林麗玲

（平潭城北小學(xué)，福建 平潭 350400）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。”筆者認(rèn)為，模型思想的感悟，必然是在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。文章以“乘法分配律”教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谡n堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過(guò)程，感悟模型思想。

一、觀察分析，感知模型

模型的建構(gòu)依賴于一定的現(xiàn)實(shí)情境，要想使學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，首先要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出符合學(xué)生實(shí)際的生活情境，然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析，從生活原型中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在初步感知模型的基礎(chǔ)上，逐步向建構(gòu)模型過(guò)渡。

如筆者在教學(xué)時(shí)，針對(duì)下面一張統(tǒng)計(jì)表的信息內(nèi)容（表1），讓學(xué)生根據(jù)表中信息提出數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師把學(xué)生所提的問(wèn)題板書(shū)在黑板上：①買轉(zhuǎn)筆刀一共用了多少錢？②買文具盒一共用了多少錢？③買魔方一共用了多少錢？然后學(xué)生選擇其中一個(gè)問(wèn)題用不同的方法列出綜合算式并解答，然后匯報(bào)交流。

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從課堂上學(xué)生解答上述3個(gè)問(wèn)題的模式看基本是相同的。如第一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生第一種算法列式為（7+3）×8=80，先算出兩次一共買了10個(gè)轉(zhuǎn)筆刀后，再算10個(gè)轉(zhuǎn)筆刀的總價(jià)；第二種算法，分別算出第一次與第二次買的轉(zhuǎn)筆刀的價(jià)錢后，再加起來(lái)就是10個(gè)轉(zhuǎn)筆刀的總價(jià)錢，列式為7×8+3×8=80。第二個(gè)問(wèn)題和第三個(gè)問(wèn)題的解答方法與解答第一個(gè)問(wèn)題的思路是一致的，學(xué)生列出的算式分別是：（8+5）×5=65，8×5+5×5=65；（10+9）×4=76，10×4+9×4=76。

教師根據(jù)學(xué)生的交流適時(shí)板書(shū)算式，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)黑板上的這些算式進(jìn)行分類。學(xué)生把這些算式分成了兩類，然后觀察這兩類算式的區(qū)別與聯(lián)系，此時(shí)乘法分配律的特征已經(jīng)初步呈現(xiàn)。教師進(jìn)一步質(zhì)疑：“結(jié)果相等的兩個(gè)算式在數(shù)學(xué)上可否用等號(hào)將它們連接起來(lái)，形成一個(gè)等式呢？”通過(guò)質(zhì)疑繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察黑板上的這些等式，導(dǎo)向從乘法的意義上探索左右相等的秘密,將新知識(shí)納入到原有的知識(shí)體系之中，初步感知乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型。這樣充滿觀察、分析的探究過(guò)程，才是數(shù)學(xué)建模教學(xué)背景下應(yīng)有的學(xué)習(xí)過(guò)程。

二、抽象概括，建立模型

學(xué)生對(duì)模型的建構(gòu)是需要一定的過(guò)程，如果僅僅憑借之前的三個(gè)等式來(lái)進(jìn)行乘法分配律的概括，那么學(xué)生的感性積淀就會(huì)顯得有些單薄，學(xué)生對(duì)該模型的理解還不夠深刻。因此，需要教師提供更多有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)為學(xué)生的感悟“造勢(shì)”。

教師指著黑板上的等式說(shuō)：“同學(xué)們，像這樣的等式還有嗎？請(qǐng)你試著寫(xiě)出一個(gè)來(lái)?！睂W(xué)生寫(xiě)等式，匯報(bào)交流，并相互檢查：“左邊是幾個(gè)幾？右邊有幾個(gè)幾？等式成立嗎？”通過(guò)交流讓學(xué)生感受到這樣的等式永遠(yuǎn)也寫(xiě)不完。教師問(wèn)：“你能不能想辦法寫(xiě)出一個(gè)等式來(lái)表示出所有的等式？”學(xué)生嘗試寫(xiě)式子并交流多樣化的表示方法，教師先是肯定學(xué)生的成果。但學(xué)生所交流的方法都難以達(dá)到教師所提的要求：用一個(gè)等式來(lái)表示所有的等式。這時(shí)學(xué)生的思維陷入“盲區(qū)”，所謂的“盲區(qū)”即學(xué)生不能拋開(kāi)現(xiàn)實(shí)的模型去構(gòu)建一個(gè)新的模型。于是，教師適時(shí)啟智：“老師給你們a、b、c三個(gè)字母（這里的a、b、c是三個(gè)實(shí)數(shù)），你們能用數(shù)學(xué)符號(hào)的連結(jié)，表示出一個(gè)等式來(lái)嗎？”這樣撥通學(xué)生思維障礙的通道，學(xué)生很快就用（a+b）×c=a×c+b×c來(lái)表示。教師總結(jié)：“這就是今天發(fā)現(xiàn)的一個(gè)運(yùn)算定律——乘法分配律，乘法分配律告訴我們：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變?！?/p>

