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(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院， 陜西 渭南 714099)

當(dāng)今世界，波導(dǎo)的應(yīng)用已經(jīng)非常普及，光纖甚至鋪設(shè)到世界每個(gè)角落。利用波導(dǎo)傳輸光電信息不僅能夠克服光、波在空中傳播的擴(kuò)散，而且能夠有效克服外界干擾[1]。在波導(dǎo)中傳播的電磁場(chǎng)形式(即電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu))又稱為電磁波傳輸模式。Cohn[2]于1947年率先將脊波導(dǎo)應(yīng)用于導(dǎo)波系統(tǒng)，較好地克服了矩形波導(dǎo)傳輸電磁波信號(hào)時(shí)特性阻抗大[3]、截止頻率高、帶寬窄的缺陷[4-5]，且能夠多模傳輸[6]，因此隨后脊波導(dǎo)在微波和毫米波器件中得到快速普及[7-8]。這些微波、毫米波器件包括寬帶傳輸測(cè)試系統(tǒng)，寬帶脊波導(dǎo)濾波器[9]，微波導(dǎo)管中的變頻器、移相器，低阻抗負(fù)載匹配時(shí)的波導(dǎo)過渡以及定向耦合器、雙工器[10-11]、脊波導(dǎo)縫隙天線以及功率分配器(簡(jiǎn)稱功分器)等[12]。功分器已經(jīng)廣泛應(yīng)用于相控陣?yán)走_(dá)、天線饋線系統(tǒng)以及功率放大器等微波設(shè)備中。分析脊波導(dǎo)內(nèi)的電磁場(chǎng)及其分布、波導(dǎo)截止頻率[13]常用的方法有變分法、矩量法、有限元法[14-15]、有限差分法[16-17]等。本文中利用有限元法和時(shí)域有限差分(FDTD)法分別研究矩形脊波導(dǎo)的傳輸特性以及波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)分布特征。

1 矩形波導(dǎo)的傳輸特性

矩形波導(dǎo)如圖1所示，設(shè)寬邊長度為a，窄邊長度為b，波導(dǎo)內(nèi)填充介電常數(shù)為ε、磁導(dǎo)率為μ的理想媒質(zhì)，波導(dǎo)壁為理想導(dǎo)體。由于矩形波導(dǎo)是單導(dǎo)體波導(dǎo)，因此不能傳輸橫電磁(TEM)波。

a—寬邊長度；b—窄邊長度。圖1 矩形波導(dǎo)圖

1.1 矩形波導(dǎo)中橫磁波與橫電波

根據(jù)矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)滿足的麥克斯韋方程，可求得橫磁(TM)波的橫向場(chǎng)分量[18-19]

(1)

式中：Ex(x,y,z)、Ey(x,y,z)分別為電場(chǎng)強(qiáng)度的x、y分量；Hx(x,y,z)、Hy(x,y,z)分別為磁場(chǎng)強(qiáng)度的x、y分量；Em為電場(chǎng)強(qiáng)度的模；γ為傳輸常數(shù)；kc為截止波數(shù)；m、n的每一個(gè)取值就代表一種傳播模式；ω為電磁波的角頻率。

同理，可求得橫電(TE)波的橫向場(chǎng)分量

(2)

式中Hm為磁場(chǎng)強(qiáng)度的模。

對(duì)于矩形波導(dǎo)中的TE波和TM波，有以下結(jié)論：

1)m和n有不同的取值，即不同的m、n的組合TM(m,n)或TE(m,n)，分別對(duì)應(yīng)相應(yīng)的TMmn傳播模式或TEmn傳播模式；

2) 截止波數(shù)kc值由波導(dǎo)的形狀、大小和傳播的波型決定。傳輸常數(shù)γ的值決定了TM波和TE波的傳播特性。

1.2 矩形波導(dǎo)的截止頻率

(3)

(4)

按式(2)可以計(jì)算，對(duì)應(yīng)不同m、n取值的各種波型Hmn的截止波長，為

(5)

截止波長分布TM、TE—橫磁波、橫電波的傳播模式；a、b—寬邊、窄邊長度。

由圖可以看出： 1)能傳播的最大波長為(λc)H10， 即當(dāng)λc>2a時(shí)， 波導(dǎo)中就沒有電磁波存在； 2)在a<λc<2a時(shí)， 只能傳輸H10波， 此區(qū)間為單一的主模(H10)工作區(qū)， 稱為單模區(qū)； 3)當(dāng)0<λc

為了保證波導(dǎo)中單一模工作，應(yīng)采用主模E10模式，工作波長應(yīng)為a～2a。在某一頻率范圍內(nèi)，總能夠?qū)Σ▽?dǎo)a、b進(jìn)行選擇，使波導(dǎo)只能通過E10模式。

1.3 矩形波導(dǎo)主模電磁場(chǎng)分布

根據(jù)式(1)、(2)，主模E10波方程[20]為

(6)

(7)

設(shè)金屬良導(dǎo)體波導(dǎo)內(nèi)為真空，波導(dǎo)尺寸及參數(shù)a=20 mm，b=8 mm；電磁波頻率f為9×109Hz；截面選擇z=12 m， 模擬結(jié)果如圖3所示。

a—寬邊長度； b—窄邊長度。

2 矩形雙脊波導(dǎo)的傳輸特性

2.1 矩形雙脊波導(dǎo)的TE基模截止波長

脊波導(dǎo)就是在矩形波導(dǎo)截面的中部加一對(duì)對(duì)稱的導(dǎo)體脊。如圖4所示的矩形雙脊波導(dǎo)寬邊長度為a，窄邊長度為b，脊間距為d，脊寬度為s，波導(dǎo)壁為理想波導(dǎo)。

a—寬邊長度； b—窄邊長度； d—脊間距； s—脊寬度。

波導(dǎo)內(nèi)電磁波求解有賴于本征值及本征向量的求解。波導(dǎo)的截止頻率其實(shí)就是某諧振腔諧振頻率，波導(dǎo)的微擾公式[21]為

(8)

