李 怡, 嚴(yán)巧赟, 丁 虎, 陳立群,2

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所,上海200072;2.上海大學(xué)理學(xué)院,上海200444)

工程實(shí)際中有很多可簡(jiǎn)化為軸向運(yùn)動(dòng)體模型的系統(tǒng).這些系統(tǒng)在軸向運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)沿橫向產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.在大多數(shù)情況下,這種由軸向運(yùn)動(dòng)引起的橫向振動(dòng)會(huì)給生產(chǎn)生活帶來很多負(fù)面影響,甚至產(chǎn)生很嚴(yán)重的后果.因此,這類問題已成為非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-6].

運(yùn)動(dòng)中的系統(tǒng)無法避免地會(huì)產(chǎn)生軸向速度的擾動(dòng),從而產(chǎn)生速度參數(shù)激勵(lì)[6],且該參數(shù)激勵(lì)會(huì)使系統(tǒng)的橫向振動(dòng)呈現(xiàn)復(fù)雜的振動(dòng)特性.Ravindra等[7]研究了周期變化軸向速度的軸向運(yùn)動(dòng)梁的穩(wěn)定性特性和混沌特性.Chakraborty等[8]研究了具有軸向變速運(yùn)動(dòng)梁的穩(wěn)定性邊界問題.Yang等[9]研究了軸向運(yùn)動(dòng)加速梁的分岔特性和混沌特性.但是,以上研究都是基于假設(shè)軸力為不變的力的情況,但在軸向速度變化的情況下,軸向張力不可能是均勻分布的恒力.Chen等[10]研究了縱向變化的張力對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁振動(dòng)特性的影響.丁虎等[11-12]考慮了因速度變化引起的,沿梁徑向變化的軸向變張力的影響,研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁橫向參數(shù)振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Yan等[13]考慮了沿梁徑向變化的張力和有限支撐剛度的影響,研究了外部橫向簡(jiǎn)諧激勵(lì)條件下軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁橫向振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.Tang等[14]考慮了沿梁徑向變化的張力、彈性基礎(chǔ)和阻尼力約束的影響,研究了軸向加速運(yùn)動(dòng)黏彈性梁在參數(shù)激勵(lì)和3∶1內(nèi)共振條件下的非線性平面振動(dòng)特性[14].

對(duì)于軸向運(yùn)動(dòng)梁的黏彈性本構(gòu)關(guān)系大多采用Kelvin模型或Maxwell模型,但這兩種模型各有缺陷:Maxwell模型不能描述蠕變現(xiàn)象;Kelvin模型不能描述應(yīng)力松弛現(xiàn)象[15].三參數(shù)模型可以退化為Kelvin模型或者M(jìn)axwell模型,且能同時(shí)預(yù)測(cè)蠕變現(xiàn)象和應(yīng)力松弛現(xiàn)象,因而更具有典型性和代表性.Wang等[16-17]采用漸進(jìn)分析方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)三參數(shù)黏彈性梁的穩(wěn)定性問題.

本工作基于三參數(shù)模型黏彈性本構(gòu)關(guān)系,引入變化的軸向張力,并對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁上各點(diǎn)的軸向張力進(jìn)行平均化處理,推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)梁的積分-偏微分控制方程.采用四階Galerkin截?cái)喾椒x散積分-偏微分控制方程,并運(yùn)用四階Runge-Kutta法求解常微分方程組,得到了數(shù)值解.以運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)的位移為觀測(cè)點(diǎn),研究了位移分別隨阻尼系數(shù)及系統(tǒng)剛度的分岔行為,并借助相圖、龐加萊映射圖、時(shí)間歷程圖以及時(shí)間頻譜分析圖,呈現(xiàn)了系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)行為.

1 控制方程

考慮密度為ρ,橫截面積為A,支承兩端間的長度為L,初始軸力為P0的均勻軸向加速運(yùn)動(dòng)Euler-Bernoulli梁以隨時(shí)間變化的速度γ(t)沿軸向運(yùn)動(dòng)(見圖1).所取微元的彎矩為M,軸向正應(yīng)力為FN,剪力為FS,轉(zhuǎn)角為θ(見圖2).

取微元分析,考慮運(yùn)動(dòng)梁彎曲變形,引入物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)及軸力FN,根據(jù)牛頓第二定律得

圖1 軸向加速運(yùn)動(dòng)Euler-Bernoulli梁的物理模型圖Fig.1 Physical model of the axially moving Euler-Bernoulli beam

圖2 軸向加速運(yùn)動(dòng)Euler-Bernoulli梁的微元圖Fig.1 Infinitesimal element map of the axially moving Euler-Bernoulli beam

式中:u為運(yùn)動(dòng)梁上點(diǎn)的橫向運(yùn)動(dòng)位移;P為軸向張力,且P=P0+(x?L)ρAγ[10];σ1為軸向擾動(dòng)應(yīng)力;Aσ1為由運(yùn)動(dòng)引起的軸向張力的變化擾動(dòng)力,且若軸向張力沿軸向變化很小,則可以用運(yùn)動(dòng)梁上各點(diǎn)張力的平均值代替運(yùn)動(dòng)梁上各點(diǎn)張力的精確值;逗號(hào)表示對(duì)其后面的變量求偏導(dǎo);符號(hào)上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)數(shù).

本構(gòu)方程采用如下的三參數(shù)模型:

式中,E1,E2為彈性模量,α為阻尼系數(shù),σ為應(yīng)力,ε為應(yīng)變.