數(shù)學(xué)模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學(xué)符號(hào)的表達(dá)式和圖表。在上面教學(xué)片段中，當(dāng)學(xué)生對(duì)乘法分配律的表象有一點(diǎn)感知時(shí)，教師放手讓學(xué)生仿寫(xiě)等式，既豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，同時(shí)也為后續(xù)的抽象概括增加邏輯上的力度。在此基礎(chǔ)上，教師順勢(shì)而為，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用自己實(shí)驗(yàn)的方式表征發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學(xué)生用字母、圖形、漢字等符號(hào)將乘法分配律表示出來(lái)。這個(gè)逐步抽象的過(guò)程，既是讓學(xué)生嘗試數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)符號(hào)化思想具體應(yīng)用的過(guò)程，它所滲透的數(shù)學(xué)思想是遞進(jìn)性，也富有創(chuàng)新性，如果教師的教學(xué)流程設(shè)計(jì)只是讓學(xué)生模仿，學(xué)生的思維就無(wú)法跳躍。于是在這個(gè)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生對(duì)乘法分配律有了更進(jìn)一步的理解，再通過(guò)建模，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力就得到了提升。

三、拓展聯(lián)系，應(yīng)用模型

從具體的問(wèn)題抽象、概括出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)。在建立數(shù)學(xué)模型之后，教師要及時(shí)組織學(xué)生應(yīng)用已確立的模型解決具體的問(wèn)題，通過(guò)溝通聯(lián)系、拓展延伸，進(jìn)一步鞏固、內(nèi)化學(xué)生的認(rèn)知，深刻理解乘法分配律，為今后正確、靈活地運(yùn)用乘法分配律這一數(shù)學(xué)模型打下扎實(shí)的基礎(chǔ)，也為后續(xù)學(xué)習(xí)其他相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)做好鋪墊，達(dá)到真正發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

教師在鞏固已學(xué)知識(shí)，拓展思維的設(shè)計(jì)上，也遵循層層遞進(jìn)的原則，依次出示了以下練習(xí)：

1.在（）里填上合適的數(shù)。

①(10+7)×6=（ ）×6+（ ）×6

②8×996+8×（ ）=8× ( + )

③（）×（）+（）×（）=（ + ）×（ ）

2.你能在圖2中找到乘法分配律嗎？

圖2

3.下面的算式哪些運(yùn)用了乘法分配律？

①11×72+11×28=11×（72+28）

②(10+4)×25=14×25

③48×8×7=48×（8×7）

④5×a+a=（5+1）×a

4.解決問(wèn)題：學(xué)校操場(chǎng)是一個(gè)長(zhǎng)方形，原來(lái)長(zhǎng)78米，寬30米，擴(kuò)建后，寬不變，長(zhǎng)增加了18米，增加的面積比原來(lái)的面積少多少平方米？

這里的4個(gè)練習(xí)代表了四個(gè)不同的思維層次：練習(xí)1，通過(guò)不完全填空的形式，從正、反兩個(gè)方面加強(qiáng)對(duì)乘法分配律結(jié)構(gòu)的記憶與掌握。練習(xí)2，通過(guò)在“口算12×3”和“筆算12×3”中尋找乘法分配律的過(guò)程，喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，把新知的學(xué)習(xí)與舊知建立聯(lián)系，鞏固了乘法分配律的算理和算法，有效進(jìn)行知識(shí)的同化和順應(yīng)。練習(xí)3，借助4個(gè)算式檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)于乘法分配律的認(rèn)知圖式是否達(dá)到了一個(gè)平衡的狀態(tài)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘法分配律的含義及其與乘法結(jié)合律的結(jié)構(gòu)區(qū)別，將乘法分配律納入到整個(gè)運(yùn)算定律的體系。練習(xí)4，先動(dòng)筆計(jì)算再觀察比較，發(fā)現(xiàn)乘法分配律同樣適用于兩個(gè)數(shù)的差，即（a-b）×c=a×c-b×c（a、b、c不等于0），拓寬了學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解，把學(xué)生的思維引向更廣闊的空間。

數(shù)學(xué)模型建立過(guò)程的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程。在教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確地診斷出學(xué)生建模過(guò)程的難點(diǎn)與困惑，通過(guò)設(shè)計(jì)合理有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生研究數(shù)學(xué)建模的興趣，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模的能力，感悟模型思想。