國(guó)忠金， 張 偉， 夏麗莉

(1. 泰山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 泰安 271000；2.北京工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，北京 100124；3. 機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100124)

非線性動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)分析對(duì)機(jī)械、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題研究是非常重要的，它能夠全面了解和準(zhǔn)確預(yù)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性。近年來(lái)，旋轉(zhuǎn)拋物線上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)引起了廣泛關(guān)注[1-2]，其控制方程為如下非線性自治微分方程

(1)

式中：△為線性剛性系數(shù)且△>0；q為非線性項(xiàng)系數(shù)且q>0；A為初始振幅且A>0。

針對(duì)方程(1)，文獻(xiàn)[3]運(yùn)用同倫與攝動(dòng)耦合方法，文獻(xiàn)[4]利用改進(jìn)的迭代攝動(dòng)法，文獻(xiàn)[5]運(yùn)用能量平衡法、同倫攝動(dòng)法、振幅-頻率公式以及微分變換法，文獻(xiàn)[6]運(yùn)用哈密爾頓法，文獻(xiàn)[7]運(yùn)用變分法，文獻(xiàn)[8]運(yùn)用優(yōu)化同倫分析方法獲得了其穩(wěn)態(tài)下的振動(dòng)頻率。一方面，以上文獻(xiàn)給出的近似振動(dòng)頻率與精確結(jié)果之間存在一定的誤差，其近似精度有待提高。另一反面，攝動(dòng)方法適用于弱非線性系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的振動(dòng)頻率隨系統(tǒng)參數(shù)尤其是非線性項(xiàng)系數(shù)變化的振動(dòng)特性還需進(jìn)一步研究。

諧波平衡方法是不受小參數(shù)約束應(yīng)用最廣泛的定量分析方法。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用諧波平衡法計(jì)算了一個(gè)恢復(fù)力與因變量成反比的非線性振子的近似頻率和近似周期。文獻(xiàn)[10]基于諧波平衡法研究了擺線鋼球行星傳動(dòng)系統(tǒng)的基頻穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及動(dòng)態(tài)特性。諧波平衡對(duì)于一階近似解求解很方便，但精度不高。因此，許多研究者將諧波平衡法進(jìn)行了一些推廣，發(fā)展了一些諸如增量諧波平衡[11]、攝動(dòng)-增量[12]、牛頓諧波平衡[13]、余量諧波平衡[14]、多層余量諧波平衡[15]等方法。余量諧波平衡引入階層參數(shù)，融合同倫思想到諧波平衡方法中，繼而余量延拓，易獲得高階近似解。

本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)拋物線上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)建了其振動(dòng)頻率、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)求解的余量諧波平衡解程序，得到系統(tǒng)的高階余量諧波平衡近似，并與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析。進(jìn)而研究了系統(tǒng)初始振幅、非線性項(xiàng)系數(shù)等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)非線性振動(dòng)頻率特性的影響。

1 余量諧波平衡解程序

假定ω是方程(1)的未知振動(dòng)角頻率，引入變量τ=ωt，得

(2)

基于方程(2)的對(duì)稱性，其周期解具有如下基本解級(jí)數(shù)形式

{cos[(2k+1)]|k=0,1,2,…}

(3)

為方便計(jì)算，引入階層參數(shù)p，并將系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下解響應(yīng)及振動(dòng)頻率設(shè)為

(4)

式中：ωi(i=0,1,2,…)為未知頻率。

1.1 初始諧波近似

根據(jù)方程(2)初始條件，初始諧波解為如下形式

u0(τ)=Acos(τ),τ=ω0t

(5)

將式(5)代入式(2)，得初始余量項(xiàng)

(6)

根據(jù)伽遼金法，消除久期項(xiàng)，易獲得初始諧波近似頻率及周期響應(yīng)為

(7)

式(7)近似公式與同倫與攝動(dòng)耦合方法、改進(jìn)的迭代攝動(dòng)法、能量平衡法、同倫攝動(dòng)法、振幅-頻率公式、哈密爾頓解法、變分法等方法近似結(jié)果一致。

1.2 1 階余量諧波近似

將初始近似式(7)代入余量項(xiàng)式(6)時(shí)，系數(shù)非零。因此，我們將式(4)代入(2)合并階層參數(shù)的一次系數(shù)，得

(8)