考慮到運(yùn)動(dòng)梁變形后的幾何關(guān)系和由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的干擾應(yīng)變,可得彎矩與軸向擾動(dòng)應(yīng)力為

式中,慣性矩I=∫Az2d A.將式(3)代入式(1),得到如下以三參數(shù)模型為本構(gòu)關(guān)系的積分-偏微分控制方程:

假設(shè)軸向速度在平均速度附近有小的周期脈動(dòng),即

式中,γ,γ0,γ1,ω分別為軸向運(yùn)動(dòng)梁的軸向速度、軸向平均速度、速度脈動(dòng)的振幅和頻率.假設(shè)軸向運(yùn)動(dòng)梁的兩端為光滑套筒簡(jiǎn)支邊界,即

2 Galerkin截?cái)?/h2>

本工作取試函數(shù)為

式中,qn(t),n=1,2,···,N為廣義位移,φ(x)為基函數(shù).將式(7)代入式(4)得

假定式(8)等號(hào)左邊的式子為余量,記為RN(x,t),權(quán)函數(shù)取試函數(shù)本身,則RN(x,t)滿足

將式(9)展開,即可實(shí)現(xiàn)對(duì)控制方程的N階Galerkin截?cái)?最終將方程轉(zhuǎn)化為含有N個(gè)未知數(shù)qn(t),n=1,2,···,N的常微分方程組.給定參數(shù),運(yùn)用四階Runge-Kutta法即可求解常微分方程組.本工作假定初始條件為

3 數(shù)值結(jié)果

本工作以普通汽車Z型V帶(GB/T 11544—1997)為例,V帶的材料參數(shù)如表1所示.仿真總時(shí)長取5 000 T,為了消除瞬態(tài)的影響,只保留最后100 T的數(shù)據(jù).

表1 V帶的材料參數(shù)Table 1 Material parameters of the V-belt

當(dāng)頻率為165 Hz,平均速度為18 m/s,擾動(dòng)速度幅值為1.895 m/s,楊氏模量E1和E2都為400 MPa時(shí),運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨阻尼系數(shù)的分岔情況如圖3所示.可見:當(dāng)0<α6 14.427(N·s)/mm時(shí),系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)14.427(N·s)/mm<α657.709(N·s)/mm時(shí),系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài);當(dāng)57.709(N·s)/mm<α686.560(N·s)/mm時(shí),系統(tǒng)再次處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).隨著阻尼系數(shù)的增大,系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)與周期運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的特性.

當(dāng)頻率為165 Hz,平均速度為18 m/s,擾動(dòng)速度幅值為1.040 m/s,阻尼系數(shù)為16.97(N·s)/mm,楊氏模量E2為400 MPa時(shí),運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨楊氏模量E1的分岔情況如圖4所示.可見:當(dāng)300.0 MPa

圖3 運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨阻尼系數(shù)的分岔情況Fig.3 Bifurcation graph of the damp vs.the displacement of the midpoint of the moving beam

當(dāng)頻率為165 Hz,平均速度為18 m/s,擾動(dòng)速度幅值為1.040 m/s,阻尼系數(shù)為16.97(N·s)/mm,楊氏模量E1為340 MPa,E2為400 MPa時(shí),運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)的相圖如圖5所示.可以看出,系統(tǒng)作周期運(yùn)動(dòng).

圖4 運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨楊氏模量E1的分岔情況Fig.4 Bifurcation graph of the Young’s modulus E1 vs.the displacement of the midpoint of the moving beam

圖5 運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)的相圖Fig.5 Phase diagram of the midpoint of the moving beam

當(dāng)頻率為165 Hz,平均速度為18 m/s,擾動(dòng)速度幅值為1.040 m/s,阻尼系數(shù)為16.97(N·s)/mm,楊氏模量E1為400 MPa時(shí),運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨楊氏模量E2的分岔情況如圖6所示.可見:當(dāng)300.0 MPa

圖6 運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移隨楊氏模量E2的分岔情況Fig.6 Bifurcation graph of the Young’s modulus E2 vs.the displacement of the midpoint of the moving beam

當(dāng)頻率為165 Hz,平均速度為18 m/s,擾動(dòng)速度幅值為1.040 m/s,阻尼系數(shù)為16.97(N·s)/mm,楊氏模量E1和E2均為400 MPa時(shí),運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖和相應(yīng)的頻譜分析圖、相圖和龐加萊映射圖如圖7所示.可以看到,運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)位移的時(shí)間歷程圖包含了無限個(gè)頻率,龐加萊映射圖中包含無限個(gè)點(diǎn),相圖不封閉.這些結(jié)果說明運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

圖7 運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)的混沌運(yùn)動(dòng)Fig.7 Chaos movement of the midpoint of the moving beam

4 結(jié)束語

本工作通過四階Galerkin截?cái)喾椒?研究了軸向運(yùn)動(dòng)三參數(shù)黏彈性梁在參數(shù)激勵(lì)下橫向振動(dòng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.通過龐加萊映射圖、相圖、時(shí)間歷程圖及其頻譜分析圖,觀察到了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng).根據(jù)系統(tǒng)隨阻尼系數(shù)、三參數(shù)模型剛度的分岔情況可以看出,隨著參數(shù)值的增大,混沌運(yùn)動(dòng)與周期運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn),說明系統(tǒng)對(duì)黏彈性各個(gè)參數(shù)都很敏感.