☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 樓中楠

☉浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 朱 哲

一、研究背景

數(shù)學(xué)，作為伴隨學(xué)生整個學(xué)習(xí)生涯的一門學(xué)科，不僅向?qū)W生灌輸了一些諸如概念、公式等顯性知識，還為學(xué)生塑造了一種理性、系統(tǒng)的思維方式，這在學(xué)生的人生中發(fā)揮了重要的作用.近二十年來，新加坡不斷加大在教育領(lǐng)域的投入，秉持“少教多學(xué)”的教育理念，科學(xué)地進行教育分流，建立了完善的教師培訓(xùn)系統(tǒng)，使得該國的教育一鳴驚人，受到了世界各國關(guān)注.因此，筆者選取中國與新加坡初中數(shù)學(xué)教科書中的“二次表達式的拓展”內(nèi)容進行對比與分析，希望能對我國的新課程改革與教科書的編寫有所啟示.

二、研究設(shè)計

1.研究問題

代數(shù)知識是在算術(shù)知識基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其特點是用字母表示數(shù)，使數(shù)的概念及其運算法則抽象化和公式化［1］.而二次整式的拓展是初中階段代數(shù)知識學(xué)習(xí)的重中之重，它包含了代數(shù)的加法、減法與乘法，熟練掌握此塊內(nèi)容有利于學(xué)生的直觀形象思維向抽象思維過渡.本研究研究的主要問題為：一是兩個版本的教科書在“二次表達式的拓展”內(nèi)容的設(shè)置、呈現(xiàn)、應(yīng)用方面有何異同，二是這些異同對我國數(shù)學(xué)教科書的編寫有何啟示.

2.教科書版本的選取

對于中國初中數(shù)學(xué)教科書，我們選取了浙江教育出版社出版的義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊第四章“代數(shù)式”［2］以及七年級下冊第三章“整式的乘法”［3］.對于新加坡初中數(shù)學(xué)教科書，我們選取了由Dr Yoseph Yeo等主編的New syllabus Mathematics（7th edition）［4］，其中“二次表達式的拓展”為第二冊第三章“二次表達式的拓展與因式分解”的內(nèi)容.

3.研究方法

筆者主要采用了文本分析的方法，分別對比與剖析了兩個版本教科書中“二次表達式的拓展”的內(nèi)容，并對其具有的特征進行歸納分析，最后得出研究結(jié)論，期盼這些結(jié)論在一定程度上能對我國編寫教科書有一定的啟示.

4.比較維度

筆者從3個維度進行比較.（1）內(nèi)容的設(shè)置與分布：對兩個版本教科書“二次表達式的拓展”的知識體系與知識點進行對比.（2）內(nèi)容的呈現(xiàn)方式：對兩個版本教科書的章首問題、知識引入與知識鞏固進行對比.（3）內(nèi)容的應(yīng)用：對兩個版本教科書中的例題與習(xí)題從題量、題型與難度三個方面進行比較.

三、研究結(jié)果

《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics在三個維度上都有各自的特點，具體如下.

1.內(nèi)容的設(shè)置與分布

（1）知識體系比較

兩種教科書中，“二次表達式的拓展”內(nèi)容的設(shè)置情況見表1，其中《數(shù)學(xué)》安排在了七年級上冊第四章以及七年級下冊第三章；而New syllabus Mathematics則安排在了第二冊第三章.

表1 《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics中的知識體系

從表1中，我們發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics在“二次表達式的拓展”內(nèi)容的設(shè)置上是一樣的，都先介紹二次表達式的概念，再介紹與二次表達式加法、減法和乘法相關(guān)的計算，最后介紹二次表達式的化簡.不同之處是，《數(shù)學(xué)》將二次表達式歸到整式一類中統(tǒng)一進行介紹，并將與之相關(guān)的加、減法及乘法運算分為單項式與多項式兩部分進行舉例說明；而New syllabus Mathematics則將二次表達式單獨介紹，然后把單項式與多項式的運算統(tǒng)一進行講解.

