李長玉 林水木 戴海燕 呂東霖

1)(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院汽車與交通工程學(xué)院,廣州 510800)2)(昆山科技大學(xué)機(jī)械工程系,臺灣 710030)(2018年4月19日收到;2018年7月19日收到修改稿)

層合材料各層熱物理參數(shù)不同,難以用常規(guī)的分離變量法求解.針對此問題對常規(guī)分離變量法進(jìn)行了拓展,將層合材料受熱時(shí)的溫度場在時(shí)間域上分成微小時(shí)間段,在每個(gè)微小時(shí)間段內(nèi)層合材料交界處的溫度可認(rèn)為隨時(shí)間正比變化,并假設(shè)比例系數(shù),此時(shí)在微小時(shí)間段內(nèi)對各層分別利用分離變量法單獨(dú)求得解析解,根據(jù)交界處溫度相等能量連續(xù)的關(guān)系可求出比例系數(shù),進(jìn)而求出該微小時(shí)間段內(nèi)的溫度場,通過循環(huán)求解可得整個(gè)時(shí)間段內(nèi)的溫度場.之后,利用拓展的分離變量法對常用層合隔熱材料瞬態(tài)傳熱進(jìn)行了分析,通過與有限元方法計(jì)算的結(jié)果比較,驗(yàn)證了本文方法的正確性,分析了隔熱材料類型、厚度,材料表面對流換熱系數(shù),空氣溫度等參數(shù)對隔熱效果的影響.拓展分離變量法利用解析的方式求解了層合材料瞬態(tài)傳熱問題,物理意義比常規(guī)的數(shù)值方法明確,計(jì)算效率也較高.

1 引 言

層合隔熱材料目前廣泛應(yīng)用在各種保溫隔熱系統(tǒng)中,例如建筑墻體的隔熱,冰箱、保溫箱箱壁隔熱,航空航天器隔熱等[1?3].精確預(yù)測、分析多層隔熱材料瞬態(tài)傳熱情況對隔熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有至關(guān)重要的作用,越來越多的研究者對層合材料瞬態(tài)傳熱問題進(jìn)行了研究,具體可歸結(jié)如下[4?12].

Daryabeigi等[4,5]利用有限元法研究了層合隔熱材料傳熱問題.Al-Sanea和Zedan[6]利用有限體積法研究了建筑墻體中使用的層合隔熱材料的瞬態(tài)傳熱問題.Xu等[7]利用有限差分法研究了層合材料瞬態(tài)傳熱問題.李金娥等[8]利用向后差分法得到了某層合材料的溫度場數(shù)值解,并且對其非傅里葉傳熱特性做了研究.Rahideh等[9]利用有限元方法,在考慮熱傳播速度有限的情況下研究了層合材料瞬態(tài)傳熱問題.He等[10]利用一種改進(jìn)的單元線路模型法分析了多層材料瞬態(tài)傳熱問題,并且利用該方法對材料的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化.Wang和Cui[11]利用玻爾茲曼格子法對某層合隔熱材料進(jìn)行了瞬態(tài)傳熱分析,并且對結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生的熱應(yīng)力進(jìn)行了研究.Liu等[12]利用拉普拉斯變換的方式求得了層合材料傳熱問題的數(shù)值解.

從文獻(xiàn)的分析可以看出,針對層合材料瞬態(tài)傳熱問題的求解目前主要采用有限體積法、有限元法、有限差分法、玻爾茲曼格子法等常規(guī)數(shù)值方法[13?18].因?yàn)閷雍喜牧细鲗訜嵛锢韰?shù)不一致,一般不能直接用常規(guī)的分離變量法、格林函數(shù)法等解析方法進(jìn)行求解[17,19].本文針對某三層隔熱材料,將常規(guī)的分離變量法進(jìn)行了拓展,引入交界處溫度變化的斜率參數(shù),對每層分別利用分離變量法進(jìn)行了求解,之后利用交界處溫度相等和能量連續(xù)條件,求出斜率參數(shù),進(jìn)一步求出了整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的半解析解,并且通過與有限元法對比驗(yàn)證了方法的正確性,利用求出的半解析解研究了某層合隔熱材料隔熱層材料種類、厚度以及隔熱層表面的對流換熱系數(shù)、外部空氣溫度等對隔熱效果的影響.

2 模型建立

本文針對一種常用的層合隔熱材料進(jìn)行研究分析.層合隔熱材料主要由外殼層、隔熱層、接觸層構(gòu)成[1].其中外殼層直接與空氣接觸,對流換熱;隔熱層一般采用熱傳導(dǎo)系數(shù)較低且密度較小的材料,起到隔熱作用;接觸層直接與高溫區(qū)接觸[10].相應(yīng)的幾何模型如圖1所示.

圖1 模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of the model.

