段雪亮, 魏公明

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院, 上海 200093)

1 引言與主要結(jié)果

非線性Schr?dinger方程可用于描述脈沖在非線性光學(xué)纖維中的傳播. 目前, 關(guān)于非線性Schr?dinger方程非平凡基態(tài)解存在性的研究已有很多結(jié)果[1-7]. 本文考慮如下方程組的非平凡解:

(1)

其中:x∈N;u,v∈Hs(N);s∈(0,1);α>0;N≥3; 2<2q<2*,(-Δ)s是分?jǐn)?shù)階Laplace算子[8], 其表示形式為

方程組(1)中F(u,v)∈C1(2), 且滿足下列條件:

(H1) 存在常數(shù)A,B>0, 使得對每對(u,v)∈2,F滿足:

(H2)F(u,0)=F(0,v)=0, 如果uv≠0, 則F(u,v)>0;

(H3) 對于常數(shù)2≤μ≤2q, 有Fu(u,v)u+Fv(u,v)v-μF(u,v)>0.

方程組(1)中b(x)∈L∞(N), 且滿足下列條件:

本文使用變分法找到方程組(1)的非平凡解. 為方便, 定義如下Hilbert空間:

其中Lp(N)的范數(shù)表示形式為‖·‖p, ‖·‖表示Hs(N)的范數(shù), 即

Lp(N)×Lp(N)的范數(shù)表示為

方程組(1)對應(yīng)的泛函I:E→表示為

其中I∈C1(E,). 定義Nehari流形為

N∶={ω∈E{0,0}: 〈I′(ω),ω〉=0}.

泛函I(ω)的微分形式為

本文主要結(jié)果如下:

(2)

則問題(1)存在一個(gè)最小能量解ω=(u,v),u,v均不恒為0. 這里

2 預(yù)備知識

顯然, 泛函I(ω)的臨界點(diǎn)即為方程組(1)的弱解. 定義如下形式的輔助泛函：

(3)

其中:

定義

引理1cN=c1=c,cN∞=c1∞=c∞.

證明： 參見文獻(xiàn)[7]中引理3.2.

引理2I∞(u,v)的每個(gè)臨界點(diǎn)都滿足分?jǐn)?shù)階Laplace算子對應(yīng)的Pohozaev恒等式:

證明: 關(guān)于分?jǐn)?shù)階Laplace算子對應(yīng)的Pohozaev恒等式的證明可參見文獻(xiàn)[9]. 對于方程組(1)在b(x)=b∞條件下的Pohozaev恒等式, 需將其中兩個(gè)等式視為獨(dú)立的公式, 由文獻(xiàn)[10]中式(5.15)可得

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[10]中式(5.13), 有

將式(5)和式(6)相加, 可得式(4), 證畢.

3 主要結(jié)果的證明

3.1 定理1的證明

對條件(H1)進(jìn)行積分, 再利用條件(H2)和Young不等式, 可得

其中C2,C3>0是一個(gè)常數(shù). 因此存在常數(shù)C>0, 使得

(7)

同理, 利用條件(H1)可知存在常數(shù)A,B>0, 使得

(8)

由式(7)和分?jǐn)?shù)階Sobolev嵌入定理[8]知, 存在C4>0, 使得

結(jié)合條件(H2)可知, (0,0)是I的一個(gè)嚴(yán)格局部極小值,

當(dāng)t→+∞時(shí),I(tω)→-∞. 因此I滿足山路引理的幾何條件. 下面分3步證明.

1)I∞(ω)存在基態(tài)解ω=(u,v)≠(0,0).

觀察泛函I∞(tω), 有

滿足山路引理的幾何條件, 且(0,0)是一個(gè)嚴(yán)格的局部極小值,I∞(0,0)=0. 應(yīng)用Ekeland變分原理[11]可知, 存在序列ωn=(un,vn), 使得

(ωn)→0.

(9)

結(jié)合條件(H3), 可得

?k∈.

(10)

矛盾. 因此式(10)成立.