（2）知識點的比較

通過對上述兩個版本的教科書具體內(nèi)容的考察，我們發(fā)現(xiàn)二者在知識點的數(shù)量上存在著明顯的差異.據(jù)統(tǒng)計，《數(shù)學(xué)》在二次表達式這塊內(nèi)容上共設(shè)置了14個知識點，New syllabus Mathematics共設(shè)置了6個知識點（見表2）.

表2 《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics中的知識點

由表2，我們可以發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)》中新增定義4個，而New syllabus Mathematics只有1個，這說明了《數(shù)學(xué)》對基本概念的定義更為重視.《數(shù)學(xué)》在此章中先介紹易懂的單項式與多項式，進而引出整式，隨后講解整式的運算.筆者認(rèn)為這樣的編寫思路，不僅使得學(xué)生更好地理解代數(shù)式的定義，起到一定的鞏固效果，還能讓學(xué)生體會到中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程：先從特殊的例子出發(fā)認(rèn)識一個新的定義，即新知識，而后通過題目進行鞏固、加深理解，進而將新知識與運算、應(yīng)用相結(jié)合.

另一方面，《數(shù)學(xué)》中共出現(xiàn)7個公式，而New syllabus Mathematics中僅出現(xiàn)2個公式.具體分析這些公式，我們能夠發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)》中涉及項的次數(shù)可能是3、4，甚至更高，而New syllabus Mathematics中項最高的次也只是2，這也說明了《數(shù)學(xué)》對代數(shù)及其運算的要求更高.

2.內(nèi)容的呈現(xiàn)方式

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性及廣泛的應(yīng)用性，這就注定了數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式關(guān)系到學(xué)生是否能夠更好地理解知識［6］.下面就章首問題、知識的引入與知識的鞏固進行具體的分析、比較.

（1）章首問題

《數(shù)學(xué)》七年級上冊第四章的章首：①利用已知條件寫出含t的代數(shù)式來表示山頂?shù)臏囟?；②本章學(xué)習(xí)目標(biāo)：代數(shù)式、整式和整式的加減運算.《數(shù)學(xué)》七年級下冊第三章的章首：①利用已知條件計算天宮一號的飛行速度；②用代數(shù)式表示從一張長方形紙片中裁取的正方形紙片的面積；③本章學(xué)習(xí)目標(biāo)，整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)，整式的乘法和除法.

New syllabus Mathematics的章首：一個老師問他的學(xué)生：“如果一個長方形的面積為（x2+8x+12）cm2，并且它的長為（x+6）cm，那么長方形的寬是多少？”一個學(xué)生回答道：“長方形的寬是（x+2）cm.”在你們學(xué)習(xí)了如何分解二次代數(shù)式后，你們就能夠弄清這位同學(xué)是怎么得到他的答案的.學(xué)習(xí)目標(biāo)，在本章的結(jié)尾處，你應(yīng)該能夠：①識別二次表達式；②能拓展與簡化二次表達式；③運用乘法公式對二次表達式進行因式分解.

由上述對比我們發(fā)現(xiàn)，《數(shù)學(xué)》注重從生活實例著手，逐步過渡到與本章節(jié)有關(guān)聯(lián)的問題，而此問題往往是學(xué)生未能解決的；New syllabus Mathematics則以數(shù)學(xué)問題引入，且不經(jīng)任何引導(dǎo)或分析，直接給出問題的答案，這就未給予學(xué)生一個思考的機會.從這個角度看，《數(shù)學(xué)》的章首設(shè)置更為合理，因為這樣更加吸人眼球，達到激起學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的目的，且能夠讓學(xué)生帶著問題進行接下來的學(xué)習(xí)，留給了學(xué)生獨自探索、解決問題的機會.

章首問題之后，兩種教科書都給出了本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，《數(shù)學(xué)》只點明了本章的知識點，而New syllabus Mathematics則不僅點明了知識點，還在知識點前使用了一些行為動詞，這更符合我國三維目標(biāo)中對知識與技能這一目標(biāo)領(lǐng)域的書寫要求，比如：使用了知道、了解、模仿水平的行為動詞“識別”；使用了理解、獨立操作水平的行為動詞“能、運用”.由此可見，New syllabus Mathematics具有的目的性更明確，有利于學(xué)生準(zhǔn)確把握本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的要求，進而提高自身的學(xué)習(xí)效率.

