高云柱, 孟 秋, 郭 微

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

考慮下列具變指數(shù)非線性波動(dòng)方程的初邊值問題:

(1)

其中:Ω是N(N≥1)上的有界區(qū)域, 具有光滑的邊界;α為非負(fù)常數(shù); 指數(shù)函數(shù)p(x)和函數(shù)g(t)分別滿足如下條件:

(H2)g:+→+為C1函數(shù),η為正常數(shù), 滿足

當(dāng)p為常數(shù)時(shí), 關(guān)于問題(1)解的存在性和爆破性研究已有許多結(jié)果[1-5]. 近年來, 關(guān)于電磁流變學(xué)方面數(shù)學(xué)模型的研究受到廣泛關(guān)注, 特別在變指數(shù)研究方面取得了許多結(jié)果[6-9]. 此外, 各種物理現(xiàn)象, 如一些波動(dòng)模型、 服從非線性Boltzmann模型的縱向運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)出現(xiàn)的問題等模型, 也取得了一些研究結(jié)果[10-13].

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)p(x)滿足條件(H1), 則變指數(shù)Legesgue空間Lp(·)(Ω)是指所有可測(cè)函數(shù), 使得

令

則空間Lp(·)(Ω)賦予Luxemburg范數(shù)

對(duì)任何正整數(shù)k, 取

Wk,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω):Dαu∈Lp(x)(Ω), |α|≤k},

Wk,p(x)(Ω)的范數(shù)定義為

易知Wk,p(x)(Ω)也是一個(gè)Banach空間, 稱其為特殊的廣義Orlicz-Sobolev空間.

引理1[9]設(shè)Φ∈C2([0,T))滿足條件

(2)

Φ(t)≥0,Φ(0)>0,

并且

則

(3)

其中:

且Φ(t)滿足

類似文獻(xiàn)[11], 易得如下問題(1)能量解的存在性定理.

2 主要結(jié)果

首先, 定義解的能量函數(shù)如下:

其中

(g◇u)(t)=g(t-τ)‖u(t)-

記

下面給出本文的主要結(jié)果, 即能量解的爆破性定理.

則有式(3), 其中

且Φ(t)滿足

證明: 對(duì)Φt(t)關(guān)于t求導(dǎo)得

將方程(1)第一個(gè)式子兩邊同乘以u(píng), 并在Ω上積分得

即

(4)

將方程(1)第一個(gè)式子兩邊同乘ut, 并在Ω上積分有

即

注意到

對(duì)式(5)兩邊在(0,t)上積分得

整理得

其中

從而得

(7)

比較式(2)和式(7), 可知