董 克，陳圓圓

(1.安徽廣播電視大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院 合肥 230022;2.安徽廣播電視大學(xué) 教育科學(xué)學(xué)院,合肥 230022)

近年來，市場競爭愈加激烈，企業(yè)的利潤率呈下降趨勢。然而，企業(yè)的設(shè)備維護(hù)成本在總成本中所占的比重越來越大[1]。自20世紀(jì)90年代以來，更多的企業(yè)傾向于租賃設(shè)備從事生產(chǎn)活動(dòng)，代替以往自己購置設(shè)備的方式。因此，租賃設(shè)備的維護(hù)問題已逐漸成為學(xué)者和企業(yè)研究的熱點(diǎn)問題。

當(dāng)前，關(guān)于租賃設(shè)備的維護(hù)活動(dòng)主要有事后維修和預(yù)防維護(hù)兩種[2-3]。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，小修是最常用的維修方法[4]。已有文獻(xiàn)關(guān)于設(shè)備維護(hù)優(yōu)化方面的研究，主要分為如下三類：(1) 順序預(yù)防維護(hù)策略模型。Lin等提出了期望總成本率最小化的混合故障率順序預(yù)防維護(hù)策略模型[5]；Lin等還提出了考慮兩種故障模型的混合故障率順序維護(hù)策略模型[6]；文獻(xiàn)[7]考慮了對二手產(chǎn)品進(jìn)行升級，并在可靠性達(dá)到限制時(shí)對二手產(chǎn)品進(jìn)行預(yù)防維護(hù)策略模型；Sidibe等研究了在無限時(shí)間窗內(nèi)的初始年齡不確定的二手產(chǎn)品順序預(yù)防維護(hù)問題[8]。其他關(guān)于順序預(yù)防維護(hù)方面的研究，可參考文獻(xiàn)[9-12]。(2) 周期預(yù)防維護(hù)模型。Pongpech等研究了帶有懲罰成本和維修時(shí)間限制的出租方維護(hù)成本最小化的周期維護(hù)策略[13]；Yeh和Chen提出了基于故障率為Weibull公布的租賃設(shè)備周期預(yù)防維護(hù)策略模型[14]；董克等基于設(shè)備的歷史故障數(shù)據(jù)信息，提出了周期預(yù)防維護(hù)策略模型,研究了考慮設(shè)備的租賃延遲的周期維護(hù)策略[15-18]。(3)順序維護(hù)與周期維護(hù)相結(jié)合的預(yù)防維護(hù)模型。金琳等研究了以出租方成本最小化為目標(biāo)的等周期與變周期相結(jié)合的多階段預(yù)防維護(hù)策略模型[19]；Zhou等研究了周期與順序相結(jié)合的租賃設(shè)備多階段維護(hù)策略模型[20]。

已有關(guān)于設(shè)備維護(hù)策略方面的研究，預(yù)防維護(hù)成本主要為常數(shù)和線性兩種形式。但是，在實(shí)際應(yīng)用中，預(yù)防維護(hù)成本可能為多種形式。針對此問題，本文提出一種預(yù)防維護(hù)成本為非線性形式的策略模型，該模型與已有研究的區(qū)別在于：(1) 考慮了預(yù)防維護(hù)成本的非線性形式；(2) 給出了具體的尋找出租方成本最小的優(yōu)化算法；(3)當(dāng)預(yù)防維護(hù)成本函數(shù)中的參數(shù)c取值為零時(shí)，模型退化為線性情形，文獻(xiàn)[13]所述情形則為本文所述模型的一個(gè)特例。最后，案例研究表明該方法的有效性，并對模型中參數(shù)靈敏度進(jìn)行了分析，研究結(jié)果可為出租方進(jìn)行設(shè)備維護(hù)決策提供理論依據(jù)。

