張 龍,胡世軍
(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)
我國(guó)現(xiàn)代化工業(yè)發(fā)展進(jìn)程中,齒輪是不可或缺的機(jī)械零件,數(shù)控滾齒機(jī)床在加工齒輪的過(guò)程中起十分重要的作用。目前主要使用誤差補(bǔ)償法來(lái)提高齒輪的制造精度,而準(zhǔn)確建立機(jī)床誤差幾何模型是進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵步驟,因此如何建立機(jī)床誤差幾何模型是目前需解決的難題。
近年來(lái),人們大多通過(guò)多體系統(tǒng)理論研究法來(lái)解決復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)產(chǎn)生的誤差問(wèn)題。多體系統(tǒng)可以對(duì)復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行概括,能夠綜合考慮機(jī)械系統(tǒng)相鄰部件的聯(lián)系,避免了建模過(guò)程中零部件的缺失,該方法具有準(zhǔn)確化、公式化、廣泛化、便于計(jì)算等特點(diǎn)[1]。
本文以多體系統(tǒng)理論研究法為依據(jù),通過(guò)對(duì)滾齒機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分析計(jì)算,得到相鄰部件產(chǎn)生的誤差,利用坐標(biāo)變換原理,建立誤差幾何模型,經(jīng)過(guò)對(duì)幾何模型進(jìn)行誤差解耦,最終求得機(jī)床各軸的誤差補(bǔ)償量。
目前齒輪加工的方法主要有兩大類,一類是成形法[2],其特點(diǎn)是加工精度和生產(chǎn)效率均比較低,不適合工業(yè)大批量生產(chǎn);另一類是展成法,使用一把刀具,加工相同模數(shù)、相同壓力角、不同齒數(shù)的齒輪,其加工精度與生產(chǎn)效率均比較高,故在工業(yè)生產(chǎn)中常使用此方法。齒輪加工的機(jī)床類型眾多,如滾齒機(jī)、插齒機(jī)、磨齒機(jī)等。本文以滾齒機(jī)為研究對(duì)象,通過(guò)一系列技術(shù)手段,提高齒輪的加工精度。
圖1為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)的簡(jiǎn)化物理結(jié)構(gòu)圖,它主要完成3部分運(yùn)動(dòng):
1)主運(yùn)動(dòng),即滾刀的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。
2)嚙合運(yùn)動(dòng),即齒坯和滾刀按照一定的速度比旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。
3)進(jìn)給運(yùn)動(dòng),即滾刀沿著齒坯軸向進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。
圖1 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)簡(jiǎn)化物理結(jié)構(gòu)圖
進(jìn)行誤差補(bǔ)償最重要的步驟是幾何誤差建模。當(dāng)前幾何誤差建模有諸多方法,例如多體系統(tǒng)理論法[3]、三角幾何法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和誤差矩陣法等,在這些方法中,利用多體系統(tǒng)理論方法來(lái)建立誤差模型,可以將齒輪機(jī)械的復(fù)雜性及系統(tǒng)的彼此關(guān)系進(jìn)行綜合考量,從而大幅度提高誤差模型的精準(zhǔn)度,有效克服了誤差建模過(guò)程的通用性差、自動(dòng)化程度低等問(wèn)題。
多體系統(tǒng)[4]是對(duì)一些復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的抽象描述,使用經(jīng)典力學(xué)方法建立微分方程,理論上可以解決任何復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)問(wèn)題,但由于部分系統(tǒng)中內(nèi)分體數(shù)和自由度較多,各個(gè)部件間的約束復(fù)雜,使得求解所建立的微分方程十分困難,因此使用傳統(tǒng)經(jīng)典力學(xué)方法對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行分析已不能滿足現(xiàn)代結(jié)構(gòu)計(jì)算的需要。目前普遍利用多體系統(tǒng)理論研究法來(lái)解決復(fù)雜系統(tǒng)中的問(wèn)題,該方法主要有兩個(gè)步驟,第一個(gè)步驟是建立模型,第二個(gè)步驟是求解模型。在建立模型時(shí),有數(shù)學(xué)模型和物理模型兩種。多體系統(tǒng)理論研究法可以對(duì)機(jī)械產(chǎn)品中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化和抽象,是目前解決復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)問(wèn)題的主要研究手段。
