吳崇建 ，雷智洋 ，吳有生

1中國艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064

2船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430064

3中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082

0 引 言

波傳播分析法，也叫WPA法，是Wave Propa?gation Approach或Analysis的英文縮寫。WPA法通過結(jié)構(gòu)彈性波的物理、數(shù)學(xué)解析來描述結(jié)構(gòu)噪聲。該方法可最大限度地釋放邊界條件、外載荷及其他外部約束限制，融入Matlab強(qiáng)大的復(fù)矩陣計(jì)算功能，適合工程設(shè)計(jì)人員將其作為分析工具。

運(yùn)載工具的高速發(fā)展促進(jìn)了結(jié)構(gòu)動力學(xué)的發(fā)展——從經(jīng)典牛頓力學(xué)到結(jié)構(gòu)動力學(xué)、振動學(xué)［1-2］和結(jié)構(gòu)噪聲［3-12］。新的復(fù)雜工程問題涉及分析模型的抽象、簡化、邊界處理，需要通過理論研究總結(jié)、歸納出系統(tǒng)的概念性、關(guān)鍵性和共同性的一般規(guī)律。研究方法歸納為2類：

1）解析法，如假設(shè)振型函數(shù)法、傳遞矩陣法、模態(tài)分析法、模態(tài)截?cái)嗪湍B(tài)綜合法，模態(tài)阻抗綜合法、模態(tài)柔度綜合法、導(dǎo)納法和動剛度綜合法等，詳見表1。

表1 解析法列表Table 1 List of analytical method

2）數(shù)值法，常用的數(shù)值法有限元法（FEM）、邊界元法和統(tǒng)計(jì)能量法［13-15］。FEM中SAP，SAP5，Super-SAP等幾乎已被遺忘，現(xiàn)在常用的是AN?SYS，ADINA和NASTRAN等大型計(jì)算軟件。減振降噪作為小眾專業(yè)，仍然出現(xiàn)了SYSNoise，Auto?SEA，VIOLINE等專業(yè)聲學(xué)軟件。

由此可見，似乎已有足夠多的分析方法，為什么還要開拓新方法？實(shí)際上，解析法一直在面對新的挑戰(zhàn)，特別是針對復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)和復(fù)雜邊界方面，解析法往往難以適用，無法進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)的精確求解。例如，多支承梁解算時(shí)就不得不做出許多簡化假設(shè)，Kojima等［16］在分析有限多跨梁的固有頻率和振動模態(tài)時(shí)，需要假設(shè)梁跨超過3時(shí)它們必須是簡支。Neubert［17］在分析懸臂梁加動力吸振器時(shí)，必須設(shè)定動力吸振器安裝在梁自由端。Snowdon［18］在改進(jìn)后，才得到動力吸振器安裝在梁中點(diǎn)時(shí)的動力響應(yīng)。Mead［19-20］在用周期理論分析無限長梁的能量流時(shí)，必須假設(shè)諧力作用在周期等跨梁的中點(diǎn)。而有限長度周期結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性分析依然是當(dāng)時(shí)的難題，準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)分析難度更大［21］。

當(dāng)今，數(shù)值方法幾乎主宰了工程分析的全部。商用軟件不斷推陳出新［22-24］，盡管它們能夠完成復(fù)雜工程問題的動力學(xué)分析，界面也更友好，但仍然存在功能覆蓋不全面和同質(zhì)化現(xiàn)象。數(shù)值法獲得的結(jié)果是“個(gè)案”。在缺乏完整機(jī)理分析的情況下，它們多半只能視為窮舉下的特例而非一般規(guī)律。

面對工程創(chuàng)新（如浮筏等），它們距理論分析的統(tǒng)一框架還很遠(yuǎn)，還存在一定的認(rèn)知短板。浮筏不僅像雙層隔振那樣在筏架中存在能量耗散，還存在多激勵(lì)源彈性波的抵消機(jī)制。解析法能否設(shè)置多源的初始相位或變化的相位？如何建模？用什么解析方法能夠解析約束條件下振源的相互抵消機(jī)制而使衰減最大化？