一、問題描述

在設(shè)備的租賃過程中，主要涉及三個(gè)因素：出租方、承租方和合同。作為出租方，通過設(shè)備的租賃而獲得租金收益，但是同時(shí)要負(fù)責(zé)對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)。作為承租方，在付出了租金以后，將會(huì)獲得設(shè)備在租賃期限內(nèi)的使用權(quán)。如果在租賃期內(nèi)，設(shè)備發(fā)生故障停機(jī)，將會(huì)給承租方的生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)帶來一定的損失。因此，在租賃合同中還包含了對出租方的懲罰條款，來彌補(bǔ)設(shè)備發(fā)生故障停機(jī)給承租方可能帶來的經(jīng)濟(jì)損失。文中主要研究了如下兩類懲罰成本：

懲罰成本1：在租賃期L內(nèi)，當(dāng)設(shè)備小修時(shí)間Y在規(guī)定的時(shí)間τ之外時(shí)，將產(chǎn)生懲罰成本(Y-τ)Ct。當(dāng)維修時(shí)間Y在規(guī)定時(shí)間τ之內(nèi)時(shí)，將不產(chǎn)生懲罰成本。

懲罰成本2：在租賃期L內(nèi)，每一次故障的發(fā)生將會(huì)產(chǎn)生故障懲罰成本。

從出租方的視角而言，設(shè)備故障將會(huì)產(chǎn)生懲罰成本，同時(shí)故障維修亦將會(huì)產(chǎn)生一定的成本。若對設(shè)備采取預(yù)防維護(hù)，在產(chǎn)生預(yù)防維護(hù)成本的同時(shí)，將會(huì)使得設(shè)備的故障維修成本以及故障懲罰成本減少。如何在它們之間做出權(quán)衡，以獲得出租方期望總成本的最優(yōu)值，是學(xué)者們和出租方最關(guān)心的問題，亦是本文將要研究的主要問題。

二、數(shù)學(xué)模型

模型假設(shè)：

(1)故障強(qiáng)度函數(shù)為λ0(t)，且是關(guān)于時(shí)間t的增函數(shù)；

(2)當(dāng)租賃設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，對設(shè)備進(jìn)行小修，使得設(shè)備“恢復(fù)如舊”，小修不改變設(shè)備的故障強(qiáng)度；

(3) 設(shè)備預(yù)防維護(hù)時(shí)間忽略不計(jì)；

(4)設(shè)備租賃期限為L。

(一)預(yù)防維護(hù)成本和故障小修成本

若出租方在等周期時(shí)間T時(shí)，對租賃設(shè)備進(jìn)行預(yù)防維護(hù)，則在租賃期限L內(nèi)的預(yù)防維護(hù)次數(shù)k的值為：

(1)

預(yù)防維護(hù)時(shí)間節(jié)點(diǎn)為tj(tj=T,2T,…,kT)，第j次預(yù)防維護(hù)活動(dòng)，使得租賃設(shè)備的故障強(qiáng)度減少δj，其中δj滿足：

(2)

由式(2)可知，在進(jìn)行周期預(yù)防維護(hù)后，故障強(qiáng)度函數(shù)可表示為如下形式：

(3)

其中：t0=0，δ0=0。

在租賃期限L內(nèi)，若不考慮預(yù)防維護(hù)，則設(shè)備的期望故障次數(shù)為

(4)

若考慮到進(jìn)行預(yù)防維護(hù)，則設(shè)備的期望故障次數(shù)為

(5)

租賃設(shè)備的預(yù)防維護(hù)成本表達(dá)式為：Cp(δ)=a+bδ+cδ2(a，b，c>0)，由固定成本和可變成本兩部分組成。

則在租賃期限L內(nèi)，預(yù)防維護(hù)成本為

(6)

若在租賃期L內(nèi)，對租賃設(shè)備實(shí)施預(yù)防維護(hù)活動(dòng)后，它的故障小修期望總成本為：

TCf=CfΛ(L)。

(7)

(二)懲罰成本

在租賃期間，當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，將對承租方的生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)產(chǎn)生一定程度的影響。此時(shí)，承租方將對出租方做出相應(yīng)的懲罰，包括懲罰成本1和懲罰成本2。