式(8)為關(guān)于未知ω1和u1(τ)的線性方程，根據(jù)周期解級(jí)數(shù)形式(3)及初始條件，假定

u1(τ)=a3,1[cos(τ)-cos(3τ)]

(9)

將式(9)代入式(8)，并消除初始余量項(xiàng)，得

R1(τ)=Г1(τ)+R0(τ)=

(10)

將初始余量項(xiàng)引入式(10)，提高解的精確性。根據(jù)伽遼金法，消除久期項(xiàng)，我們解cos(τ)和cos(3τ)的系數(shù)方程得1-階余量諧波近似為：

(11)

1.3 2 階余量諧波近似

將1-階余量諧波近似式(11)代入余量項(xiàng)式(10)時(shí)，cos(5τ)系數(shù)非零。因此，我們將式(4)代入式(2)合并階層參數(shù)p的2次系數(shù)，得

(12)

式(12)為關(guān)于未知ω2和u2(τ)的線性方程，根據(jù)周期解級(jí)數(shù)形式(3)及初始條件，假定

u2(τ)=a3,2[cos(τ)-cos(3τ)]+a5,2[cos(τ)-cos(5τ)]

(13)

將式(13)代入(12)式，并消除1-階余量項(xiàng)，得

(14)

根據(jù)伽遼金法，消除久期項(xiàng)，我們解cos(τ)，cos(3τ)和cos(5τ)的系數(shù)方程得2-階余量諧波近似為：

(A+a3,1+a3,2+a5,2)cos(τ)-(a3,1+a3,2)cos(3τ)-

a5,2cos(5τ),τ=ω(1)t

(15)

1.4 高階余量諧波近似

類似于上述求解過(guò)程，一般地，k-階余量諧波近似

u(k)(τ)=u(k-1)(τ)+uk(τ),

u(k-1)(τ)=u(k-2)(τ)+uk-1(τ),

u(0)=Acos(τ),ω(0)=ω0,k=2,3,4,…

(16)

2 結(jié)果分析與討論

本部分給出了實(shí)例討論了文中所給出結(jié)果的有效性，并圖解了非線性項(xiàng)系數(shù)，線性剛度系數(shù)，初始振幅-頻率曲線以及初始振幅、非線性項(xiàng)系數(shù)的影響。

2.1 近似解析解比較

通過(guò)積分方程(1)，其精確振動(dòng)頻率為

(17)

表1給出了已有文獻(xiàn)[3-7]結(jié)果與本文2-階余量諧波近似結(jié)果的比較，其中相對(duì)誤差定義為：

(18)

表1 余量諧波平衡解頻率及其相對(duì)誤差與已有文獻(xiàn)和精確解結(jié)果的比較Tab.1 The Residue harmonic balance frequency and relative error presented here with result comparison from other references and exact solution

從表1可以看出，本文給出的近似振動(dòng)頻率結(jié)果比已有文獻(xiàn)：同倫與攝動(dòng)耦合方法、改進(jìn)的迭代攝動(dòng)法、能量平衡法、同倫攝動(dòng)法、振幅-頻率公式、變分法、哈密爾頓法等方法在各類參數(shù)下結(jié)果更加精確，與精確解的相對(duì)誤差大大降低。

為了進(jìn)一步圖解本文結(jié)果的有效性，圖1，2顯示了不同參數(shù)下系統(tǒng)的時(shí)域振幅曲線比較。其中，圖1近似解析表達(dá)如下：

文獻(xiàn)[3-7]近似為：u(t)=cos(0.811 1t)

本文2-階余量諧波平衡近似：

u(t)=1.058 7 cos(0.828 78t)-0.076 7 cos(2.486 3t)+0.017 95 cos(4.143 9t)

圖2近似解析表達(dá)如下：

文獻(xiàn)[3-7]近似為：u(t)=2 cos(0.662 27t)

本文2-階余量諧波平衡近似：

u(t)=2.114 6 cos(0.679 75t)-0.150 2 cos(2.039 3t)+0.035 55 cos(3.398 7t)

圖1 解析近似解與精確解比較當(dāng)q=0.8,Δ=1.5與A=1 Fig.1 Comparison of analytical solution u(t) with the exact one for case q=0.8，Δ=1.5 and A=1

圖2 解析近似解與精確解比較當(dāng)q=0.4,Δ=1.5與A=2 Fig.2 Comparison of analytical solution u(t) with the exact one for case q=0.4，Δ=1 and A=2