應(yīng)用多體系統(tǒng)理論研究法解決問(wèn)題的一個(gè)重要過(guò)程就是得出研究目標(biāo)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。假定慣性坐標(biāo)系是A0,選任意一體作為A1,沿著疏遠(yuǎn)A1的方向用增進(jìn)數(shù)列來(lái)標(biāo)記各個(gè)部件的序號(hào),最后將系統(tǒng)的所有分支全部標(biāo)記完成。圖2所示為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)的環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。
圖2 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖
在多體系統(tǒng)中,一般將構(gòu)成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的單位稱作體,常用低序體陣列對(duì)其進(jìn)行數(shù)字化表述,如圖3所示為YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)低序體陣列表,其中用Lj(k)來(lái)描述典型體k的j階低序體。
123456L0(k)123456L1(k)012045L2(k)001004L3(k)000000
圖3 YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)低序體陣列表
建立數(shù)控滾齒機(jī)床的幾何誤差模型,利用矩陣的運(yùn)算方式,把數(shù)控滾齒機(jī)各部件的傳動(dòng)誤差、安裝制造誤差、運(yùn)動(dòng)誤差統(tǒng)一疊加在刀具和工件對(duì)應(yīng)的位置矢量誤差上,并建立誤差特征矩陣。研究各個(gè)相鄰體的特征矩陣,通過(guò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)把這些特征矩陣相乘,進(jìn)而得到刀具和工件的最終誤差矩陣Tmn。
Tmn=Tmn,pTmn,peTmn,sTmn,se
(1)
式中:Tmn,p為鄰體的位置矩陣;Tmn,pe為位置誤差矩陣;Tmn,s為位移矩陣;Tmn,se為位移誤差矩陣。
(2)
(3)
(4)
(5)
式中:amn,bmn,cmn為相鄰體間的靜止位置;θxmn,θymn,θzmn為靜止角度姿態(tài);xDH,yDH,zDH為運(yùn)動(dòng)位移誤差;xDHmn,yDHmn,zDHmn為靜止位置誤差;εoxmn,εoymn,εozmn為靜止角度姿態(tài)誤差;xmn,ymn,zmn為運(yùn)動(dòng)位移;αmn,βmn,γmn為運(yùn)動(dòng)角度姿態(tài);εxmn,εymn,εzmn為運(yùn)動(dòng)角度姿態(tài)誤差。
對(duì)數(shù)控滾齒機(jī)床進(jìn)行幾何誤差建模,依次建立各體的坐標(biāo)系,數(shù)控滾齒機(jī)床相鄰體之間的誤差利用滾齒機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)傳遞計(jì)算,進(jìn)而得到刀具和工件的相對(duì)位置偏差,通過(guò)對(duì)此位置偏差進(jìn)行計(jì)算,從而得到數(shù)控滾齒機(jī)床的幾何誤差模型矩陣。
2.4.1坐標(biāo)系設(shè)立
設(shè)立0,1,2,3,4,5,6坐標(biāo)系分別為床身坐標(biāo)系(基坐標(biāo)系)、立柱坐標(biāo)系、滾刀主軸坐標(biāo)系、滾刀坐標(biāo)系、X向進(jìn)給板坐標(biāo)系、工件軸坐標(biāo)系、工件坐標(biāo)系。
2.4.2建模分析
(6)
對(duì)YK3150E滾齒機(jī)誤差進(jìn)行分析,由于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在誤差,因此坐標(biāo)系3相對(duì)于坐標(biāo)系6的變換矩陣為:
(7)
式中:e為運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所存在的誤差。在實(shí)際加工過(guò)程中,刀具坐標(biāo)系3相對(duì)于工件坐標(biāo)系6的變換矩陣為在理想情況下的變換矩陣上面疊加一個(gè)誤差運(yùn)動(dòng)矩陣E,即:
