張正星，趙耀，胡小才，楊振

華中科技大學船舶與海洋工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

在造船工業(yè)中，船舶外板的加工通常采用線加熱工藝。該工藝是一種沿預定的加熱線對板材進行局部線狀加熱的方法，采用水跟蹤冷卻（或自然冷卻），使板材產生局部塑性變形，從而將其彎成需要的曲面形狀。傳統(tǒng)的線加熱工藝使用的是氧乙炔火焰作為熱源對鋼板進行加熱。隨著技術的發(fā)展和造船模式的轉變，高頻感應加熱因效率高、精度較易控制和更環(huán)保等特點，在很多工業(yè)領域得到了廣泛應用。作為一種線加熱工藝的熱源，高頻感應加熱也受到越來越多研究人員的關注。例如，Neki等［1］針對高頻感應加熱工藝，運用有限元法和熱彈性塑性理論，對溫度場分布及計算變形量進行了分析，通過與實驗數(shù)據比較，發(fā)現(xiàn)兩者基本一致，但該研究僅在理論基礎上進行了計算，并未建立數(shù)值模型，且針對的是靜止式感應加熱；Luo等［2］在建立的鋼板感應加熱平面熱源模型的基礎上，通過加載熱源模型的方式，模擬了平板感應加熱過程中的溫度分布和固有應變，但并未涉及感應器在移動加熱時的電磁場計算過程；Baek等［3］將感應加熱中的電磁場和溫度場分開來求解，首先通過電磁分析和計算得到熱通量，再加載到計算模型中，進而求解鋼板的熱分布，但求解的方法簡化了電磁場和溫度場的雙向耦合過程，熱源模型的熱流密度分布與實際熱源相差較大。

針對移動式熱源加熱過程的數(shù)值模擬計算，研究人員在焊接、激光加熱等領域對其進行了大量研究。例如，Cheng和Lin［4］建立了移動式熱源加熱過程的三維溫度場解析模型，將熱源設定為沿平行于矩形板的板邊方向移動，在移動中使用高斯熱源模型模擬移動熱源。Araya和Gutierrez［5］建立了鋼板激光加熱過程中溫度場分布的計算模型，同樣使用高斯熱源模擬激光束熱源。

高頻感應加熱熱源受感應器幾何形狀和加熱參數(shù)等諸多因素的影響，且與工件的溫度關系密切，難以用一個恒定的熱源來替代。移動式感應加熱過程涉及多個物理場間的耦合，若要建立準確的數(shù)值模型非常困難。而楊玉龍［6］建立的移動式感應加熱數(shù)值模型是通過小步距、間歇式移動式感應器來模擬連續(xù)的移動加熱過程，該模型盡管考慮了電磁場和溫度場的磁熱雙向耦合，但卻十分復雜，耗費的計算資源和時間巨大。在感應加熱數(shù)值計算中，通常采用的是（電）磁熱耦合方法［7-11］。該方法準確性高，但模型過于龐大且復雜，尤其是應用于移動式感應加熱的數(shù)值計算時，也存在計算資源和時間耗費巨大的問題。

本文將提出一種針對高頻感應加熱熱源的簡化計算方法，通過分析加熱過程中電磁場和感應電流的分布特性，以一個空間函數(shù)形式的熱源模型來代替復雜的磁熱耦合計算，通過比較上述兩種方法得到的溫度場分布，對該熱源模型應用于靜止式感應加熱數(shù)值計算中的可靠性進行驗證。

1 高頻感應加熱熱源模型研究

目前，國內外各大船廠主要使用線加熱工藝來加工船體外板。對于線加熱工藝的研究，早期的方法是通過對大量鋼板的實際加工測量來掌握船體外板的變形規(guī)律。這種方法雖然得到的結論真實可靠，但參數(shù)非常多，若要掌握各項參數(shù)對鋼板變形的影響，需開展大量的實驗，準備工作繁雜，人力和物力消耗巨大，成本相當高。隨著計算機數(shù)值模擬技術的迅速發(fā)展，其優(yōu)勢明顯大于實驗方法，故得到了廣泛應用。目前，線加熱工藝的研究多以數(shù)值模擬為主，再輔之以實驗方法來進行驗證。對于高頻感應加熱的數(shù)值模擬，廣泛得到運用的是磁熱耦合方法［12］。