（2）知識的引入

《數(shù)學(xué)》在引入整式與整式加法時是通過情境問題導(dǎo)入的：把“鳥巢”作為背景知識，通過買x張全價票（50元）與y張半價票（25元）來表示所需付的總金額.在引入單項式乘法與多項式乘法時也是通過情境問題導(dǎo)入：（1）利用天安門為背景知識，通過步數(shù)1100與步長a（m）來表示廣場的面積；（2）用不同的方法計算出家家戶戶都有的廚房的面積.

New syllabus Mathematics在引入二次表達式時是通過復(fù)習(xí)導(dǎo)入的：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧了代數(shù)式的定義以及代數(shù)式的組成成分，并解釋這里涉及的代數(shù)式都是線性表達式，即一次表達式，接來下就將帶著同學(xué)們學(xué)習(xí)二次表達式.在引入二次表達式的乘法時也是通過復(fù)習(xí)導(dǎo)入的：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧之前學(xué)習(xí)的常數(shù)項與一次表達式的乘法“2（3x）”，而后引出今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，即一次表達式與一次表達式的乘法，比如2x×3x.

由此可見，《數(shù)學(xué)》將情境引入作為主要的課堂引入方式，它所具有的優(yōu)勢十分明顯：首先趣味十足，開拓了學(xué)生視野，在一定程度上激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；其次每個情境中都暗含著本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的知識點，這就將學(xué)生帶入到與新知識相關(guān)的情境中，激發(fā)出學(xué)生了解未知的意愿，從而使得學(xué)生在上課之初就能將自身的學(xué)習(xí)情緒調(diào)整到最佳狀態(tài).

而New syllabus Mathematics將復(fù)習(xí)引入作為主要的課堂引入方式，它同樣具有一些優(yōu)勢：首先，由于我們的教材往往都是按照由淺入深、由易到難的規(guī)律來編排的，并且新知識的學(xué)習(xí)一般以舊有知識為基礎(chǔ)，故復(fù)習(xí)引入能夠在回顧舊有知識的基礎(chǔ)上，為接下來新知識的學(xué)習(xí)埋下伏筆，提供思路；其次，復(fù)習(xí)引入所占用的課堂時間往往比情境引入要少，故它還能夠提高課堂效率.

相比較而言，雖然上述兩種課堂引入方式都具有一定的優(yōu)勢，但復(fù)習(xí)引入可能存在的弊端會更大：學(xué)生對于它所帶來的舊知識的回顧往往是一個被動接受的過程，且它所具有的趣味性不強，不貼近生活實際，對學(xué)生來說比較枯燥，不符合我國“讓學(xué)生真正成為課堂學(xué)習(xí)的主人”的教育理念［6］.在當(dāng)今世界趨勢下，情境引入必定會成為教科書的主流引入方式.

（3）知識的鞏固

在介紹代數(shù)的加、減與乘法的運算上，兩種教科書都通過具體例子的演算來讓學(xué)生熟悉不同運算法則的使用.不同的是，《數(shù)學(xué)》偏向于使用面積相等法解決實際生活例子來印證運算法則，如：一個廚房的平面布局如圖1，我們可以用下面幾種方法表示廚房的面積：①總面積為（a+n）（b+m）；②總面積為a（b+m）+n（b+m）或者ab+am+nb+nm.

圖1 廚房的平面布局

而New syllabus Mathematics則是選擇單獨列出代數(shù)式題目，通過獨有的“圓盤法”來演示整個運算過程，如：計算4x2+（-2x2），見圖2.

