稱為齒廓偏差[1]。

根據(jù)上述認識，實際齒輪的制造誤差建?？梢苑譃閮刹?。第一步是進行理想齒廓在圓周方向的偏移，按照檢測報告中的各齒實際偏差值進行偏移得到含齒距誤差的過渡齒廓；第二步是生成實際齒廓，根據(jù)齒廓曲線檢測報告，將過渡齒廓的各點在法線方向上進行相應(yīng)偏差值的偏移，即可得到含齒距誤差和齒廓誤差的實際齒廓。完成實際齒廓建模后，沿實際螺旋線拉伸即可得到相應(yīng)的齒輪模型。

這種建模方法不需要進行簡化和假設(shè)，可以真實模擬任意形式、大小的制造誤差。得到的高保真幾何模型中的制造誤差連續(xù)分布在整個共軛齒面上，如圖4所示，并作為連續(xù)的位移激勵影響齒輪副整個嚙合過程。

2接觸有限元建模及分析方法

2.1嚙合齒輪副有限元建模

齒輪制造誤差量級較小，為避免數(shù)值誤差等因素，本文利用APDL語言直接在商用有限元軟件ANSYS中進行幾何建模和網(wǎng)格劃分。以一對漸開線直齒輪副為例[16]進行分析，主要參數(shù)見表1。首先假設(shè)各輪齒齒距偏差在公差帶內(nèi)隨機分布，如圖5所示；齒廓各點與理想齒廓的形狀偏差按正弦分布，如圖6所示?；诘?節(jié)提出的方法進行建模。實際齒輪建模時無需進行假設(shè)，按照檢測報告建模即可然后利用8節(jié)點六面體單元對齒輪副實體模型進行離散，得到如圖7所示的嚙合齒輪副有限元模型，該模型共計65 664個實體單元。為便于施加載荷和約束，在輪體內(nèi)圈建立共計3456個殼單元，并將其鋼化，具體為：約束主、從動輪內(nèi)圈結(jié)點繞其軸線的轉(zhuǎn)動自由度以外的其他所有自由度，在主動輪內(nèi)圈殼單元上施加驅(qū)動轉(zhuǎn)速Ω(314.15 rad/s)，在從動輪內(nèi)圈殼單元上施加負載扭矩M(143.6 N·m)。

表1　直齒輪副主要參數(shù)

圖5　齒距偏差分布 Fig.5 Distribution of pitch deviation

圖6　齒廓偏差分布 Fig.6 Distribution of profile deviation

圖7　嚙合齒輪副有限元模型 Fig.7 FE model of engaged gear pairs

2.2嚙合過程接觸有限元分析

在已建立精確的嚙合齒輪副有限元模型基礎(chǔ)上，可進行齒輪副嚙合過程的有限元分析。該方法在文獻[14-18]中進行了詳細敘述，這里只做簡單介紹。

由嚙合原理可知，齒輪副每一時刻的接觸狀態(tài)與之前時刻的接觸狀態(tài)以及齒廓線的實際幾何形狀密切相關(guān)，且可以根據(jù)前面的已知接觸狀態(tài)進行確定，為了分析齒輪副連續(xù)嚙合過程中的動態(tài)特性，須求得齒輪副連續(xù)嚙合過程中每個時刻的動力學(xué)參數(shù)。

首先將齒輪副整個嚙合過程離散成時間序列：0,Δt,2Δt,…,t,t+Δt,…,T，其中某一時刻t的動態(tài)接觸模型如圖8所示。然后根據(jù)虛位移原理利用更新拉格朗日格式的增量形式分別建立動力學(xué)方程，任一時刻主、從動齒輪的運動方程可表示為：

(1)

其中:

(2)

(3)

(4)

圖8　齒輪副動態(tài)接觸模型 Fig.8 Dynamic contact model of gear pairs

時刻t和時刻t+Δt通過接觸力相互聯(lián)系，利用罰函數(shù)可以求解嚙合過程的等效接觸力向量t+ΔtFC為

(5)