針對上述問題，本文擬基于WPA法，從振動微分方程和彈性波的傳播、反射視角解析結(jié)構(gòu)噪聲，以有限長簡支梁為例具體說明用WPA法解析結(jié)構(gòu)動力特性和機(jī)理分析的優(yōu)勢。WPA法結(jié)合Matlab強(qiáng)大的復(fù)矩陣計(jì)算能力，用振動方程精確解來保證求解精度，解決了系統(tǒng)邊界、約束和協(xié)調(diào)條件無法全部滿足的普遍難題，實(shí)現(xiàn)了各頻點(diǎn)精確求解。WPA法物理概念清晰、深入，使研究者能夠從表觀參數(shù)（如振動加速度、插入損失等）進(jìn)入內(nèi)核參數(shù)（彈性波），深層剖析振動能量的注入、傳導(dǎo)以及波與聲輻射之間的因果關(guān)系，增加了新的結(jié)構(gòu)噪聲研究思維視角，適合工程技術(shù)人員開展深入的基礎(chǔ)理論研究。

1 WPA法的數(shù)學(xué)描述

1.1 用雙指數(shù)函數(shù)表達(dá)特征函數(shù)

以伯努利—?dú)W拉（Bernoulli-Euler）梁為例，受載荷?0(x，t)作用時(shí)，梁的橫向位移可用振動微分方程描述［25-26］：

式中：EI為梁的抗彎剛度；?(x，t)為梁的橫向位移；ρ為材料密度；A為梁的橫截面積。

令激勵(lì)?0(x，t)=0，得到梁的自由振動方程為

對式（2）進(jìn)一步簡化，將橫向位移分離變量［27-28］，w?=w(x)ejωt，得

式中：j為虛數(shù)單位；ω為角頻率；kn為梁彎曲波的復(fù)波數(shù)。式（3）是梁彎曲振動齊次方程，其特征函數(shù)為

式中，An為4個(gè)指數(shù)函數(shù)的未知系數(shù)。

為了求出系統(tǒng)響應(yīng)，必須解算出式（5）中的未知數(shù)An。它們可以通過邊界條件和約束條件聯(lián)立求解。將kn的實(shí)根記為k，則

共有4個(gè)不同的kn，分別是

因此，式（2）解的完整表達(dá)可以寫為

式（8）是WPA法關(guān)于梁彎曲運(yùn)動方程的一般表達(dá)式。它用雙指數(shù)函數(shù)描述，第1項(xiàng)是空間相關(guān)項(xiàng)的指數(shù)函數(shù)，第2項(xiàng)是時(shí)間相關(guān)項(xiàng)的指數(shù)表達(dá)。該方程展開為

諧力在作用點(diǎn)兩側(cè)分別產(chǎn)生2種類型的彎曲波——行進(jìn)波和近場波。式（9）中第1項(xiàng)和第2項(xiàng)為實(shí)數(shù)項(xiàng)A1ekx和A2e-kx，它們分別表示沿x軸負(fù)向和正向的近場波，也叫瞬逝波或衰減波。近場波并不傳播，會迅速衰減并在局部區(qū)域發(fā)生波型轉(zhuǎn)換。第3項(xiàng)和第4項(xiàng)為虛數(shù)項(xiàng)，A3ejkx表示沿坐標(biāo)負(fù)向傳播的彎曲波，A4e-jkx表示沿坐標(biāo)正向傳播的行進(jìn)波，也叫傳導(dǎo)波，是彎曲波，如圖1所示。

WPA法的型函數(shù)具有雙指數(shù)函數(shù)形式。過去也用指數(shù)函數(shù)對結(jié)構(gòu)振動作解釋性說明，WPA法將空間函數(shù)eknx這一傳統(tǒng)表達(dá)保留下來予以發(fā)展，同時(shí)也保留了簡潔性。

1.2 點(diǎn)諧力響應(yīng)函數(shù)系數(shù)

如圖2所示，假設(shè)梁上任意一點(diǎn)x=x0受外諧力p?=p0ejωt激勵(lì)，則無限長梁的橫向位移控制方程為［5］

式中，δ(x-x0)為德拉克函數(shù)。由于梁無限長，根據(jù)結(jié)構(gòu)對稱性，在x=x0處激勵(lì)可以平移到x=0處，這樣便于方程求解，這時(shí)，梁彎曲振動響應(yīng)的一般公式為