定義

(11)

再由式(10)可得

(12)

2) 根據(jù)文獻(xiàn)[13], 只需證I存在一個(gè)非平凡的臨界點(diǎn)ω, 使得I(ω)≤c.

泛函I滿足山路引理的幾何條件, 且(0,0)是一個(gè)嚴(yán)格的局部極小值,I(0,0)=0. 應(yīng)用Ekeland變分原理可知, 存在序列ωn=(un,vn), 使得

I(ωn)→c,c>0,I′(ωn)→0.

(13)

于是(u,v)是I的臨界點(diǎn). 下面證(u,v)是非平凡的. 假設(shè)(u,v)=(0,0), (un,vn)是一個(gè)臨界水平為c的Palais-Smale序列, 則當(dāng)n→∞時(shí), 有

因此(u,v)?(0,0)的情形與1)相同.

(15)

且

其中γ∈C([0,∞],E). 由式(4)可得

I(γL(t))

矛盾. 因此(u,v)是I的非平凡臨界點(diǎn). 由條件(H2)和(H3), 結(jié)合Fatou引理可得

3) 存在u,v均不恒為0, 且u,v≥0是I的最小能量臨界點(diǎn).

采用與文獻(xiàn)[13]中定理4.5類似的方法證明. 定義m=inf{I(ω):ω≠(0,0),I′(ω)=0}. 取I的臨界點(diǎn)ω, 由條件(H2)和(H3), 得

因此m≥0. 取非平凡解ω為臨界水平是c的Palais-Smale序列的弱極限, 由2)可得I(ω)≤c, 所以m≤c.

為證m可以取到, 取ωk為I臨界點(diǎn)的一個(gè)序列, 使得I(ωk)→m. 從而ωk是I在臨界水平為m時(shí)的一個(gè)Palais-Smale序列. 同理可得ωk有界, 且存在I的非平凡臨界點(diǎn)ω, 使得I(ω)≤m, 又因?yàn)閙是最小臨界水平, 所以I(ω)=m. 證畢.

3.2 定理2的證明

對每個(gè)ω∈E, 利用條件(H4)可推出I(ω)

1)I∞(ω)存在最小能量臨界點(diǎn)ω=(u,v),u,v均不恒為0.

(-Δ)su+u=u2q-1,u>0,u∈Hs(N).

(17)

(-Δ)sv+α2sv=v2q-1,v>0,v∈Hs(N).

(18)

(19)

由于u0和v0是方程(17)和方程(18)的解, 所以

(20)

通過Pohozaev恒等式, 可得

(21)

同理,

(22)

對式(21),(22)運(yùn)算可得

(23)

(24)

結(jié)合式(20),(23),(24), 定義

結(jié)合式(19), 只需找到(φ,ψ)∈E,φ,ψ均不恒為0, 使得

(27)

(28)

由式(28)可得g的臨界點(diǎn)

定義

下面對α分兩種情形討論.

c∞≤J(φ,ψ)≤I∞(u0,0)=C.

(30)

由式(20),(26),(29), 可得

因此J(v0,v0)≤C.

②α<1. 則min{C,α2qs/(q-1)-NC}=α2qs/(q-1)-NC. 只需找到一對(φ,ψ),φ,ψ均不恒為0, 使得

c∞≤J(φ,ψ)≤I∞(0,v0)=α2qs/(q-1)-NC.

(33)

選擇(φ,ψ)=(u0,u0), 利用式(23),(25), 可得

由式(20),(25),(29), 可得

因此J(u0,u0)≤Cα2qs/(q-1)-N.

2) 方程組(1)存在一個(gè)最小能量解ω=(u,v),u,v均不恒為0.

根據(jù)1), 可找到一對基態(tài)解(u∞,v∞), 使得

c∞=I∞(u∞,v∞)

(36)

由定理1知, 存在(u,v)≠(0,0), 使得其為I在臨界水平為c時(shí)的非平凡臨界點(diǎn), 再根據(jù)c