江蘇鹽城市第二小學(xué) 徐正洲

小學(xué)數(shù)學(xué)有很多非?；?、非常重要的概念。這些數(shù)學(xué)概念廣泛存在于數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率等領(lǐng)域，是小學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、提升數(shù)學(xué)基本能力、感悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)、形成正確數(shù)學(xué)觀的重要載體?！靶W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程就是一個(gè)不斷用數(shù)學(xué)概念比較、分析、綜合、概括、判斷和推理的過程”。在概念教學(xué)過程中，有時(shí)需要分類?！胺诸愂且环N重要的數(shù)學(xué)思想。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等”。分類是小學(xué)生積極建構(gòu)概念的基礎(chǔ)，也是他們理解概念內(nèi)涵的過程；分類能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解和整體把握；分類是學(xué)生抽象概括的基礎(chǔ)，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。教師要充分引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類過程，使學(xué)生在概念建構(gòu)中充分感悟分類思想。

一、在感知概念中激發(fā)分類需要

波利亞認(rèn)為，學(xué)習(xí)最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。興趣是最好的老師。有了學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生才會積極主動地投入學(xué)習(xí)中去。因此，教師在數(shù)學(xué)概念的引入環(huán)節(jié)，要從實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)與概念有明顯聯(lián)系且直觀性強(qiáng)的問題情境，使學(xué)生在對具體問題的體驗(yàn)中初步感知概念，為學(xué)生在對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析基礎(chǔ)上提煉出本質(zhì)屬性打好基礎(chǔ)。如果教師能在問題情境中有效激發(fā)學(xué)生的分類興趣，就會收到事半功倍的教學(xué)效果。

教學(xué)時(shí)，教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧自己生活中見過的三角形。有的學(xué)生從三角尺中看到三角形，有的學(xué)生從紅領(lǐng)巾中看到三角形，有的學(xué)生從一張斜著對折的正方形紙上看到三角形……教師借助多媒體出示一些“藏”有三角形的景物或物體圖片，和學(xué)生一起找三角形。學(xué)生邊找邊用手比畫所發(fā)現(xiàn)的三角形后，教師在圖上畫出三角形，問學(xué)生看到這么多三角形有什么感覺。學(xué)生都認(rèn)為三角形比較多，有點(diǎn)亂。如果這些三角形整齊些，就不會給人“七上八下”的感覺。為了強(qiáng)化學(xué)生的認(rèn)知，教師借助多媒體隨機(jī)呈現(xiàn)了更多三角形，大家都一致認(rèn)為三角形的呈現(xiàn)非常凌亂，如果能想辦法給這些三角形分類就好了。

有效的問題情境能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)和情境之間產(chǎn)生矛盾，這是激發(fā)學(xué)生探究欲望的有效途徑。教師引導(dǎo)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)三角形，但這些三角形放在一起有點(diǎn)雜亂無章，尤其是隨機(jī)呈現(xiàn)三角形的凌亂真的讓人理不清頭緒，給三角形歸歸類就成了很多學(xué)生心中的想法。這樣，學(xué)生在觀察和交流中想到把三角形分類就成了大家的一致共識，也成了他們的心理需要，教師引導(dǎo)學(xué)生對三角形分類就成了順理成章的事情了。

二、在形成概念中經(jīng)歷分類過程

新數(shù)學(xué)概念形成的原動力是學(xué)生已有概念與新概念之間的平衡。學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的過程就是他們掌握了同類事物相同屬性和關(guān)鍵屬性的過程，是一個(gè)聯(lián)系緊密的整體。教師要引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷分類過程，使他們在觀察、比較和分類中主動習(xí)得概念并整體把握。促使他們真正理解并掌握數(shù)學(xué)概念的最好方法，就是引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷概念的形成過程。如果學(xué)生在概念形成過程中充分經(jīng)歷了分類過程，就不僅能提升歸納概括能力，而且能充分感悟分類數(shù)學(xué)思想，還能有效發(fā)展數(shù)學(xué)空間觀念。