根據(jù)以上幾何模型可以建立對應(yīng)的物理模型.相應(yīng)的控制方程為

相應(yīng)的邊界條件為

相應(yīng)的初始條件為

其中,i=1,2,3,當(dāng)i=1時(shí)表示外殼層,i=2時(shí)表示隔熱層,i=3時(shí)表示接觸層.這里,ρi表示第i層的密度;ci表示第i層的比熱容;ki表示第i層的熱傳導(dǎo)系數(shù);Ti表示第i層的溫度函數(shù);h0表示空氣和外殼層的對流換熱系數(shù);Tf表示空氣溫度;Thigh為高溫區(qū)溫度;fL(t)為左側(cè)邊界條件;fR(t)為右側(cè)邊界條件;l1=x1,l2=x2?x1,l3=x3?x2,其中l(wèi)1為外殼層的厚度,l2為隔熱層的厚度,l3為接觸層的厚度,x為位置變量,x0=0;t為時(shí)間變量;Tina為初始溫度;Qi表示內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量.

3 模型求解

3.1 求解思路

對于多層材料瞬態(tài)傳熱問題,一般無法直接利用常規(guī)分離變量法求解,需將分離變量法進(jìn)行拓展.在此把Ti(x,t)在時(shí)間域上分成無窮多小段,對于其中的第一段[0,?t]時(shí)間內(nèi),如果?t足夠小,則第1和2層交界處溫度可表示為(5)式,第2和3層交界處的溫度可表示為(6)式.

其中,fFS,n,fST,n分別表示第1,2層交界處和第2,3層交界處第n個(gè)?t時(shí)間內(nèi)的溫度函數(shù);vFS,n,vST,n分別表示第1,2層和第3,4層交界處溫度曲線等效直線的斜率.當(dāng)n=1,t= ?t時(shí),fFS,1(t)=vFS,1?t=T1,1(x1,?t)?Tina,fST,1(t)=vST,1?t=T2,1(x1,?t)?Tina.此時(shí)每一層兩邊的邊界條件和初始條件均已知,可分別用分離變量法求解,求解的各層解析表達(dá)式中vFS,1和vST,1為未知數(shù),根據(jù)各層交界處溫度相等且能量連續(xù)可以求解vFS,1和vST,1,進(jìn)而求得在[0,?t]時(shí)間內(nèi)的溫度解析解,之后可將?t時(shí)刻的初始溫度作為下一個(gè)[0,?t]時(shí)間段的起始溫度,進(jìn)行下一段求解,直至第n段即可求得整個(gè)溫度場,解法原理如圖2所示.其中Ti,n表示第i層第n段的溫度場解析解.

圖2 解法原理Fig.2.Principle of the method.

3.2 解析解推導(dǎo)

第i層在第n個(gè)[0,?t]時(shí)間內(nèi)的控制方程為

最左側(cè)邊界條件為

第i,i+1層交界處的溫度為(i=1,2)

其中f1,2,n(t)=fFS,n(t),f2,3,n(t)=fST,n(t),v1,2,n=vFS,n,v2,3,n=vST,n. 最右側(cè)的邊界條件為

初始條件為

為了將邊界條件齊次化,令:

結(jié)合(8)—(10)式,(12)—(15)式可得

相應(yīng)的初始條件為

把(15)式代入(7)式可得

選取(19)式的特征方程為

采取分離變量法,令:

將(22)式代入(21)式得

結(jié)合(16),(17)和(22)式可得

相應(yīng)的本征函數(shù)為

當(dāng)i=1時(shí),λ1,n,m為(27)式的正根,m=1,2,3,···,

當(dāng)i=2,3時(shí),λi,n,m為(28)式的正根,m=1,2,

經(jīng)檢驗(yàn)知下式成立,

所以Yi,n,m(x)滿足正交特性.此時(shí)令

將(30)式代入(19)式并在[xi?1,xi]內(nèi)積分,結(jié)合(29)式可得

由參考文獻(xiàn)[20]知(31)式的解為

其中,

結(jié)合(15)和(30)式知

3.3 確定vFS,n和vST,n

在3.2節(jié)中推導(dǎo)的第n個(gè)[0,?t]時(shí)間內(nèi)的解均含有未知數(shù)vFS,n和vST,n,根據(jù)交界處溫度相等且能量連續(xù)可列出下式,

由(36)式可解出未知數(shù)vFS,n和vST,n,進(jìn)一步求得整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的溫度場.