由于梁無限長，振動能量有限而且無反射波，因此需滿足：當(dāng)x≥0時(shí)，B=C=0；而當(dāng)x＜0時(shí)，A=D=0。于是得到

式中：下標(biāo)“+”表示坐標(biāo)正方向；而下標(biāo)“-”表示坐標(biāo)負(fù)方向。因?yàn)闊o限長梁的對稱性，橫向位移在x=0 處斜率為 0，則有 ?w?(x，t) ?x=0 ，于是得到

根據(jù)x=0處的受力平衡和對稱性（加載點(diǎn)兩邊的剪力為p0/2），得到剪力平衡方程

結(jié)合式（13）和式（14），得到

將式（15）代入剪力平衡表達(dá)式（14），則有

那么在x=0處激勵(lì)時(shí)，無限長梁的強(qiáng)迫振動表達(dá)式為：

將上述無限長梁響應(yīng)的分段函數(shù)寫成一致的形式：

根據(jù)平移原理，在任意點(diǎn)x=x0處激勵(lì)無限長梁的響應(yīng)函數(shù)為

令單位諧力p0=1，則式（20）可改寫為

其中，

式中，a1和a2為無限長梁點(diǎn)諧力響應(yīng)函數(shù)系數(shù)（彎曲波）。

受橫向載荷后，梁產(chǎn)生彎曲振動位移，同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)部剪切力和彎矩。從彈性波的視角觀察，梁的彎曲振動解本身是頻散的，如圖3所示。同時(shí)，由于特征函數(shù)是四階微分方程，存在兩種基本波動模態(tài)：一種是傳播模態(tài)，另一種是耗散模態(tài)。

2 WPA法簡支梁解析示例

以長度為L的簡支梁（圖4）為例，具體說明WPA法的解析過程。諧力?0(x，t)會產(chǎn)生4個(gè)強(qiáng)迫波，彈性波在梁的兩端因波的反射各自產(chǎn)生2個(gè)自由波。由線性假設(shè)和波迭加原理，強(qiáng)迫波和自由波構(gòu)成梁的總振動方程。梁上任意一點(diǎn)x(0≤x≤L)的橫向位移表示為［1］

需要注意的是，時(shí)間項(xiàng) ejωt在式（23）中均被省略，所以特征解為單變量函數(shù)。為方便后面的公式推導(dǎo)，這里直接列出了振動位移對x的前3階偏導(dǎo)數(shù)：

式中，(jf)為符號算子，

根據(jù)式（23）～式（27）以及歐拉梁力與位移的關(guān)系，在點(diǎn)力p?0(x，t)作用下，激勵(lì)點(diǎn)兩側(cè)梁的內(nèi)彎矩和剪力表達(dá)式為：

上述各式中，

對于圖5所示的長為L的簡支梁，在橫向外力p0的激勵(lì)下，簡支梁在梁的兩端位移和彎矩等于0，于是得到

當(dāng)w(0)=0時(shí)，由式（23）得

當(dāng)M(0)=0時(shí)，由式（28）得

同樣，當(dāng)w(L)=0時(shí)，

方程（33）～方程（36）構(gòu)成求解An的4個(gè)“瞬值”線性方程組，用矩陣形式表達(dá)為

和

線性矩陣方程組簡記為

通過簡單編程并將初始條件和輸入?yún)?shù)代入，即可解算式（40），由此解析梁的模態(tài)頻率、模態(tài)振型、強(qiáng)迫響應(yīng)、波傳播，并進(jìn)行應(yīng)力分析等。計(jì)算得到梁的模態(tài)振型和響應(yīng)分別如圖6、圖7所示。

兩端簡支梁是最典型的梁結(jié)構(gòu)形式，固有頻率經(jīng)典解析式如下［1］：

式中，下標(biāo)n=1，2，3，…，N，表示梁的前N階固有頻率。WPA法與解析法求解的簡支梁前5階固有頻率對比如表2所示。

由表2可見，兩者的計(jì)算結(jié)果十分吻合。作者還對不同邊界條件下的位移響應(yīng)、動應(yīng)力計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，計(jì)算結(jié)果均到達(dá)了小數(shù)點(diǎn)后4位相同，一致性很好。限于篇幅，這里不一一羅列。

3 WPA法的特點(diǎn)分析

3.1 WPA法朔源

近幾十年來，結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析更關(guān)注結(jié)構(gòu)內(nèi)核參數(shù)彈性波的研究［1，25］。它們都源于如式（42）所示的振動微分方程。