在分析得到齒輪副動態(tài)嚙合過程的動力學(xué)方程及等效結(jié)點接觸力向量t+ΔtFC后，將t+ΔtFC代入動力學(xué)方程(1)即可進行方程的求解。本文利用Ls-Dyna軟件采用二步形式的中心差分法對各時刻進行求解，得到了整個嚙合過程的各個力學(xué)參量。

在齒輪副嚙合過程中，任意時刻t處的制造誤差通過改變此時接觸點對間的相對位移影響接觸力t+ΔtFC，然后作為激勵和時刻t的嚙合狀態(tài)一起決定了時刻t+Δt的動力學(xué)響應(yīng)，這就是制造誤差影響齒輪副嚙合過程的機理描述。

3齒輪副動態(tài)嚙合過程分析

分別對理想的嚙合齒輪副有限元模型和含制造誤差的嚙合齒輪副有限元模型進行動力學(xué)求解，提取系統(tǒng)響應(yīng)進入穩(wěn)態(tài)后的動態(tài)接觸力、從動輪角速度信號，對比分析制造誤差對嚙合過程的影響。

研究表明[1]，具有時變剛度激勵的齒輪系統(tǒng)是一類典型的參數(shù)振動系統(tǒng)，其動態(tài)響應(yīng)具有一般參數(shù)振動系統(tǒng)的響應(yīng)特性，可根據(jù)齒輪副的基本參數(shù)得到齒輪副扭轉(zhuǎn)振動的平均等效頻率為2 409 Hz左右，嚙合頻率為1 800 Hz[18]。

圖9　理想齒輪副角速度響應(yīng) Fig.9 Angular velocity of driven gear without error

圖9為理想齒輪副從動輪的時域角速度響應(yīng)信號，圖10為含齒廓誤差的從動輪角速度響應(yīng)信號。兩圖中的曲線波動周期均為0.55 ms，與嚙合周期一致；均值同為設(shè)計角速度，只是后者波動幅值接近前者的2倍，這是因為制造誤差的存在增大了系統(tǒng)激勵，在系統(tǒng)剛度幾乎不變的情況下，從動輪角速度波動更加劇烈。

圖10　含齒廓誤差齒輪副角速度響應(yīng) Fig.10 Angular velocity of driven gear with profile error

圖11為理想齒輪副的動態(tài)接觸力響應(yīng)信號，圖12為含齒距誤差的齒輪副動態(tài)接觸力響應(yīng)信號。圖11中，輪齒彈性變形引起的嚙合沖擊使動態(tài)接觸力在均值(扭矩/作用半徑)上下波動；而由于齒距誤差的存在，圖12的接觸力波動范圍急劇增加，出現(xiàn)了0 N和9 000 N，這對應(yīng)了齒輪副嚙合過程中的“脫齒”和“雙邊嚙合”現(xiàn)象。還可以發(fā)現(xiàn)，前者的曲線波動周期為0.55 ms，與嚙合周期一致；后者曲線波動周期則為0.42 ms，該頻率恰好是齒輪副扭轉(zhuǎn)振動的平均等效頻率，說明此時的主導(dǎo)振動為齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動。

圖11　理想齒輪副動態(tài)接觸力 Fig.11 Contact force of gear pairs without error

圖12　含齒距誤差齒輪副動態(tài)接觸力 Fig.12 Contact force of gear pairs with pitch error

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，制造誤差的引入對齒輪副嚙合過程產(chǎn)生了較為顯著的影響，不僅會導(dǎo)致齒輪振動、動態(tài)接觸力的增大，在一定情況下還會改變振動響應(yīng)的主導(dǎo)頻率成分。因此，本文提出的建模方法和有限元分析方法是可行的，能夠描述制造誤差影響齒輪副嚙合過程的作用機理，而且不會因為量級較小而被忽略掉。

4單項制造誤差對嚙合特性的影響

傳統(tǒng)實驗方法只能對綜合誤差進行研究，而本文提出的這種方法則可對任意形式的誤差形式進行建模，如果只模擬一種形式的制造誤差，就可以分析單項制造誤差影響齒輪嚙合的機理，開展這種研究可以彌補傳統(tǒng)實驗方法的不足。