4 數(shù)值算例

本文對一種常見的隔熱材料進(jìn)行研究,該隔熱材料共分為三層,第一層為外殼層,采用的材料為聚乙烯板(PE),第二層為隔熱層,采用的材料為聚氨酯泡沫塑料(PUR)或者真空隔熱材料(VIP),第三層為接觸層,采用的材料為聚丙烯板.外殼層和空氣對流換熱,接觸層直接與高溫區(qū)接觸,計(jì)算時(shí)取Thigh=fR(t)=100?C,隔熱層內(nèi)部無熱源產(chǎn)熱,即Qi=0.各層的物理參數(shù)如表1所列[21?24].

表1 各層物理參數(shù)Table 1.Physical parameters of each layer.

圖3分析了不同的隔熱層材料對溫度沿著x方向分布情況的影響,計(jì)算時(shí)取Tina=Tf=25?C,h0=5 W/(m2·?C).圖中實(shí)線為隔熱層采用常規(guī)PUR時(shí)的計(jì)算結(jié)果,虛線為隔熱層采用VIP時(shí)的計(jì)算結(jié)果,圓圈表示的數(shù)據(jù)為有限元方法計(jì)算的結(jié)果,可以看出,有限元方法計(jì)算結(jié)果和本文方法計(jì)算的結(jié)果完全一致,從而可驗(yàn)證本文方法的正確性.從圖3還可以看出在加熱時(shí)間t=120 s時(shí),若采用PUR,溫度在20 mm

圖3 不同的隔熱層材料對溫度沿x分布的影響Fig.3.Effects of different insulation materials on temperature distribution along x.

圖4分析了不同的隔熱層材料對不同位置溫度變化的影響.圖4中A線和B線表示在接觸層和隔熱層交界處溫度隨時(shí)間變化情況,其中A線為隔熱層采用VIP時(shí)計(jì)算的結(jié)果,B線為隔熱層采用PUR時(shí)計(jì)算的結(jié)果,可以看出,采用VIP時(shí)該位置溫度隨時(shí)間上升較快,該位置在隔熱層右側(cè),說明VIP隔熱情況好.圖4中C線和D線表示外殼層和隔熱層交界處溫度隨時(shí)間變化情況,其中C線表示隔熱層材料采用VIP時(shí)的計(jì)算結(jié)果,D線表示隔熱層材料采用PUR時(shí)的計(jì)算結(jié)果,可以看出采用PUR時(shí)溫度上升較快,說明PUR較VIP隔熱效果差,漏熱量較大,導(dǎo)致隔熱材料左側(cè)溫度上升較快.圖4中E線和F線表示外殼層表面溫度隨時(shí)間變化情況,其中E線表示隔熱層采用VIP時(shí)的計(jì)算結(jié)果,F線表示隔熱層采用PUR時(shí)的計(jì)算結(jié)果,可以看出采用VIP時(shí)溫度隨時(shí)間上升較緩慢,說明此時(shí)隔熱效果好.從圖4還可以看出當(dāng)隔熱層采用PUR時(shí)各位置溫度更快趨于穩(wěn)定(在經(jīng)過1 h之后各位置溫度基本不再變化).

圖5分析了對流換熱系數(shù)h0對不同位置溫度變化的影響,計(jì)算時(shí)取Tina=Tf=25?C,隔熱層采用PUR,隔熱層厚度取20 mm,外殼層表面各空氣對流換熱,據(jù)文獻(xiàn)[25]空氣自然對流換熱系數(shù)5—25 W/(m2·?C),強(qiáng)制對流換熱系數(shù)為20—100 W/(m2·?C).圖5中A線和B線表示隔熱層和接觸層交界處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時(shí)溫度隨時(shí)間的變化.從圖5可以看出A線和B線基本重合,分析原因是因?yàn)樵撐恢眠h(yuǎn)離外殼層表面,所以外殼層表面對流換熱系數(shù)的改變對該位置溫度變化情況影響較小.圖5中C線和D線表示外殼層和隔熱層交界處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時(shí)溫度隨時(shí)間的關(guān)系,可以看出h0=100 W/(m2·?C)時(shí)溫度增加略緩慢.圖5中E線和F線表示外殼層表面處,h0分別取100和5 W/(m2·?C)時(shí)溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系,同樣可以看出隨著時(shí)間增加,h0=100 W/(m2·?C)時(shí)溫度增減略顯緩慢,同時(shí)可以看出越靠近外殼層表面,對流換熱系數(shù)對溫度變化的影響越大.

圖4 不同的隔熱層材料對不同位置溫度變化的影響Fig.4.Influences of different insulation materials on temperature variation at different locations.

圖5 對流換熱系數(shù)h0對溫度變化的影響Fig.5.Effects of h0on temperature variation.