(8)
計(jì)算數(shù)控滾齒機(jī)每對(duì)相鄰件的特征矩陣,使用齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)變法[5],將切削點(diǎn)在刀具坐標(biāo)系3中的坐標(biāo),轉(zhuǎn)變到工件坐標(biāo)系6中。這兩個(gè)坐標(biāo)系中,當(dāng)相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸之間的夾角小于0.5°時(shí),轉(zhuǎn)換矩陣將簡(jiǎn)寫(xiě)成以下形式,從而得到機(jī)床加工誤差的幾何數(shù)學(xué)模型為:
(9)
式中:x63,y63,z63分別為切削刀所在坐標(biāo)系3對(duì)應(yīng)被加工件所在坐標(biāo)系6中沿X,Y,Z軸的運(yùn)動(dòng)位移誤差;α,β,γ分別為刀具坐標(biāo)系3繞工件坐標(biāo)系6中Z,Y,X軸的回轉(zhuǎn)角度誤差。
上述得到誤差幾何數(shù)學(xué)模型是滾刀相對(duì)于工件的誤差矢量,要想提高齒輪加工精度,需要得到各軸獨(dú)立的進(jìn)給誤差補(bǔ)償量,而滾刀和工件之間的誤差矢量與各軸的誤差補(bǔ)償量間存在耦合關(guān)系,故需要對(duì)其進(jìn)行誤差解耦[6]。本文利用變系數(shù)微積分法,忽略運(yùn)動(dòng)誤差影響,通過(guò)各軸補(bǔ)償值的正負(fù)號(hào),來(lái)確定補(bǔ)償?shù)姆较?,使其在進(jìn)行誤差補(bǔ)償后,分離的滾刀坐標(biāo)系3與工件坐標(biāo)系6盡量重合,則存在以下函數(shù)關(guān)系:eT6,3·sT6,3=E,用sT6,3表示坐標(biāo)系3相對(duì)坐標(biāo)系6補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)變換的矩陣;eT6,3表示幾何誤差模型矩陣。由微分變換法可知滾刀坐標(biāo)系3對(duì)于工件坐標(biāo)系6的微分變換為:
(10)
式中:ΔθB,ΔθC,Δx,Δy,Δz分別為旋轉(zhuǎn)軸B、旋轉(zhuǎn)軸C和X,Y,Z軸的補(bǔ)償當(dāng)量。
同時(shí):
(11)
且:
eT6,3·sT6,3=E
(12)
sT6,3=T6,3+dT6,3
(13)
聯(lián)立公式(10)~(13),可得YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)床每一個(gè)軸的誤差補(bǔ)償量為:
δx=sinψ[y63-zcosψ(x-Q)]+
z[cosψsinφ(x-Q)/cosφ-cscψ]-cosψx63
(14)
δy=-x63sinψ-y63cosψ-
z[1+(x-Q)cos2ψ]-tanφ(x-Q)(1+zcos2ψ)/sinψ
(15)
δz=cscψ(x-Q)-z63
(16)
式中:Q為坐標(biāo)系6相對(duì)坐標(biāo)系3在X軸的偏離量;x,z為機(jī)床沿X軸、Z軸的運(yùn)動(dòng)位移;x63,y63,z63分別為坐標(biāo)系6相對(duì)于坐標(biāo)系3在X,Y,Z軸的運(yùn)動(dòng)位移誤差;ψ為工件的轉(zhuǎn)動(dòng)量;φ為滾齒機(jī)加工斜齒輪時(shí)滾刀安裝的角度。
將誤差模型進(jìn)行數(shù)據(jù)解耦后得到各軸件的誤差補(bǔ)償量,通過(guò)修改數(shù)控機(jī)床加工參數(shù),對(duì)齒輪加工精度進(jìn)行修正,從而提高了齒輪本身的精度。
隨著制造業(yè)的飛速發(fā)展,齒輪加工、制造的水平也在逐步提高。YK3150E數(shù)控滾齒機(jī)床的加工精度對(duì)我國(guó)齒輪制造業(yè)的發(fā)展作用重大。本文通過(guò)多體系統(tǒng)理論研究法,建立機(jī)床拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),用低序體陣列對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)數(shù)字化描述,結(jié)合坐標(biāo)變換法進(jìn)行機(jī)床誤差幾何建模,從而分析了滾刀和工件之間產(chǎn)生的位置誤差和旋轉(zhuǎn)誤差對(duì)齒輪加工精度所造成的影響,通過(guò)變系數(shù)微分法,對(duì)幾何模型進(jìn)行誤差解耦,進(jìn)一步得到機(jī)床各軸的誤差補(bǔ)償量,根據(jù)所得到的誤差補(bǔ)償量,可以對(duì)齒輪加工精度進(jìn)行修正。這一研究對(duì)于提高齒輪的制造精度有著重要作用,同時(shí)也對(duì)研究數(shù)控滾齒機(jī)床誤差補(bǔ)償技術(shù)具有一定的借鑒意義。