表2 WPA法解與經(jīng)典解析法計(jì)算結(jié)果的比較Table 2 The comparison of natural frequencies between WPA method and analytical method

式（42）中，撓度?是與坐標(biāo) (x，y，z)和時(shí)間t有關(guān)的函數(shù)，即?=?(x，y，z，t)。以簡化的一維結(jié)構(gòu)為例，這并不影響我們對更復(fù)雜結(jié)構(gòu)的理解。令?0(x，t)=0，得到等截面梁自由振動的齊次式（式（3））。對該式采用分離變量法，得到

對于式（43），如何找到一個(gè)空間函數(shù)w(x)使其同時(shí)滿足振動方程和邊界條件是關(guān)鍵?？臻g函數(shù)可以是級數(shù)、雙曲函數(shù)或者三角函數(shù)，也可以是雙指數(shù)函數(shù)等。對于式（42）和式（43），存在不同的解析途徑，如圖8所示。

1）模態(tài)分析法。它是解析法的一種典型解析方案，根據(jù)模態(tài)理論在模態(tài)坐標(biāo)下求解。式（42）的特征解可表示為系統(tǒng)各階主模態(tài)振型的線性疊加，即有

式中，wr(x)為模態(tài)振型；qr(t)為模態(tài)空間下的模態(tài)坐標(biāo)。

式（44）用模態(tài)振型代替空間函數(shù)。數(shù)學(xué)意義上，它們是無窮個(gè)結(jié)構(gòu)模態(tài)的線性迭加。

2）模態(tài)截?cái)唷⒛B(tài)綜合法。模態(tài)分析法的缺點(diǎn)是計(jì)算量較大。如果進(jìn)一步選擇將結(jié)構(gòu)的幾個(gè)主模態(tài)，比如假設(shè)N=7而非∞代入，則式（44）進(jìn)一步演進(jìn)為模態(tài)截?cái)?、模態(tài)綜合法，

用有限個(gè)模態(tài)數(shù)，可以較大地改善計(jì)算量和邊界條件的符合性。但需要注意的是，式（45）是近似解，尤其在取較少模態(tài)個(gè)數(shù)時(shí)。

3）WPA法。它是式（42）的另一種解析途徑。它對式（43）的特征解保留雙指數(shù)函數(shù)，其特征解如式（8）所示。從前面的推導(dǎo)過程可以看出，WPA法與其他解析法一樣，同樣都源于振動微分方程，它們同出一宗。

但在滿足邊界條件方面，WPA法具有內(nèi)在優(yōu)勢。在結(jié)構(gòu)線性范圍小幅波動情況下，將無限結(jié)構(gòu)的諧力響應(yīng)函數(shù)與有限結(jié)構(gòu)的響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行簡單算術(shù)迭加，完成有限結(jié)構(gòu)方程重構(gòu)的一般表達(dá)。

3.2 WPA法的特點(diǎn)

在微積分中，指數(shù)函數(shù)ex的偏導(dǎo)數(shù)“本體”總是保持不變，無論多少次求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)就像一個(gè)常量一樣永遠(yuǎn)是恒定的。對于這個(gè)特性，西方人形容像切西瓜，無論你怎么切一個(gè)實(shí)心球，其橫截面都是圓面。中國人的解釋更有趣：就好像你切掉孫悟空的一部分，你以為是一小片肉，睜眼一看，居然是另一個(gè)孫悟空，而且一樣大！指數(shù)函數(shù)表達(dá)給WPA法帶來了一些新的特點(diǎn)：

1）物理概念清晰。

WPA法表述波的物理概念特別清晰。從彈性波視角研究結(jié)構(gòu)振動，是從振動表觀參數(shù)到結(jié)構(gòu)內(nèi)核參數(shù)的深化。行進(jìn)波和近場波（或衰減波）用分項(xiàng)形式表示，更有利于區(qū)分波的傳播和衰減（圖9，其中虛線代表忽略近場波的運(yùn)動，T為周期）以及它們在極近場的變化。這對研究近場波和遠(yuǎn)場波在結(jié)構(gòu)“間斷點(diǎn)”（定義為引起結(jié)構(gòu)不連續(xù)的所有“障礙”）處的轉(zhuǎn)換有意義，成為深入內(nèi)核探討結(jié)構(gòu)動態(tài)特性的物理方法。