1.1 磁熱耦合計算方法

圖1所示為磁熱耦合計算方法流程圖。該方法的主要計算步驟如下：

1）建立模型，包括建立鋼板、感應線圈及周圍空氣的模型，輸入材料屬性，施加載荷及設置邊界條件。

2）設置物理場的初始環(huán)境，即電磁場和溫度場。

3）讀入電磁場物理環(huán)境，求解得到鋼板中生熱率的分布。

圖1 磁熱耦合計算流程圖Fig.1 Flow chart of electromagnetic-thermal coupling calculation

4）讀入溫度場物理環(huán)境。

5）讀入電磁場求解得到的生熱率。

6）求解溫度場，得到鋼板溫度分布。

7）判斷求解是否結束，若結束，可得到鋼板溫度分布的計算結果；若未結束，則進入步驟8）。

8）判斷是否更新電磁場材料屬性，若需要，則利用求解得到的鋼板節(jié)點溫度來更新電磁場的材料屬性，并重復步驟3）；若不需要，則進入下一個載荷步求解，并重復步驟4）。

從上述方法可知，在運用磁熱耦合方法進行計算時，需要先建立電磁場和溫度場物理環(huán)境，然后再進行計算，而計算每個物理環(huán)境得到的結果又是另一個物理環(huán)境的載荷。該方法得到的結果雖較準確，但耗時過長。

對于運用磁耦合方法計算移動式加熱過程，要求感應器在鋼板上方移動。此外，還需在計算過程中重新建立模型以及劃分網格。這會使得計算模型十分龐大和復雜，需要消耗大量的計算資源和時間。所以，本文提出了代替感應加熱耦合計算的熱源簡化計算方法，可同時解決磁熱耦合計算模型過于復雜及計算時間過長的問題。

1.2 熱源模型空間函數(shù)建立

鋼板感應加熱模擬計算的本質是求解得到熱量分布，然后將熱量分布加載到計算模型中的鋼板上，進而計算鋼板的溫度場，最后得到鋼板上的溫度分布。因此，若能得到熱量分布并直接加載到鋼板模型上進行運算，則僅需創(chuàng)建鋼板模型，無需為巨大的空氣域和復雜的感應器進行建模，故可明顯降低模型復雜度，提升計算速度和效率。

1.2.1 感應加熱原理簡介

感應加熱的熱量主要來源于渦流損耗的焦耳熱效應［13］。任意導體中通過電流時都會在其周圍空間和導體內部激發(fā)磁場；恒穩(wěn)的電流產生恒定磁場，交變的電流產生交變磁場，在此感應線圈中的零件（部件）會被此交變磁場所切割［14］。根據電磁場理論，變化的磁場會產生感應電動勢?，用法拉第電磁感應定律則可表示為［15］

式中：E為電動勢；l為任意截面或范圍的回路電流。

由于存在感應電動勢，在零件表面薄層內將形成封閉的電流回路，通常把這種電流稱為渦流。假設回路中的渦流強度為I，電阻為R，則根據焦耳定律，在時間t內，回流中產生的熱量Q即為

鋼板的高頻感應加熱方式基本上分為2種：靜止式加熱和移動式加熱［16］。前者指感應器在整個加熱過程中無需移動，等加熱到一定溫度后再移開感應器，然后再對鋼板進行冷卻的加熱方式；后者則類似于氧乙炔火焰的加熱方式，加熱時感應器以一定的速度和路徑在鋼板上方移動。

1.2.2 高頻感應加熱的集膚效應

對鋼板感應加熱熱源進行熱量分布計算，需要對感應加熱熱源的特點有一定的了解。在計算中，加載熱量采取2種方式：一種是將生熱率作為體熱源進行加載；另一種是將熱流密度作為表面熱源進行加載。鋼板感應加熱熱源來自電磁感應在鋼板上產生的無數(shù)渦流。根據焦耳定律，具有一定電阻的鋼板在加熱過程中會產生熱量，使其溫度升高。該電磁感應加熱產生的感應電流主要集中于鋼板表面厚度很薄的一層中，此現(xiàn)象被稱為“集膚效應”。這層感應電流分布在鋼板表面上的厚度被稱為“集膚深度”，并可由下式計算：

式中：δ為集膚深度，mm；ρ為鋼板的電阻率，Ω·m；f為電流頻率，Hz；μ為相對磁導率，H/m。

本文計算表明，鋼板上加熱的熱量約有90%處于集膚深度內。以電流頻率為12.7 kHz的Q345鋼板為例，按照式（3）計算得到的鋼板集膚深度僅約1 mm。而船體外板厚度一般在10 mm以上，相對于船體外板厚度，該集膚深度非常小，故可將該熱源簡化為表面熱源來處理。表1和表2給出了Q345鋼材料在不同溫度下的特性。