令Y表示設(shè)備發(fā)生故障后的小修維修時(shí)間，則由式(5)可得，期望懲罰成本1為：

(8)

期望懲罰成本2為：

(9)

從式(6)，(7)，(8)和(9)，可得出租方在租賃期[0,L]內(nèi)，共執(zhí)行k次周期預(yù)防維護(hù)活動(dòng)的期望總成本為：

(10)

(11)

期望總成本的最優(yōu)值問題，即為尋找式(11)的最優(yōu)值問題。下面將對式(11)的期望總成本函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以期獲得出租方的期望總成本的最優(yōu)值。

三、最優(yōu)周期預(yù)防維護(hù)策略

第一步：固定T，k(T)T

(12)

(13)

算法步驟：

Step 1:初始化：k=1；

Step 2:估計(jì)Tmin=L/(k+1)，Tmax=L/k的值；

Step 4:k←k+1。

Else執(zhí)行 step 5。

四、算例分析

假定出租方對某型號打印設(shè)備進(jìn)行租賃，并且擬用上述文中所提出的維護(hù)方法對設(shè)備進(jìn)行維護(hù)。假設(shè)打印設(shè)備被維護(hù)主要部件的故障率分布服從二參數(shù)的Weibull分布：

，

(14)

其中,α、β分別為尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。參數(shù)α、β的值可以根據(jù)設(shè)備運(yùn)行的歷史故障數(shù)據(jù)，利用最大似然估計(jì)方法得出[21-22]。

假定租賃設(shè)備的維修時(shí)間服從二參數(shù)的Weibull分布：

,0≤y<∞。

(15)

參數(shù)的取值如下：L=5(年)，Cf=100 (＄)，Ct=300 (＄)，Cn=200 (＄)，τ=2 (天)，m=0.5，φ=0.5，a=100 (＄)，b=50 (＄)，c=30 (＄)。

表1 k取不同值時(shí)得到的T*(k)和M(T*(k),

圖1 當(dāng)β=2時(shí)，k取不同值時(shí)，對應(yīng)的T和M(T,

圖2 當(dāng)β=2.5時(shí)，k取不同值時(shí)，對應(yīng)的T和M(T,

在表2中，給出了當(dāng)形狀參數(shù)β分別取2和2.5時(shí)最優(yōu)期望總成本取值及相應(yīng)的參數(shù)取值?？紤]了四種情形：(1) 無懲罰成本1和2；(2) 僅有懲罰成本1；(3) 僅有懲罰成本2；(4) 懲罰成本1和2都存在的情形。從表2中可以得出，當(dāng)β=2時(shí)，情形(2)比情形(1)的期望總成本增加，并且最優(yōu)維修時(shí)間間隔期T*變短。情形(3)與情形(2)相似，并且情形(3)時(shí)的期望總成本值增加。情形(4)，維修次數(shù)增加，維修時(shí)間間隔期T*比情形(2)、(3)時(shí)變得更小，同時(shí)期望總成本亦增加。當(dāng)β=2.5時(shí)，情況與上述類似，并且預(yù)防維護(hù)活動(dòng)變得比β=2更頻繁，因?yàn)楣收蠌?qiáng)度變大。

表2 懲罰成本對最優(yōu)策略的影響

五、結(jié)論

文中提出了預(yù)防維護(hù)成本為非線性形式的預(yù)防維護(hù)策略模型，并給出了具體的優(yōu)化算法，應(yīng)用此算法，可以得到出租方所期望的最優(yōu)總成本及對應(yīng)的維護(hù)策略。且當(dāng)參數(shù)c=0時(shí)，預(yù)防維護(hù)成本函數(shù)退化為線性形式，即為文獻(xiàn)[13]中所研究的情形。然而在實(shí)際維護(hù)過程中，設(shè)備的故障強(qiáng)度不僅會(huì)隨著設(shè)備的年齡增加而增大，而且會(huì)隨著使用強(qiáng)度的增加而變化，如何考慮這些因素對設(shè)備維護(hù)成本的影響，將是未來進(jìn)一步的研究方向。