金久林, 游泰杰, 徐 波

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 貴陽 550001)

0 引 言

SX和TX分別為非空集合X上的對(duì)稱群和全變換半群[1]. 目前, 關(guān)于變換半群具有某種性質(zhì)的極大子半群的結(jié)構(gòu)與分類的研究已取得了很多結(jié)果[2-20]. Dénes[2]列舉了一類有限全變換半群TX的極大子半群, 即S=(TXSX)∪AX, 其中AX是X={1,2,…,n}上的交錯(cuò)群; Baǐramov[3]得到了S是有限全變換半群TX的極大子半群當(dāng)且僅當(dāng)

S={α∈TX: |Im(α)|≤n-2}∪SX, 或S={α∈TX: |Im(α)|≤n-1}∪G,

其中G是SX的極大子群; Liebeck等[4]利用有限單群的結(jié)論及O’Nan-Scott定理完成了有限對(duì)稱群SX的極大子群的分類. 結(jié)合文獻(xiàn)[3-4]的結(jié)果, 可得有限全變換半群TX的極大子半群的完全分類. Schein[5]提出了如何刻畫全變換半群的極大逆子半群的結(jié)構(gòu)和分類的問題, Nichols[6]和Reilly[7]分別給出了其一小部分刻畫； Todorov等[8]對(duì)有限全變換半群理想的極大子半群進(jìn)行了刻畫, 但并未完全解決; 游泰杰[9]得到了有限全變換半群理想的極大正則半群的結(jié)構(gòu)與完全分類; 楊浩波等[10]得到了有限全變換半群理想的極大子半群的結(jié)構(gòu)與分類, 完成了文獻(xiàn)[8]未解決的問題.

1 預(yù)備知識(shí)

P={f∈TX: |Im(afa)|=|Im(f)|},

(1)

且對(duì)任意的m∈{1,2,…,r}, 有

(2)

(3)

|Im(f)|=|Im(afa)|≤|Im(a)|=r,

引理2P有一條理想鏈:

引理4設(shè)

則|Im(a)∩Bi|=1(i=1,2,…,r). 特別地, 若f是一個(gè)冪等元且ai∈Bi, 則bi∈Ai(i=1,2,…,r).

(4)

其中ai∈Bi,bi∈Ai(i=1,2,… ,r). 記

(5)

本文未定義的術(shù)語及符號(hào)參見文獻(xiàn)[1,24].

設(shè)S是一個(gè)半群, 若α∈S滿足對(duì)任意的β,γ∈S, 有α≠βγ, 則稱α是一個(gè)不可約元. 由S中不可約元構(gòu)成的集合, 稱為S的不可約集.

證明: 設(shè)α,β∈N, 則存在(i,j),(s,t)∈I×J, 使得α∈Mij,β∈Mst. 根據(jù)式(5), 不妨設(shè)

其中:bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,… ,r);σ,ρ∈U. 易證

其中:di∈Ai,ai∈Di(i=1,2,…,r);ρ∈U. 取

類似引理10的證明, 可得:

?},

證明： 反證法. 假設(shè)存在(i,j),(m,n)∈Φ且(i,j)≠(m,n), 使得Vij≠Vmn. 則有σ∈VijVmn(σ∈VmnVij證明方法類似). 易知Tmn含有冪等元. 根據(jù)式(4),(5), 不妨設(shè)

是Tmn的一個(gè)冪等元, 取

其中bi,ci∈Ai,ai∈Bi∩Ci(i=1,2,…,r). 易證

?},

Vij=Vmn?Umn=Uij.

從而Sij?Mij. 因此

與S的極大性矛盾.

②Mmn?Smn. 類似①可得

與N的極大性矛盾.

引理15設(shè)2

證明: 由引理13和引理14可知, Ar,Br,Cr,Dr均為P的極大正則子半群. 下證P的極大正則子半群僅有定理中的形式. 設(shè)S是P的極大正則子半群. 下面分兩種情形討論:

S?Ar,S?Br,S?Cr.

注意到Ar,Br,Cr均為P的極大正則子半群, 由S的極大性可知,S是Ar,Br,Cr的形式之一.

反之, 設(shè)S是P的極大正則子半群. 分兩種情形討論:

綜合引理15、 注1和注2, 可得：

定理3N,Γ,Δ定義如前, 則：

1) 當(dāng)r=1時(shí),S是P的極大正則子半群當(dāng)且僅當(dāng)存在β∈P, 使得S=P{β}.

3) 當(dāng)2