2.2 非線性項(xiàng)系數(shù)q-頻率曲線及其初始振幅影響

以Δ=1.5為例，圖3圖解了非線性項(xiàng)系數(shù)-振動(dòng)頻率曲線及其初始振幅的影響。其中圈線為本文所給出的2-階余量諧波近似，實(shí)線為精確值。從圖3可以看出，隨著系統(tǒng)非線性項(xiàng)系數(shù)q的增大，振動(dòng)頻率逐漸減小，初始振幅越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。并且本文獲得的高階解析近似結(jié)果與精確值吻合的相當(dāng)好。

圖3 非線性項(xiàng)系數(shù)q與振動(dòng)頻率曲線及其比較Δ=1.5，其中“o” 線表示本文的2-階余量諧波平衡近似，實(shí)線為精確結(jié)果。Fig.3 Comparison of vibration frequency corresponding to nonlinear parameter q and Δ=1.5.“o” lines denotes the presented second-order residue harmonic balance approximations, solid lines are exact ones.

2.3 初始振幅A-頻率曲線及其非線性項(xiàng)系數(shù)影響

以Δ=2為例，圖4圖解了初始振幅-振動(dòng)頻率曲線及其非線性項(xiàng)系數(shù)的影響。其中圈線為本文所給出的2-階余量諧波近似，實(shí)線為精確值。從圖4可以看出，隨著初始振幅A的增大，振動(dòng)頻率逐漸減小。在其他參數(shù)不變條件下，非線性項(xiàng)系數(shù)越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。并且本文獲得的高階解析近似結(jié)果與精確值吻合的比較一致。

圖4 初始振幅A與振動(dòng)頻率曲線及其比較Δ=2，其中“o” 線表示本文的2-階余量諧波平衡近似，實(shí)線為精確結(jié)果。Fig.4 Comparison of vibration frequency corresponding to initial amplitude A and Δ=2.“o” lines denotes the presented second- orderresidue harmonic balance approximations, solid lines are exact ones.

2.4 線性剛性系數(shù)-頻率曲線及其非線性項(xiàng)系數(shù)影響

以A=0.5為例，圖5圖解了線性剛度系數(shù)-振動(dòng)頻率曲線及其非線性項(xiàng)系數(shù)的影響。其中圈線為本文所給出的2-階余量諧波近似，實(shí)線為精確值。從圖5可以看出，隨著線性剛度系數(shù)Δ的增大，振動(dòng)頻率逐漸增大。在其他參數(shù)不變條件下，非線性項(xiàng)系數(shù)越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。并且本文獲得的2-階余量諧波解析近似結(jié)果與精確值保持一致。

圖5 線性剛度系數(shù)與振動(dòng)頻率曲線及其比較A=0.5，其中“o” 線表示本文的2-階余量諧波平衡近似，實(shí)線為精確結(jié)果。Fig.5 Comparison of vibration frequency corresponding to linear stiffness coefficient Δ and A=0.5. “o” lines denotes the presented second-order residue harmonic balance approximations, solid lines are exact ones.

3 結(jié) 論

本文基于諧波平衡方法，發(fā)揮同倫思想的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)建了不含小參數(shù),適用于求解非線性自治振動(dòng)系統(tǒng)高階近似的余量諧波平衡解程序。解程序在每一階近似中均消除了上一階的諧波余量，高階近似表達(dá)僅需初始諧波近似，不需根據(jù)前一階近似進(jìn)行調(diào)整。理論上，任何精度的高階近似均能依次獲得。

將方法運(yùn)用到旋轉(zhuǎn)拋物線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程中，我們可以看到

(1)本文獲得的2-階余量諧波平衡近似振動(dòng)頻率比已有的變分法、哈密爾頓法、同倫與攝動(dòng)耦合方法等結(jié)果更加精確，與精確值的相對(duì)誤差在不同參數(shù)下均大大降低。本文獲得的高階解析近似結(jié)果與精確值吻合的相當(dāng)好。

(2)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的振動(dòng)頻率隨系統(tǒng)非線性項(xiàng)系數(shù)的增大而逐漸減小，并且初始振幅越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。

(3)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的振動(dòng)頻率隨初始振幅A的增大而逐漸減小，并且非線性項(xiàng)系數(shù)越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。

(4)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下的振動(dòng)頻率隨線性剛度系數(shù)Δ的增大而逐漸增大，并且非線性項(xiàng)系數(shù)越大，其相應(yīng)的振動(dòng)頻率越小。