□ 華中師范大學(xué)海南附屬中學(xué) 唐 源 潘成廣

一、公式概述

設(shè)sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則對(duì)任意數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與sn有如下關(guān)系：

顯然公式中當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn-sn-1不含a1，應(yīng)用此公式求an有三步：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，由已知可得a1；

（2）當(dāng) n≥2 時(shí)，由 an=sn-sn-1得 an=f（n），n≥2；

（3）驗(yàn)證當(dāng) n=1 時(shí)，a1是否滿足 an=f（n），n≥2。

若滿足則：an=f（n），n∈ N+

二、“考綱”中一范例的原題及解答（P79-P80）

【原題】2015年全國(guó)新課標(biāo)乙卷理科（17）題：

sn為數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和，已知 an＞0，+2an=4sn+3。

（1）求 an的通項(xiàng)公式。

（2）設(shè) bn=，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。n

【原題解答】

即：2（an+1+an）=-=（an+1+an）（an+1-an）

由于 an＞0，可得 an+1-an=2

又a12+2a1=4a1+3

解得 a1=-1（舍去），a1=3，所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=2n+1

（2）解（略）

三、質(zhì)疑

質(zhì)疑（1）：“考綱”范例（1）的解答，既沒(méi)有對(duì) n 進(jìn)行分類討論，也沒(méi)有求出an=f（n），n≥2的式子，更沒(méi)有對(duì)a1進(jìn)行驗(yàn)證，而是莫名其妙地直接得出a1是an=f（n），n≥2的首項(xiàng)。 不知是由什么“因”能得出這樣的“果”。

質(zhì)疑（2）：“考綱”范例（1）的解答，在應(yīng)用現(xiàn)有知識(shí)點(diǎn)解決問(wèn)題的層次上不清楚，推理、論證不嚴(yán)謹(jǐn)，隨意性太強(qiáng)，其正確性無(wú)法考證，是否存在別的知識(shí)點(diǎn)和理論依據(jù)也無(wú)法得知。

四、筆者給出“考綱”范例（1）的正確解答

∴a1=3

即：2（an+1+an）=-=（an+1+an）（an+1-an）

由于 an＞0，可得 an+1-an=2，n≥2

∵a1=3，由+2a2=4S2+3=4a1+4a2+3

解得 a2=-3 或 a2=5，∵an＞0，∴ a2=5

∴an=a2+（n-2）d=5+（n-2）×2

即：an=2n+1，n≥2

當(dāng)n=1時(shí)，a1=2×1+1=3，也滿足此式，

所以所求{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1，n∈N+。

五、反例舉證（錯(cuò)誤解答按“考綱”范例解答求解）

反例舉證（1）：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為 Sn，且滿足 Sn+1=an+1+（-1）n，n∈ N+。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。

【錯(cuò)誤解答】

①-②得：an+1=an+1-an+2（-1）n

即：an=2（-1）n，所以所求的通項(xiàng)公式為 an=2（-1）n

（2）由（1）知，an=2（-1）n=-2（-1）（-1）n-1，是以-2為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列

故數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為：Sn=（-1）n-1，n∈N+

【正確解答】

解（1）當(dāng) n=1 時(shí)，由 S2=a2+（-1）1

即a1+a2=a2-1，解得a1=-1

①-②得：an+1=an+1-an+2（-1）n

即：an=2（-1）n，n≥2

當(dāng)n=1時(shí)，a1+a2=a2-1=-2≠-1，不滿足此式

∴Sn=a1+a2+a3+……+an=-1+2[（-1）2+（-1）3+(-1)n-1=(-1)n

故 Sn=(-1)n，n∈N+

解法二：當(dāng) n=1 時(shí) S2=a2+（-1）1，即 S1+a2=a2-1，∴ S1=-1

當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn+1=an+1+(-1)n=Sn+1-Sn+(-1)n

得 Sn=(-1)n，n≥2

當(dāng) n=1 時(shí)，S1=（-1）1=-1，也滿足此式

故：Sn=(-1)n，n∈N+

反例舉證（2）：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足Tn=2Sn-n2+1，n∈N+

（1）求a1的值。

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【錯(cuò)誤解答】

解（1）由T1=2S1-12+1得T1=2a1

∵T1=S1=a1∴a1=2a1∴a1=0

③-④得an=2an-2an-1-2

∴an=2an-1+2

即 an+2=2（2an-1+2）

∵a1=0∴a1+2=2∴數(shù)列{an+2}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

∴ an+2=2·2n-1=2n

∴an=2n-2

【正確解答】

解（1）當(dāng)n=1時(shí)，由 T1=2S1-12+1得T1=2a1

∵T1=S1=a1∴a1=2a1∴a1=0

③-④得an=2an-2an-1-2

∴an=2an-1+2

即 an+2=2（2an-1+2），n≥2

又 ∵ a1=0，由 T2=2S2-12+1 得 a2=3

∴a2+2=5

∴an+2=（a2+2）qn-2=5·2n-2

∴ an=5·2n-2-2，n≥2

當(dāng) n=1 時(shí)，a1=5·21-2-2=≠0

∴當(dāng)n=1時(shí)，a1=0不滿足此式

反例舉證（3）：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1，且 an+1=2Sn，n∈N+，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

【錯(cuò)誤解答】

解：由 an+1=2Sn，可知

an=2Sn-1

兩式相減得：an+1-an=2an

即an+1=3an

∵a1=1∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=3n-1

【正確解答】

①-②得：an+1-an=2an

即 an+1=3an，n≥2

∵a1=1由a2=2S2得a2=2

當(dāng) n=1 時(shí)，a1=2×31-2=≠1

∴ 當(dāng)n=1時(shí)，a1不滿足此式

通過(guò)對(duì)以上三個(gè)“反例舉證”題目的正、誤解答，足以說(shuō)明“考綱”范例的解答是錯(cuò)誤的。