教師借助多媒體把學(xué)生所觀察圖形中的三角形移下來并編號（如圖1），引導(dǎo)他們先觀察圖①和圖②，說說這兩個(gè)三角形的三個(gè)角各是什么角？學(xué)生觀察后，發(fā)現(xiàn)圖①的三個(gè)角中有2個(gè)角是銳角，還有一個(gè)直角；圖②的三個(gè)角都是銳角。教師課件演示量角器量圖中每個(gè)角的過程，驗(yàn)證了他們的想法。教師問學(xué)生是不是所有三角形的三個(gè)角一定都是銳角時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為三角形中可能有直角，有的學(xué)生認(rèn)為三角形中可能有鈍角。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察①～⑥這些三角形，說說每個(gè)三角形的角是否相同。再引導(dǎo)他們從材料袋里拿出三角形，借助量角器或直尺等進(jìn)行操作并獨(dú)立思考，填表后小組討論交流。

圖1

匯報(bào)交流時(shí)，有的小組按有無直角把三角形分成兩類：一類有直角如①和⑥，一類沒有直角如②、③、④和⑤；有的小組按有無鈍角把三角形分成兩類：一類有鈍角如③和⑤，一類沒有鈍角如①、②、④和⑥；有的小組按三角形的銳角個(gè)數(shù)把三角形分成兩類：一類是有三個(gè)銳角的三角形如②和④，一類是有兩個(gè)銳角的三角形如①、③、⑤和⑥；有的學(xué)生直接分成三類：三個(gè)角都是銳角的三角形有②和④，兩個(gè)角是銳角一個(gè)角是直角的三角形有①和⑥，兩個(gè)角是銳角一個(gè)角是鈍角的三角形有③和⑤。學(xué)生交流時(shí)，教師要求他們分別說說分類標(biāo)準(zhǔn)、每類三角形的特點(diǎn)以及這樣分類的理由，并用多媒體及時(shí)直觀、完整、有條理地展示。學(xué)生把分成兩類的再細(xì)分，并分別命名，從而引出概念：3個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形；有1個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有1個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形。分類后，教師追問學(xué)生，如鈍角三角形會不會被人看成直角三角形或銳角三角形？為什么？一個(gè)三角形可能有兩個(gè)或三個(gè)鈍角嗎？為什么？一個(gè)三角形可能有兩個(gè)或三個(gè)直角嗎？為什么？一個(gè)三角形可能只有一個(gè)銳角嗎？為什么？……學(xué)生在比較和辨析中真正理解和掌握了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念，弄清了三角形的分類方法。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生把所有三角形看作一個(gè)整體，銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形分別看作整體的一部分，把它們之間的關(guān)系用圖2表示，追問學(xué)生按角分時(shí)，有沒有遺漏什么三角形或者寫重復(fù)了什么三角形，從而幫助學(xué)生理解三角形要按照一定標(biāo)準(zhǔn)分類，做到不重復(fù)不遺漏。

圖2

教師選擇2個(gè)三角形作為學(xué)生先行研究的對象，其目的是引導(dǎo)學(xué)生充分體現(xiàn)把“角的特點(diǎn)”作為分類標(biāo)準(zhǔn)的合理性。教師提問“是不是所有三角形的三個(gè)角一定都是銳角”，一方面能促使學(xué)生關(guān)注三角形三個(gè)內(nèi)角的特點(diǎn)，另一方面鼓勵學(xué)生探究三個(gè)角不都是銳角的三角形，從而體會分類活動的必要性。學(xué)生的知識經(jīng)驗(yàn)不一樣，小組的分類結(jié)果也不同。學(xué)生把三角形按角分成兩類或三類時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，使他們認(rèn)識鈍角三角形和銳角三角形是在斜三角形基礎(chǔ)上的細(xì)分。每次分類后，教師引導(dǎo)學(xué)生對照分類要求檢驗(yàn)正確性，幫助他們在掌握三角形角的特征基礎(chǔ)上，感悟概念建構(gòu)方式。教師追問的幾個(gè)問題幫助學(xué)生理清了分類規(guī)則：一是母項(xiàng)的外延等于各子項(xiàng)外延的和，二是各子項(xiàng)的外延必須互相排斥。這樣不僅能幫助學(xué)生理解分類標(biāo)準(zhǔn)的合理性，而且能幫助學(xué)生培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提升學(xué)生對分類過程的理解水平，還能幫助學(xué)生體會分類的要求——不重復(fù)不遺漏。學(xué)生所形成的數(shù)學(xué)概念也非常穩(wěn)定牢固。