圖2 圓盤法計算4x2+（-2x2）

對比之下，我們可發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)》通過例子，使學(xué)生從結(jié)果出發(fā)來研究運算法則，并要求學(xué)生在一定程度上掌握了運算法則后，將之運用到一些與生活相關(guān)的應(yīng)用題中.而New syllabus Mathematics則是通過讓教師演示、學(xué)生操作來簡單研究代數(shù)的運算過程，不具備任何的現(xiàn)實背景，這就顯得帶有一些機械性.從此角度看，二者雖然都貫徹了數(shù)形結(jié)合的思想，但《數(shù)學(xué)》更能體現(xiàn)出“數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活”的觀念.

從另一個角度看，《數(shù)學(xué)》中代數(shù)式運算所涉及的項的次數(shù)更高，未知量包括了x、y、a、b、c、m、n等，且將運算與應(yīng)用題相結(jié)合，這就對學(xué)生提出了更高的要求.而在New syllabus Mathematics中，不管是例題還是課后習(xí)題，都只涉及最高為2次且未知量僅為x的代數(shù)式.由此看出，我國更強調(diào)學(xué)生對于代數(shù)式這類知識的全面掌握，而新加坡更強調(diào)基礎(chǔ)，僅要求學(xué)生在簡單的學(xué)習(xí)過程中掌握二次表達式的定義及其運算規(guī)律.

3.內(nèi)容應(yīng)用

（1）題量

兩個版本的教科書皆安排了部分例題與習(xí)題，筆者對其數(shù)量進行了統(tǒng)計：《數(shù)學(xué)》涉及2個章節(jié)共8個小節(jié)的內(nèi)容，題量為162，平均一小節(jié)題量為20.25；New syllabus Mathematics涉及1個章節(jié)共2個小節(jié)的內(nèi)容，題量為45，平均一小節(jié)題量為22.5.

我們能夠發(fā)現(xiàn)《數(shù)學(xué)》習(xí)題的數(shù)量在比例上與New syllabus Mathematics相差無幾，這說明我國經(jīng)過多次課改，使得《數(shù)學(xué)》習(xí)題的數(shù)量有所減少，減少了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，這就為學(xué)生利用更多自由支配時間去找到個人愛好奠定了基礎(chǔ)，更有利于素質(zhì)教育的開展.

（2）題型

《數(shù)學(xué)》的例題與習(xí)題主要以計算題為主，配以少量的判斷改正題、應(yīng)用題及探究題.而New syllabus Mathematics的例題與習(xí)題則大部分為計算題，其余部分為探究題.可以發(fā)現(xiàn)，《數(shù)學(xué)》設(shè)置的題目由最基本的計算，到綜合的應(yīng)用，最后到具有一定難度的探究，按照由淺入深的順序安排，說明我國在此塊內(nèi)容學(xué)習(xí)中要求學(xué)生全面掌握.而New syllabus Mathematics則題型較少，但是對于乘法法則這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，則花了很大篇幅讓學(xué)生自己去探究發(fā)現(xiàn).這說明在此章的學(xué)習(xí)中，新加坡不要求學(xué)生接觸所有代數(shù)式，而只需牢牢掌握住有關(guān)二次表達式的運算法則.

（3）題目難度

筆者利用“數(shù)學(xué)課程的綜合難度模型”［7］對《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics中的例題與習(xí)題進行了統(tǒng)計分析，結(jié)果見表3和圖3.

表3 兩種教科書題目難度因素對照

圖3 兩種教科書題目難度因素

由表3與圖3，我們能夠直觀地看出在背景、知識含量、推理三個因素上，《數(shù)學(xué)》難度要遠高于New syllabus Mathematics，在探究與運算因素上 ，New syllabus Mathematics的難度要略高于《數(shù)學(xué)》.由圖3可知，《數(shù)學(xué)》綜合難度要高于New syllabus Mathematics.