WPA法能夠重新引起關(guān)注與其卓越的機(jī)理性分析優(yōu)勢分不開，例如解析浮筏，發(fā)現(xiàn)了“質(zhì)量、調(diào)諧、混抵”3個(gè)效應(yīng)［29］，其中關(guān)于多激勵(lì)源彈性波的抵消機(jī)制是產(chǎn)生附加衰減的內(nèi)在因素?，F(xiàn)在，主動聲、振動控制及功率流理論都在關(guān)注和應(yīng)用WPA法。

2）適用于更多的邊界約束。

許多解析法不能獲得完美的解，皆因特征函數(shù)在“吻合”邊界時(shí)，在大多數(shù)情況下仍然難以獲得數(shù)學(xué)上的“匹配”。只有少數(shù)有限邊界條件才符合振動模態(tài)良好的空間吻合。WPA法對邊界條件具有較少的約束，幾乎可以放寬到所有邊界條件和約束條件。矩陣方程看似繁瑣，但是它們非常有規(guī)律性，尤其當(dāng)計(jì)算機(jī)軟件具備了強(qiáng)大的復(fù)代數(shù)計(jì)算功能時(shí)，使穩(wěn)態(tài)和瞬值求解過程中邊界點(diǎn)、約束點(diǎn)、結(jié)構(gòu)上的協(xié)調(diào)點(diǎn)（相容點(diǎn)）甚至各點(diǎn)每個(gè)頻率上都可精確吻合。

3）可以引入阻尼。

阻尼通常會破壞結(jié)構(gòu)在模態(tài)坐標(biāo)下的正交性，這也是為什么在有限元法等方法中需要假定材料的阻尼為比例阻尼的原因，盡管它們與實(shí)際不符，也極大地限制了工程應(yīng)用。在WPA法中，結(jié)構(gòu)的阻尼可以通過復(fù)剛度EI*=EI(1+jβ)引入，其中β為阻尼耗損因子。對于不同的梁結(jié)構(gòu)，可以引入不同的損耗因子，從而得到存在結(jié)構(gòu)阻尼時(shí)系統(tǒng)的振動響應(yīng)。

4）可以嵌入動力吸振器。

對動力吸振器與結(jié)構(gòu)的動態(tài)耦合關(guān)系，可分解為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)施加的一個(gè)動態(tài)力。它們是兩個(gè)子系統(tǒng)之間的作用內(nèi)力Fd，如圖10所示。

動力吸振器的吸振質(zhì)量隨結(jié)構(gòu)作簡諧運(yùn)動，施加給結(jié)構(gòu)上的動反力為［1］。

其中

對粘性阻尼，

式（47）～式（49）中：md為吸振質(zhì)量；Ktot為動力吸振器的等效剛度；為動力吸振器的復(fù)剛度；?為粘性阻尼因子；w(xd)為安裝動力吸振器部位的動位移響應(yīng)，是待定未知數(shù)。從公式推導(dǎo)過程可以看出，對動力吸振器的數(shù)量、作用位置和阻尼類型并無限制。

5）便于加載各種外部系統(tǒng)。

各種外部載荷，如諧力、力矩等載荷和附加約束物（如阻振質(zhì)量、彈性邊界等）均可泛化為結(jié)構(gòu)中的“間斷點(diǎn)”，它們作為外部系統(tǒng)加入原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這些外部系統(tǒng)同樣不受位置和數(shù)量的限制，如圖11所示。圖中，b，h分別為歐拉梁截面的長和寬。

這樣就可以研究在加載多個(gè)外部系統(tǒng)時(shí)，結(jié)構(gòu)中彈性波的相互干涉。WPA法對力源數(shù)量和相位均無限制?？梢詫㈦S機(jī)函數(shù)random編入Matlab程序中，分析計(jì)算不同激勵(lì)力初始相位或者變化相位情況下多個(gè)彈性波的抵消機(jī)制（圖12），并應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算平均能量。這相當(dāng)于在系統(tǒng)中嵌入一個(gè)或多個(gè)信號發(fā)生器，使多激勵(lì)分析成為可能。通過對不同激勵(lì)源、不同諧頻率、相位、幅值和輔機(jī)設(shè)備高次諧波頻率分布情況下的應(yīng)力波抵消機(jī)制進(jìn)行研究，最終用式（50）的算術(shù)平均值評估激勵(lì)源之間的“混抵效應(yīng)”，實(shí)現(xiàn)數(shù)值仿真。