三、在應(yīng)用概念中掌握分類方法

新概念是學(xué)生對已有數(shù)學(xué)概念的繼承、發(fā)展與完善。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，學(xué)生很難一步到位地理解，需要分成若干層次，分階段逐步理解。有效、適當(dāng)?shù)木毩?xí)是幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念的保障。教師要想方設(shè)法地用各種有效方式對概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行“深加工”，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，以便學(xué)生更清晰地理解數(shù)學(xué)概念。如果教師能引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用概念中進(jìn)一步掌握分類方法，感悟數(shù)學(xué)分類思想，就能起到一舉多得的作用。

在練習(xí)時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生做猜一猜的游戲：出示三個(gè)信封，分別露出鈍角、直角和銳角，讓學(xué)生猜一猜“躲”在信封里面的三角形的類型（圖3），再借助幾何畫板在動態(tài)變換（圖4）中引導(dǎo)學(xué)生思考：如果A點(diǎn)向右移動時(shí)，圖形就會變成什么三角形？如果A點(diǎn)向左移動，圖形就會變成什么三角形？最后引導(dǎo)學(xué)生連一連（圖5）。

圖3

圖4

圖5

借助猜一猜游戲，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識不同的三角形，鞏固分類認(rèn)知；借助幾何畫板的動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生在想象中感悟三角形按角分類的變化過程，既增加了題目的趣味性，又能幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固三角形特征；“連一連”能幫助學(xué)生再次經(jīng)歷分類過程，促使學(xué)生進(jìn)一步感悟分類數(shù)學(xué)思想。這樣練習(xí)有助于學(xué)生更加準(zhǔn)確和全面把握所學(xué)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延。

四、在內(nèi)化概念中回顧分類收獲

數(shù)學(xué)概念具有一定的系統(tǒng)性。學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)概念不是零散的，而是密切聯(lián)系的一個(gè)整體。教師要幫助學(xué)生在新的數(shù)學(xué)概念與原有概念之間建立聯(lián)系，也就是要幫助學(xué)生把新建構(gòu)的數(shù)學(xué)概念納入已有概念體系的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成一個(gè)有機(jī)整體，這樣的概念教學(xué)才有活力，才能靈活地加以運(yùn)用。因此，教師要選擇合適時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生溝通概念間的相互聯(lián)系，促使學(xué)生把所學(xué)概念形成知識網(wǎng)絡(luò)。

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)收獲時(shí)，有的學(xué)生認(rèn)為，三角形按角分可以分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形；有的學(xué)生認(rèn)為，如果把三角形看成一個(gè)圓，三種不同的三角形就把這個(gè)圓一分為三；有的學(xué)生認(rèn)為，三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有的學(xué)生認(rèn)為，三角形中最多有三個(gè)銳角，最少有2個(gè)銳角；有的學(xué)生認(rèn)為，三角形中最多只有一個(gè)直角或者一個(gè)鈍角，判斷三角形要看其中最大的內(nèi)角是什么角。最后，教師小結(jié)性告訴學(xué)生：分類是學(xué)習(xí)和生活中不可或缺的一種重要數(shù)學(xué)思想和方法。只要找到正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，生活中有很多事物都可以分類。不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類結(jié)果。

總之，在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程中，學(xué)生常常需要通過分類討論問題和解決問題。教師要引導(dǎo)學(xué)生逐漸體會分類的原因、確定分類標(biāo)準(zhǔn)和分類過程中認(rèn)識對象性質(zhì)的方法，明白分類要不重復(fù)不遺漏。通過反復(fù)思考和長期積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然，小學(xué)生感悟分類思想是對數(shù)學(xué)知識和方法的高度抽象與概括，不可能一蹴而就。如果問題情境復(fù)雜、層次眾多，教師就引導(dǎo)學(xué)生選擇一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏地把問題分解成一些比較單一并熟悉的小問題，各個(gè)擊破后再綜合起來，實(shí)現(xiàn)問題解決。這樣就能化難為易地分散問題難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)生順利建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，并從中感悟數(shù)學(xué)分類思想。?