通過顯示積分的接觸有限元分析方法能夠求解嚙合過程中任意時刻的動力學(xué)參數(shù)，不僅可以對單項制造誤差作用下的齒輪副嚙合過程進行描述，還能對各種嚙合特性進行定量分析，如加速度、速度和應(yīng)力等。

本文選取動態(tài)傳遞誤差和角加速度兩種特性作為評價指標進行對比分析。其中動態(tài)傳遞誤差DTE(Dynamic Transmission Error)物理意義為齒輪副實際角位移與理論角位移的偏差，能夠直接反映齒輪副傳動的準確性，并且也是齒輪振動、噪聲產(chǎn)生的根源；角加速度則與齒輪副的振動噪聲密切相關(guān)[16-18]，工程中常用該指標進行齒輪振動評價。

首先按表2所示的齒輪精度表[19]進行含單項誤差的嚙合齒輪副有限元建模，不同精度等級下的齒輪僅存在誤差大小的差異，誤差分布形式等均保持一致。然后基于接觸有限元方法進行嚙合過程仿真，提取DTE和角加速度的時域響應(yīng)信號，并利用快速傅里葉變換技術(shù)將時域響應(yīng)信號轉(zhuǎn)換到頻域進行分析，研究齒輪振動的主要頻率成分和對應(yīng)的響應(yīng)幅值，定量分析制造誤差對嚙合特性的影響，進而討論單項制造誤差影響齒輪振動的作用機理。

表2　齒輪精度數(shù)值表

4.1理想齒輪副嚙合特性分析

對理想齒輪副嚙合時的動態(tài)傳遞誤差和從動輪角加速度時域信號進行頻譜分析如圖13、圖14所示，其頻率成分主要為嚙合頻率f0及其2倍頻2f0。另外，在2 500 Hz處由于激起了齒輪副扭轉(zhuǎn)振動，振動響應(yīng)幅值較大；10 795 Hz處則是嚙合頻率的6倍頻激起了單個齒輪的彎曲振動，但因為6階的諧波分量較小，振動響應(yīng)幅值也就不大。

因此，在利用Campbell圖進行齒輪共振分析時，嚙合頻率及其倍頻不僅要避開單個齒輪的低階固有頻率，還要避開扭振固有頻率才能有效防止共振的發(fā)生。

圖13　理想齒輪副動態(tài)傳遞誤差頻譜 Fig.13 DTE response of gear pairs without error

圖14　理想齒輪副角加速度頻譜 Fig.14 Angular acceleration response of gear pairs without error

4.2齒廓誤差對嚙合特性的影響

圖15、16分別為加工精度8級的含齒廓誤差齒輪副DTE、角加速度響應(yīng)特性頻譜圖。不同公差等級下，齒廓偏差對齒輪副嚙合特性的影響規(guī)律見表3和表4。綜合分析圖15、16和表3、4可以發(fā)現(xiàn)：

圖15　含齒廓誤差的齒輪副動態(tài)傳遞誤差頻譜 Fig.15 DTE response of gear pairs with profile error

(1)在引入齒廓誤差后，齒輪副整體響應(yīng)特性和理想齒輪副相比變化不大，仍以嚙合頻率及其2倍頻為主；

(2)隨齒廓偏差的增大，齒輪副DTE、角加速度響應(yīng)在主要頻率成分處幅值增加，當(dāng)加工精度較低時，齒廓偏差取代輪齒彈性變形成為響應(yīng)齒輪振動的主要因素；

(3)齒輪系統(tǒng)本質(zhì)上是參數(shù)振動系統(tǒng)，齒廓誤差的引入改變了齒輪副的時變嚙合剛度分布，隨齒廓誤差的增大，扭振頻率有所降低。

圖16　含齒廓誤差的齒輪副角加速度頻譜 Fig.16 Angular acceleration response of gear pairs with profile error

公差等級無誤差5678扭振頻率24982494249724502402(Hz)及幅值7.4E-61.7E-52.8E-52.4E-51.8E-5f0處幅值8.8E-51.2E-41.3E-41.5E-41.7E-42f0處幅值1.7E-52.3E-52.5E-52.8E53.0E-5

表4　不同齒廓偏差的齒輪副角加速度響應(yīng)(rad/s 2)