圖6給出了對流換熱系數(shù)對溫度沿著x方向分布的影響,其中E線和F線表示在t=30 s時(shí)對流換熱系數(shù)分別取100和5 W/(m2·?C)時(shí)的溫度分布情況,其中C線和D線表示在t=600 s時(shí)對流換熱系數(shù)分別取100和5 W/(m2·?C)時(shí)的溫度分布情況,可以看出,C線和D線、E線和F線基本重合,分析原因是時(shí)間較短,熱量傳遞較少,外殼層表面的對流換熱系數(shù)對溫度分布情況影響較小.圖6中A線表示在t=1800 s時(shí)對流換熱系數(shù)取h0=100 W/(m2·?C)時(shí)溫度分布情況,圖6中B線表示在t=1800 s時(shí),對流換熱系數(shù)取h0=5 W/(m2·?C)時(shí)溫度分布情況,通過比較可以發(fā)現(xiàn),對流換熱系數(shù)越大,溫度越低,越靠近外殼層表面溫度相差越大.

圖6 對流換熱系數(shù)h0對溫度沿x方向分布的影響Fig.6.Effects of h0on temperature distribution along x.

圖7給出了隔熱層厚度l2對不同位置溫度變化情況的影響.圖7中A線和B線表示在接觸層和隔熱層交界處溫度隨時(shí)間變化情況,其中A線表示隔熱層厚度取10 mm時(shí)的計(jì)算結(jié)果,B線表示隔熱層厚度取20 mm時(shí)的計(jì)算結(jié)果,因該位置在隔熱層右側(cè),所以隔熱層厚度越大,隔熱效果越好,溫度上升越快.圖7中C線和D線表示在外殼層和接觸層交界處溫度隨時(shí)間變化情況,其中C線表示隔熱層厚度取10 mm,D線表示隔熱層厚度取20 mm,此時(shí)發(fā)現(xiàn)隔熱層越厚,溫度上升越緩慢.圖7中E線和F線表示在外殼層表面溫度隨時(shí)間變化情況,其中E線表示隔熱層厚度取10 mm,F線表示隔熱層厚度取20 mm,此時(shí)隔熱層越厚,溫度上升越緩慢,隔熱效果越好.

圖8分析了隔熱層厚度對保溫效果的影響,計(jì)算時(shí)取Tina=25?C,隔熱層采用PUR,h0=5 W/(m2·?C).圖中A線表示在空氣溫度取25?C時(shí),經(jīng)過1 h后外殼層表面溫度隨隔熱層厚度的變化情況,發(fā)現(xiàn)隔熱層厚度取值越大,外殼層表面溫度越接近空氣溫度.B線表示在空氣溫度Tf=15?C時(shí)外殼層表面溫度隨隔熱層厚度的變化情況,發(fā)現(xiàn)空氣溫度取較低值時(shí),外殼層表面溫度較低.C線和D線分別表示空氣溫度取25和15?C時(shí),外殼層表面熱流密度隨隔熱層厚度的變化,可以看出隔熱層厚度越厚,外殼層表面熱流密度越小,隔熱效果越好,空氣溫度取值較低時(shí),外殼層熱流密度較大.外殼層熱流密度計(jì)算公式為

其中Q表示熱流密度,Tb表示外殼層表面溫度.

圖7 隔熱層厚度l2對溫度場變化的影響Fig.7.Effect of l2on temperature change.

圖8 隔熱層厚度l2對隔熱效果的影響Fig.8.Effect of l2on insulation effect.

5 結(jié) 論

利用一種拓展的分離變量法對層合材料瞬態(tài)傳熱問題進(jìn)行了求解,并利用該方法對某層合隔熱材料進(jìn)行了瞬態(tài)傳熱分析,所得結(jié)論可歸結(jié)如下.

1)對層合材料瞬態(tài)傳熱問題可將其溫度場在時(shí)間域分割成微小時(shí)間段,在各微小時(shí)間段內(nèi)假設(shè)各層邊界條件后,可利用分離變量法對各層單獨(dú)求解,根據(jù)交界面溫度相等且能量連續(xù),進(jìn)一步求得每個(gè)時(shí)間段的解析解,從而可求解整個(gè)溫度場.

2)該方法的計(jì)算結(jié)果和有限元法計(jì)算結(jié)果一致,從而驗(yàn)證了該方法的正確性.

3)利用本文的方法可預(yù)測層合材料瞬態(tài)傳熱時(shí)各位置溫度隨時(shí)間變化的精確值以及不同時(shí)刻層合材料溫度分布的精確值.

4)分析了層合隔熱材料隔熱層的材料選取、厚度、表面對流換熱系數(shù)、空氣溫度等參數(shù)對溫度場分布的影響,可為隔熱系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù).

本文方法在后續(xù)可從以下兩方面進(jìn)行更深入的研究和改進(jìn):

1)考慮層合材料接觸面的熱阻問題,使該方法更貼合工程實(shí)際;

2)將該方法拓展,用來解決二維、三維傳熱問題,以適應(yīng)更多的工程應(yīng)用場景.