表1 不同溫度下Q345鋼的電阻率Table 1 The resistivity of Q345 steel at different temperatures

表2 不同溫度下Q345鋼的相對磁導率Table 2 The relative permeability of Q345 steel at different temperatures

1.2.3 熱流密度空間函數(shù)

由上文可知，高頻感應加熱的原理是感應加熱線圈中交變電流與鋼板之間互感，在鋼板表面薄層中產生感生渦流，而鋼板本身由于具有一定的電阻，從而使鋼板產生熱量。

若將感應線圈與鋼板間互感產生的熱量簡化為表面熱源，則需了解在感應加熱過程中鋼板表面的渦流分布情況。為此，本文建立了一個如圖2所示的簡單的鋼板靜止式感應加熱模型，使用磁熱耦合方法對感應加熱過程進行計算。

圖2 鋼板靜止式感應加熱模型Fig.2 Model of static induction heating for steel plate

在感應線圈中，若電流大小和距離鋼板表面的高度等條件不變，則鋼板表面感應電流密度與鋼板相對磁導率呈正相關關系。隨著鋼板溫度的升高，鋼板相對磁導率降低，因此鋼板表面的感應電流隨溫度的變化而變化。如圖3所示，當鋼板表面中心點溫度達到居里溫度時，感應電流密度變?yōu)?。

圖3 鋼板表面中心點電流密度隨溫度變化的曲線Fig.3 Variation curve of surface current density of center point on steel plate with temperatures

從鋼板表面中心點可以看出該點的感應電流隨溫度變化的規(guī)律，但不能簡單地將此規(guī)律推廣到整個鋼板表面。因此，如圖4所示，沿鋼板表面取一條截線，得到在加熱過程中及不同加熱時間之后，鋼板在這條截線上的感應電流密度分布（圖5）。

從圖5可以看出，在不同加熱時間下，鋼板表面感應電流分布的特點是一致的，即在感應線圈正下方鋼板表面附近的感應電流密度最大，然后沿兩側迅速下降。隨著加熱時間的增加，鋼板溫度不斷升高，鋼板表面的感應電流密度隨之下降。因此，若將鋼板在初始加熱條件下表面的電流密度分布設為初值，再用初值乘以某個系數(shù)來代替其他溫度下鋼板表面的電流密度分布，就可以得到鋼板表面的電流密度隨溫度變化的函數(shù)J(x，y，T)。其中，x，y為鋼板表面坐標，T為鋼板表面坐標點的溫度，即鋼板表面坐標點的溫度范圍為鋼板初始加熱溫度到鋼板居里溫度。

圖4 鋼板表面截線示意圖Fig.4 Schematic diagram of surface section of steel plate

圖5 鋼板表面截線上的電流密度分布曲線Fig.5 Distribution curves of current density on the surface section of steel plate

得到感應加熱過程中鋼板表面的電流密度函數(shù)之后，根據焦耳定律，即式（4），可以求出在鋼板中的生熱率分布：

式中：g為鋼板中的生熱率函數(shù)；J為感應電流密度函數(shù)。

此后，再將生熱率函數(shù)沿鋼板厚度方向進行積分，便可得到鋼板表面的熱流密度空間函數(shù)。

2 熱源模型可靠性驗證

為了驗證熱源模型的可靠性，分別采用磁熱耦合數(shù)值計算和熱源空間函數(shù)方法得到鋼板溫度場變化情況，并將兩者的結果進行了比較，以驗證熱源模型的可靠性。

2.1 鋼板靜止式感應加熱磁熱耦合分析

本文使用COMSOL Multi-physics有限元分析軟件進行鋼板靜止式感應加熱的模擬仿真。在磁熱耦合計算中，需要建立鋼板、感應線圈和空氣域有限元模型。圖6所示為鋼板靜止式感應加熱模型示意圖。

圖6 磁熱耦合計算模型Fig.6 Model of electro magnetic thermal coupling calculation

由于感應加熱時，鋼板上的渦流在集膚效應作用下主要集中在鋼板表面的一層內，為確保計算精度，在網格劃分時至少需要在集膚深度內劃分多層單元。同時，為減少計算時間，可以將靠近加熱面一側的網格劃分得更密一些，而在加熱背面的則可劃分得稀疏一些，如圖7所示。