式中，上標(biāo)“-”表示所設(shè)定周期內(nèi)的平均值。

6）WPA公式的規(guī)律性。

作用在梁上的諧力p0(x)ejωt會產(chǎn)生4個(gè)強(qiáng)迫波，并在有限梁的兩個(gè)末端因反射產(chǎn)生4個(gè)自由波，它們構(gòu)成梁的總運(yùn)動方程（式（23）），該式的時(shí)間項(xiàng) ejωt被省略。式（24）～式（26）列出了位移響應(yīng)對x的前3階偏導(dǎo)數(shù)。

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，特征函數(shù)求解就像諧運(yùn)動一樣，表現(xiàn)出極強(qiáng)的規(guī)律性和規(guī)整性。盡管WPA法看起來有著繁復(fù)的表象，但式（24）～式（26）仍十分有規(guī)律性。

3.3 機(jī)理分析與WPA法

復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性分析是工程設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，對于艦船、橋梁、建筑、航空航天結(jié)構(gòu)等大型結(jié)構(gòu)，其動力學(xué)特性分析一直是工程設(shè)計(jì)的難題，因此在進(jìn)行工程設(shè)計(jì)分析時(shí)，常常將復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)簡化為梁、板、殼等簡單結(jié)構(gòu)或者他們的組合。通過對這些簡單結(jié)構(gòu)及其組合結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性的研究，建立解析方法，深入研究結(jié)構(gòu)之間振動傳遞、能量流動的機(jī)理，總結(jié)相關(guān)設(shè)計(jì)要素對動力學(xué)特性的影響規(guī)律，就可以在復(fù)雜系統(tǒng)工程上應(yīng)用這些規(guī)律，從科學(xué)上指導(dǎo)大型工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

在將復(fù)雜系統(tǒng)簡化及抽象出機(jī)理分析的過程中，需總結(jié)出概念性、關(guān)鍵性和共同性的一般規(guī)律，然后將其轉(zhuǎn)向解讀復(fù)雜系統(tǒng)的定性和定量優(yōu)化，并與工程師的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合。當(dāng)設(shè)計(jì)師理解了本質(zhì)要義，就能把握復(fù)雜系統(tǒng)研究的整體性和方向感，更好地指導(dǎo)工程創(chuàng)新。

以隔振系統(tǒng)為例，之所以能夠用有限元等數(shù)值方法開展工程計(jì)算，皆因先期已經(jīng)完成了機(jī)理分析。單自由度和二自由度隔振系統(tǒng)建立了顯性函數(shù)解。設(shè)計(jì)師能夠從解析研究成果中將隔振區(qū)域劃分為質(zhì)量、阻尼（也稱“共振區(qū)”）和剛度“三大控制區(qū)”，并建立了如下關(guān)系式：

式中：fr1為單層隔振系統(tǒng)的固有頻率；fr2為雙層隔振系統(tǒng)的二階固有頻率。這是關(guān)于頻域隔振效率的表達(dá)，這些結(jié)論構(gòu)成了機(jī)理性解讀的框架。當(dāng)轉(zhuǎn)向復(fù)雜工程問題時(shí)，理論分析所建立的優(yōu)化規(guī)律仍主導(dǎo)著“修正方向”，如圖13所示。

對極致高效的追求促使解析法不斷完善。解析法的多樣性與數(shù)值分析的交織正是為了滿足工程創(chuàng)新對理論的拓展要求（圖14）。數(shù)值法總是能夠更好地滿足工程解算，但它們表現(xiàn)出的是窮舉下的特例而非一般規(guī)律。誠然，經(jīng)過大量分析算例，數(shù)值法也可以歸納出普遍規(guī)律，但必定以大量案例分析為前提。當(dāng)面對復(fù)雜巨系統(tǒng)新機(jī)制時(shí)，數(shù)值法短時(shí)間內(nèi)很難“搜索”出全部規(guī)律。解析法則更容易獲取系統(tǒng)的一般規(guī)律甚至隱藏的客觀實(shí)際，例如近場波的各種衰減機(jī)制。