4.3齒距誤差對嚙合特性的影響

圖17、18分別為加工精度5級的含齒距誤差齒輪副DTE、角加速度響應(yīng)特性頻譜圖。不同公差等級下，齒距偏差對齒輪副嚙合特性的影響規(guī)律見表5和表6。

表5　不同齒距偏差的齒輪副DTE響應(yīng)(rad)

圖17　含齒距誤差的齒輪副動態(tài)傳遞誤差頻譜 Fig.17 DTE response of gear pairs withpitch error

圖18　含齒距誤差的齒輪副角加速度頻譜 Fig.18 Angular acceleration response of gear pairs withpitch error

公差等級無誤差5678扭振頻率24982470237923262160(Hz)及幅值1.8E33.1E43.4E43.1E43.4E4f0處幅值1.1E41.3E41.3E42.0E42.3E42f0處幅值8.5E36.5E33.9E31.2E31.7E3

綜合分析圖17、18和表5、6可以發(fā)現(xiàn)：

(1)在引入齒距偏差后，齒輪副整體響應(yīng)特性發(fā)生了較大變化，扭振頻率處響應(yīng)迅速增加，成為主導(dǎo)振動之一；

(2)齒距誤差的存在破壞了齒輪的連續(xù)嚙合狀態(tài)，尤其是在輪齒嚙合交替處會產(chǎn)生巨大的嚙合沖擊，并可能伴隨“脫齒”和“雙邊沖擊”，引起齒輪振動的迅速增大。

(3)隨齒距誤差增加，齒輪副扭振頻率有所降低，2倍頻響應(yīng)逐漸減小，振動響應(yīng)成分以嚙合頻率和扭振頻率為主。

因此，本節(jié)的研究表明不同形式的制造誤差對齒輪振動的影響機理不同。齒廓誤差“平穩(wěn)”地影響整個嚙合過程，使振動有所增加，而齒距誤差則是影響齒輪副的嚙入嚙出瞬間，引起嚙合狀態(tài)的突變，并可能會產(chǎn)生“脫齒”和“雙邊嚙合”等現(xiàn)象，甚至激起齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動。

接觸有限元方法能夠?qū)X輪副嚙合特性進行定量分析，不僅可以通過與理想齒輪副對比得到影響齒輪振動的主要因素用來指導(dǎo)齒輪的減振實際，還能評價不同加工精度下的齒輪振動大小用于指導(dǎo)齒輪的精度設(shè)計。

另一方面，齒輪副扭轉(zhuǎn)振動是一個參數(shù)振動問題，共振頻率與嚙合剛度關(guān)聯(lián)密切，制造誤差的存在改變了接觸點對間相對位移，對嚙合剛度造成了一定的影響，扭振頻率隨之發(fā)生變化。

5結(jié)論

通過上述研究得到以下幾點結(jié)論：

(1)本文提出的建模方法可以對任意形式的制造誤差進行模擬，模型中的制造誤差連續(xù)分布在整個齒廓上；

(2)基于接觸有限元的動力學(xué)分析方法可以描述制造誤差對整個連續(xù)嚙合過程的影響，可對單項誤差影響齒輪振動的作用機理進行研究；

(3)該方法能夠定量研究各種嚙合特性，研究結(jié)論可用于指導(dǎo)齒輪的減振設(shè)計和精度設(shè)計；

(4)齒輪在進行共振分析時，還應(yīng)考慮齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動形式。

參考文獻

[1]李潤方，王建軍. 齒輪系統(tǒng)動力學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，1997.

[2]Smith J D. Gear noise and vibration [M]. Marcel Dekker Inc, New York, 2003.

[3]會田俊夫. 齒輪的精度與性能[M]. 北京：中國農(nóng)業(yè)機械出版社，1985.

[4]蔡康洪，章宋誠. 齒輪誤差對齒輪噪聲的影響[J]. 工具技術(shù)，1980(6)：18-25.

CAI Kang-hong, ZANG Song-cheng. The influence of machining errors on gear noise[J]. Tool Engineering, 1980(6)：18-25.