四、結(jié)論與啟示

1.研究結(jié)論

通過上述分析、比較可知，在內(nèi)容呈現(xiàn)方面，《數(shù)學(xué)》與New syllabus Mathematics在章首中都選擇了生活情境作為切入點，且二者都明確說明了本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，但New syllabus Mathematics對目標(biāo)的描述更加詳細，具有更高的操作性.在具體課堂引入方面，《數(shù)學(xué)》同樣偏向于情境引入，而New syllabus Mathematics則偏向于復(fù)習(xí)引入［8］.內(nèi)容設(shè)置方面，《數(shù)學(xué)》側(cè)重于各類代數(shù)式概念的理解及其之間運算法則的掌握，同時《數(shù)學(xué)》為了讓學(xué)生更好地掌握高次代數(shù)式的乘法，補充了同底數(shù)冪的乘法.New syllabus Mathematics則側(cè)重于代數(shù)式中二次代數(shù)式這一概念，并通過大量的習(xí)題使得學(xué)生熟練掌握其運算法則.在例題、習(xí)題方面，《數(shù)學(xué)》題量巨大，包含了各種題型且具有一定的難度，強調(diào)鍛煉學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運用能力，而New syllabus Mathematics題量少、題型單一，且不存在難題、偏題、怪題與繁題［9］.

2.對我國教科書編寫的啟示

通過上述比較分析，在肯定我國教科書具有某些長處的基礎(chǔ)上，我們也能發(fā)現(xiàn)其中存在著一些不足，而新加坡教科書在某些方面是值得借鑒的.

（1）學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)具有可操作性

明確、具體的學(xué)習(xí)目標(biāo)能正確指引學(xué)生，使之把握本章內(nèi)容學(xué)習(xí)的要求，進而提高自身的學(xué)習(xí)效率.《數(shù)學(xué)》在章節(jié)前言中的目標(biāo)僅涉及了這一章節(jié)的重要知識點，顯得較為籠統(tǒng)，相比之下，New syllabus Mathematics則在章節(jié)前言中給出了更為明確的學(xué)習(xí)目標(biāo).這就值得我們借鑒，即在制定學(xué)習(xí)目標(biāo)時，少用一些抽象或模糊的動詞，如：了解、熟悉、感受等，因為這類詞含義較廣，不同的人均可從不同角度理解，這就給以后的學(xué)習(xí)帶來了困難；多用能夠被檢測到的行為動詞或語句，如：能夠認(rèn)出某一概念，能夠運用某一法則或方法解決某一問題等，這樣既有利于學(xué)生把握本章學(xué)習(xí)的重、難點，還有利于教師對學(xué)生作出正確的學(xué)習(xí)評價.

（2）堅持?jǐn)?shù)學(xué)課堂與生活情境相結(jié)合

數(shù)學(xué)知識與生活情境的良好結(jié)合，能夠開拓學(xué)生視野，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.并且創(chuàng)設(shè)問題情境實際上是我國所倡導(dǎo)的“創(chuàng)設(shè)情境—建立數(shù)學(xué)模型—解決問題”這一教學(xué)模式的首要環(huán)節(jié)，是這一教學(xué)模式能否成功的關(guān)鍵［10］.課堂上情境的創(chuàng)設(shè)，能夠讓學(xué)生少一些甚至不再有數(shù)學(xué)是一門枯燥、乏味的學(xué)科的想法，而讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)的自然與實用，如此學(xué)生才能以更積極的狀態(tài)投入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中去.

（3）適當(dāng)減少題量，提高題目質(zhì)量

現(xiàn)如今倡導(dǎo)給學(xué)生減負(fù)的呼聲日益壯大，我國數(shù)學(xué)課本繁重的習(xí)題顯然已有些不合時宜，但是習(xí)題如若大量減少，又將影響我國要求學(xué)生全面掌握知識這一目標(biāo)的實現(xiàn).故我國數(shù)學(xué)教科書的編寫可以在保留知識量的基礎(chǔ)上，適當(dāng)減少題目的數(shù)量，提高題目的質(zhì)量，比如：刪除那些考查同一知識的重復(fù)題，設(shè)置成一知識點一例一問的形式；多設(shè)置“一題多解”題，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的思維；多設(shè)置變式練習(xí)，即將基礎(chǔ)問題作為生長點，對基礎(chǔ)題的條件與結(jié)論進行延伸和擴展，發(fā)掘其內(nèi)涵和外延，得到一條完整的“鏈條”.