運(yùn)載平臺的競爭像無形之手推動著理論研究的持續(xù)深化：掌握復(fù)雜系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)特性，并挖掘可能的潛力。不幸的是，并不是所有的數(shù)學(xué)演算都能導(dǎo)出顯式解析函數(shù)。鑒此，可將解析法當(dāng)成機(jī)理分析的先鋒，用有限元法處理工程，從而完成“還原論”思想到“整體論”思維的推進(jìn)。WPA法是解析法的拓展和補(bǔ)充，希望將混合動力學(xué)類復(fù)雜系統(tǒng)的機(jī)理分析從數(shù)值法的泛化中解救出來。

3.4 WPA法的缺點(diǎn)及改進(jìn)

與其他所有動力學(xué)解析方法一樣，WPA法也具有與生俱來的缺點(diǎn)與不足，歸納起來主要有以下幾點(diǎn)：

1）不適合于復(fù)雜工程系統(tǒng)的直接分析。一般而言，WPA法像所有解析法一樣，只適合作為基礎(chǔ)理論分析的工具，探討一般規(guī)律。

2）分析計(jì)算量增長較快。結(jié)構(gòu)每增加一個(gè)“間斷點(diǎn)”，或者引入一個(gè)外載荷或外部系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣項(xiàng)將相應(yīng)增加4個(gè)未知數(shù)，即線性矩陣方程增加4階。

3）容易發(fā)生畸變。在WPA矩陣式中，典型的如式（37）S1矩陣，有的陣元等于1，有的接近于0，而有的可能非常大，例如當(dāng)x=L時(shí)，陣元之間的比值極大化達(dá)到maxS1=k2ekL。這使線性矩陣方程求解過程中容易發(fā)生畸變。

WPA法尚處在發(fā)展之中。關(guān)于該方法的理論挖掘和物理、數(shù)學(xué)釋義以及相應(yīng)的計(jì)算方法，還需要在實(shí)踐中發(fā)展、完善。目前欠缺的是過程，以及通過過程來判斷該方法的潛力?？傮w而言，WPA法增加了我們分析、思考問題的視角，在結(jié)構(gòu)噪聲、主動振動控制領(lǐng)域得到了一定的應(yīng)用。它們是否能夠成為主流解析方法，得到更加廣泛的應(yīng)用，既需要各種場景的應(yīng)用和試驗(yàn)修正，更需要研究者像挖掘優(yōu)點(diǎn)一樣充分發(fā)現(xiàn)缺陷，在質(zhì)疑聲中不斷修改、完善。

4 結(jié) 語

WPA法源于振動微分方程，與解析法同出一宗。它用雙指數(shù)函數(shù)形式的空間型函數(shù)和時(shí)間變量，基于結(jié)構(gòu)線彈性范圍內(nèi)小幅振動波的疊加原理，求解結(jié)構(gòu)振動和波傳播問題。WPA法結(jié)合Matlab強(qiáng)大的復(fù)矩陣計(jì)算能力，用準(zhǔn)確解析解來保證求解精度，化解了系統(tǒng)邊界、約束和結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)無法全部滿足的普遍難題，實(shí)現(xiàn)了頻點(diǎn)上的精準(zhǔn)一致。該方法可以嵌入一個(gè)或者多個(gè)“信號發(fā)生器”——用數(shù)學(xué)方式表達(dá)力源的相位或相位的變化，或者通過程序的隨機(jī)函數(shù)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)分析，以研究多源激勵(lì)彈性波的抵消機(jī)制。

對于許多工程師，甚至那些從事結(jié)構(gòu)動力學(xué)科學(xué)研究的人員而言，研究結(jié)構(gòu)中波的傳播似乎離他們很遠(yuǎn)，因?yàn)橐恍┙馕龇ㄓ捎谠跀?shù)學(xué)處理上太過深奧而難以應(yīng)用。本文推介的WPA法用于結(jié)構(gòu)彈性波分析，也許能使復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)分析不再讓人如此懊惱和沮喪，這對該方法的應(yīng)用和推廣很有意義。

致 謝

感謝我的博士研究生張?jiān)娧?，閆肖杰協(xié)助制作圖表。與周其斗、杜堃、熊濟(jì)時(shí)等開展的深入的學(xué)術(shù)討論，均使作者獲益匪淺，在此一并感謝。