[5]葛藤，宮鎮(zhèn)，王仲章. 齒輪及齒輪箱噪聲、振動研究的現(xiàn)狀[J]. 噪聲與振動控制，1989,9(1)：26-30.

GE Teng, GONG Zheng, WANG Zhong-zang. The vibration and noise research situation of gear and gear box[J]. Noise and Vibration Control, 1989,9(1)：26-30.

[6]徐宇東. 轎車變速箱齒輪噪聲與制造誤差關(guān)系的作用機理分析和試驗研究[D]. 吉林：吉林大學(xué)，2010.

[7]王玉芳，童忠鈁. 齒輪誤差對齒輪加速度噪聲的影響[J]. 振動、測試與診斷，1993(4)：5-14.

WANG Yu-fang, DONG Zhong-fang. The influence of machining errors on the gear acceleration noise[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 1993(4)：5-14.

[8]姚文席，魏任之. 漸開線直齒輪的嚙合沖擊研究[J]. 振動與沖擊，1990,9(4)：57-61.

YAO Wen-xi, WEI Ren-zhi. The meshing impact study of involute spur gear[J]. Journal of Vibration and Shock，1990,9(4)：57-61.

[9]Ozguven, Houser D R. Dynamic analysis of high-speed gears by using loaded static transmission error [J]. Journal of Sound and Vibration, 1988,125(1)：71-83.

[10]Kahraman A. Dynamic analysis of a multi-mesh helical gear Train. Journal of mechanical design [J].1994,116: 706-712.

[11]林騰蛟，楊妍妮，李潤方，等. 弧齒錐齒輪傳動內(nèi)部動態(tài)激勵數(shù)值仿真[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報，2009(6)：609-613.

LIN Teng-jiao, YANG Yan-ni, LI Run-fang, et al. Numerical simulation of the internal dynamic excitation of a spiral bevel gear transmission[J]. Journal of Chongqing University, 2009(6)：609-613.

[12]LI Shu-ting. Effects of machining errors, assembly errors and tooth modifications on loading capacity, load-sharing ratio and transmission error of a pair of spur gears [J]. Mechanism and Machine Theory, 2007, 42(6): 698-726.

[13]LI Shu-ting. Finite element analyses for contact strength and bending strength of a pair of spur gears with machining errors, assembly errors and tooth modifications [J]. Mechanism and Machine Theory, 2007, 42(1): 88-114.

[14]吳勇軍，王建軍. 一種考慮齒輪副連續(xù)嚙合過程的接觸有限元動力學(xué)分析方法[J]. 航空動力學(xué)報，2013(5)：1192-1200.

WU Yong-jun,WANG Jian-jun. A contact finite element method for dynamic analysis of continuous engaged gear pairs [J]. Journal of Aerospace Power, 2013(5)：1192-1200.

[15]吳勇軍，王建軍，韓勤鍇，等. 基于接觸有限元分析的斜齒輪齒廓修形與實驗[J]. 航空動力學(xué)報，2011(2)：409-415.

WU Yong-jun,WANG Jian-jun,HAN Qin-kai,et al. Tooth profile modification of helical gears and experimental study based on finite element contact analysis[J]. Journal of Aerospace Power, 2011(2)：409-415.

[16]WU Yong-jun，Wang Jian-jun，HAN Qin-kai. Contact finite element method for dynamic meshing characteristics analysis of continuous engaged gear drives [J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2012, 26(6): 1671-1685.

[17]WU Yong-jun，Wang Jian-jun，HAN Qin-kai. Static/dynamic contact FEA and experimental study for tooth profile modification of helical gears [J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2012, 26(5): 1409-1417.

[18]吳勇軍，梁躍，楊艷，等. 齒輪副動態(tài)嚙合特性的接觸有限元分析[J]. 振動與沖擊，2012,31(19)：61-67.

WU Yong-jun，LIANG Yue, YANG Yan, et al. Dynamic meshing characteristics study of gear pairs using contact finite element analysis method [J]. Journal of Vibration and Shock，2012,31(19)：61-67.

[19]機械設(shè)計手冊委員會. 機械設(shè)計手冊-齒輪傳動[M]. 北京：機械工業(yè)出版社，2007.