圖7 磁熱耦合計算的網格劃分Fig.7 Meshing of electromagnetic thermal coupling calculation

在模型中采用船用低碳鋼作為加熱材料，鋼板尺寸為200 mm×200 mm×20 mm。感應線圈采用單匝圓形截面的紫銅線圈，內通20℃冷卻水。其他加熱模型參數(shù)見表3。

表3 靜止式感應加熱模型參數(shù)Table 3 Parameters of static induction heating model

經過計算，在加熱300 s后，得到鋼板的溫度場分布如圖8所示。

圖8 磁熱耦合方法計算的鋼板溫度場Fig.8 Temperature field of steel plate by electro magnetic thermal coupling calculation

由圖8可以看出，鋼板的高溫區(qū)集中在鋼板表面，在感應加熱線圈正下方的圓環(huán)區(qū)域，最高溫度達到了800℃。

2.2 感應加熱熱源模型方法分析

首先，使用COMSOL Multi-physics有限元軟件建立上節(jié)所述模型，但僅計算鋼板初始加熱條件下鋼板表面的渦流密度。如圖9所示，感生渦流主要集中在鋼板表面的圓環(huán)區(qū)域內，該圓環(huán)區(qū)域在感應加熱線圈的正下方位置。

由于上述計算過程僅涉及了單一物理場，即磁場，故極大地提高了計算速度。在此基礎上，利用計算得到的鋼板表面渦流密度分布情況，可以獲得感應加熱熱源在鋼板表面的熱流密度，進而將此轉化為可在有限元分析軟件中輸入的熱流密度空間函數(shù)，如圖10所示。

圖9 鋼板表面的渦流密度分布Fig.9 Distribution of eddy current density on the surface of steel plate

圖10 熱流密度空間函數(shù)示意圖Fig.10 Schematic diagram of spatial function of heat flow density

最后，使用圖10所示熱流密度空間函數(shù)進行計算。因為是直接將熱流密度載荷加載到鋼板上計算，故顯著簡化了鋼板的建模過程。圖11所示為建立的有限元模型。

圖11 熱源計算模型Fig.11 Calculation model of heat source

經過計算，加熱300 s后得到鋼板溫度場分布。如圖12所示，鋼板高溫區(qū)域都集中在鋼板表面，可以看到一個明顯的高溫圓環(huán)，該圓環(huán)剛好位于感應線圈的正下方。

2.3 磁熱耦合與熱源模型計算結果對比

通過對比圖8和圖12可以看出，磁熱耦合計算和熱源模型計算這兩種方法得到的鋼板溫度場分布一致。為繼續(xù)驗證熱源模型的可靠性，分別在鋼板中取表面中心點A和鋼板內部中心點B，并對兩點的溫度曲線進行比較，結果分別如圖13和圖14所示。從兩個圖中可以看出，兩種方法得到的溫度場變化規(guī)律比較一致。

圖12 熱源模型計算得到的鋼板溫度場Fig.12 Temperature distribution of steel plate by heat source model

圖13 A點溫度變化曲線Fig.13 Variation curves of point A temperature

圖14 B點溫度變化曲線Fig.14 Variation curves of point B temperature

為了比較磁熱耦合和熱源模型這兩種計算方法的計算效率，將兩種方法各自模型的自由度數(shù)目和計算時間列于表4。

如前所述，磁熱耦合分析不僅需要建立鋼板模型，還需要建立計算感應線圈及空氣域的模型，故模型中自由度數(shù)目較大。而采用熱源模型進行計算，模型得到了簡化，所需的計算自由度數(shù)目和計算時間顯著減少。通過對比不難看出，使用熱源模型計算在精度上可以滿足要求，且計算效率得到了大幅度提高。

表4 磁熱耦合和熱源模型計算方法的效率比較Table 4 Efficiency comparisons of electromagnetic thermal coupling calculation with heat source model

3 結 語

本文針對在船用鋼板高頻感應加熱數(shù)值計算中，磁熱耦合計算方法存在模型復雜、耗時過長等問題，通過計算和理論推導，提出了一種感應加熱熱源的簡化方法，即以一個空間函數(shù)形式的熱源模型來代替復雜的磁熱耦合計算。通過比較采用簡化方法和磁熱耦合方法計算的結果，驗證了采用所提方法得到的熱源模型的可靠性。同時，從兩種計算方法所需時間及模型的自由度數(shù)目可以發(fā)現(xiàn)，簡化方法計算時間明顯減少，計算效率顯著提高。