式中：S為波導(dǎo)的橫截面積；ωc為截止角頻率；E0、H0分別為波導(dǎo)內(nèi)擾動(dòng)前的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的模。

將波導(dǎo)的微擾理論應(yīng)用于矩形脊波導(dǎo)，再利用等效電路法，就可以計(jì)算矩形雙脊波導(dǎo)主模的截止波長[21]。

表1所示為s/a、d/b值分別變化時(shí)矩形雙脊波導(dǎo)TE主模截止波長λc/a的計(jì)算結(jié)果(其中a=0.025 m，b=0.012 5 m，b/a=0.5)。

表1 矩形雙脊波導(dǎo)歸一化截止波長的計(jì)算結(jié)果

從表中數(shù)據(jù)可以看出:1) 矩形雙脊波導(dǎo)主模截止波長λc/a(歸一化)取值范圍(2,7.5)；2) 歸一化截止波長的變化與d/b值的變化呈反向相關(guān)，d/b值越大，截止波長越小，反之亦然。截止波長值越大，當(dāng)s/a=0.5、d/b=0.05時(shí)，得到截止波長最大值7.5。3) 對(duì)于TE10基模而言，矩形波導(dǎo)的對(duì)稱脊所在處主要為電場(chǎng)，截止頻率小于原矩形波導(dǎo)主模截止頻率，但是，對(duì)于第一高次模TE20，矩形對(duì)稱脊波導(dǎo)的截止頻率比原矩形波導(dǎo)大。此外，脊的高度還可以改變脊波導(dǎo)的阻抗特性，因此脊波導(dǎo)也常用于阻抗匹配或阻抗變換。

2.2 矩形雙脊波導(dǎo)橫截面場(chǎng)分布

矩形雙脊波導(dǎo)內(nèi)的雙脊可視為引入一個(gè)金屬微擾體腔壁，而導(dǎo)體的引入會(huì)導(dǎo)致腔壁上的切向電場(chǎng)和法向磁場(chǎng)為0。波導(dǎo)尺寸選擇同圖4，d=7.48 mm。將該邊界條件應(yīng)用到規(guī)則形狀的矩形雙脊波導(dǎo)的內(nèi)腔壁，應(yīng)用式(1)、(2)，數(shù)值計(jì)算主模、高階模特征值和特征向量[22]。應(yīng)用FDTD法[23-24]，再將邊界條件進(jìn)行差分離散，脊波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)模擬結(jié)果如圖5所示。

(a)基模(TE10)磁場(chǎng)分布

(b)基模電場(chǎng)分布

(c)第一高階模(TE11)磁場(chǎng)分布

(d)第一高階模電場(chǎng)分布 a—寬邊長度； b—窄邊長度。

圖中隨機(jī)自動(dòng)選擇的不同顏色的曲線為電場(chǎng)線或磁場(chǎng)線，按照慣例，用其線密度表示場(chǎng)強(qiáng)大小。模擬結(jié)果顯示，在矩形對(duì)稱雙脊的對(duì)頂角附近， 電場(chǎng)或磁場(chǎng)最強(qiáng)。由圖5(a)、(b)的模擬場(chǎng)圖可知，基模的電力線集中在矩形的兩脊之間，其中線密度越大，場(chǎng)強(qiáng)越大。由圖5(c)、(d)可以看出，第一高次模的場(chǎng)關(guān)于波導(dǎo)的軸對(duì)稱，顯然在脊的2個(gè)頂角處場(chǎng)強(qiáng)線最密，有最大的場(chǎng)強(qiáng)。該處場(chǎng)強(qiáng)變化也是最快，稍遠(yuǎn)之處場(chǎng)強(qiáng)迅速減弱，說明能量損失大。另外，波導(dǎo)變形也能引起衰減常數(shù)變大[11]。

3 結(jié)論

從矩形脊波導(dǎo)傳輸特性的計(jì)算結(jié)果及場(chǎng)結(jié)構(gòu)圖分析來看，相對(duì)于傳統(tǒng)的矩形波導(dǎo)，矩形雙脊波導(dǎo)能夠傳輸多模，雙脊使得波導(dǎo)工作頻率范圍大為增寬，基模截止頻率更小，而對(duì)TE20模截止頻率更大。矩形脊波導(dǎo)隨著脊間距的變化，也能提供不同的截止波長多模模式，因此矩形雙脊波導(dǎo)具有較矩形波導(dǎo)更加優(yōu)良的傳輸特性，這些結(jié)果將為波導(dǎo)器件的小型化提供理論依據(jù)。

本文中對(duì)波導(dǎo)內(nèi)縱向電磁場(chǎng)未加以討論，因而其在管壁側(cè)壁感應(yīng)的面電流及其分布也尚未觸及，當(dāng)側(cè)面發(fā)生斷裂、開裂時(shí)是否會(huì)對(duì)脊波導(dǎo)電磁波的傳輸產(chǎn)生影響，還需要在今后進(jìn)行進(jìn)一步的研究。