趙水祥

【摘要】如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中利用教學(xué)內(nèi)容促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，是當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要課題，也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，“變式教學(xué)”應(yīng)運(yùn)而生，是達(dá)成目標(biāo)的重要教學(xué)方法之一.數(shù)學(xué)課堂的“變式教學(xué)”無(wú)怪乎數(shù)學(xué)知識(shí)（概念、定理、公式等）的“變式教學(xué)”和數(shù)學(xué)解題的“變式教學(xué)”，因此我們應(yīng)做好這兩方面的工作.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí);數(shù)學(xué)解題;變式教學(xué);思考

數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”就是采用數(shù)學(xué)變式（包括有關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)的概念性變式和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程性變式）進(jìn)行的教學(xué).“變式教學(xué)”是課堂教學(xué)中學(xué)生獲取知識(shí)的重要途徑之一，它能夠提高學(xué)生思維能力和課堂效率，是搞好有效教學(xué)的保證.那么怎樣認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課堂的“變式教學(xué)”？又如何進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂“變式教學(xué)”呢？本文主要談?wù)勅绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)解題的“變式教學(xué)”.

1數(shù)學(xué)知識(shí)的“變式教學(xué)”

數(shù)學(xué)知識(shí)包括概念、定理、公式等，數(shù)學(xué)知識(shí)的“變式教學(xué)”可從知識(shí)的引入、理解、證明、變形、鞏固等多個(gè)方面的變式來(lái)進(jìn)行.1.1引入變式

所謂數(shù)學(xué)知識(shí)的引入變式，就是在學(xué)習(xí)一個(gè)新知識(shí)時(shí)，將知識(shí)還原到客觀實(shí)際如實(shí)例、模型或已有經(jīng)驗(yàn)等中進(jìn)行引入，通過(guò)變式移植知識(shí)的本質(zhì)屬性，使實(shí)際現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，達(dá)到展示知識(shí)形成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)形成的目的.

例1等比數(shù)列的教學(xué)，人教課標(biāo)A必修5是通過(guò)細(xì)胞分裂、古代問(wèn)題、計(jì)算機(jī)病毒、銀行利率等現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題引入給出概念的.除了課本中由實(shí)例進(jìn)行的4種引入方法外，還可以有下面的引入方法.

變式引入1人人都知道珠穆朗瑪峰是天下第一高峰，海拔8844.43米，稱(chēng)作世界屋脊.然而你是否會(huì)想到，拿一張報(bào)紙（假設(shè)報(bào)紙足夠大），連續(xù)對(duì)折30次，其厚度能夠超過(guò)珠穆朗瑪峰！這是為什么？

一張報(bào)紙厚0.01厘米，對(duì)折1次后總厚度是0.01×2，對(duì)折2次后總厚度是0.01×22，對(duì)折3次后總厚度是0.01×23，……，對(duì)折30次后總厚度是0.01×230，因此引出由0.01×2，0.01×22，0.01×23，……，0.01×230，……，研究這一數(shù)列的特點(diǎn)，給出等比數(shù)列的定義，進(jìn)而告訴學(xué)生對(duì)折30次后總厚度是0.01×230=10737418.24厘米，也就是大約107374米.這比12座珠峰加起來(lái)還要高！這種以實(shí)例引入概念的方法不僅突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，而且極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

變式引入2以具體的等比數(shù)列引入，先給出四個(gè)數(shù)列：①1，3，9，27，……;②2，-2，2，-2，……;③-1，12，-14，18，……;④5，5，5，5，…….由學(xué)生自己研究這四個(gè)數(shù)列中，每個(gè)數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)之間有何關(guān)系？這四個(gè)數(shù)列有什么共同的特點(diǎn)？由此引出等比數(shù)列的概念.這種方法讓學(xué)生自己去研究，去歸納，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，突出了以學(xué)生為主體的思想，訓(xùn)練和培養(yǎng)了學(xué)生的歸納思維能力.

變式引入3以等差數(shù)列引入，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，明確地告訴學(xué)生“我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)等比數(shù)列了，它與等差數(shù)列有著緊密的聯(lián)系，同學(xué)們完全可以根據(jù)已學(xué)過(guò)的等差數(shù)列來(lái)研究等比數(shù)列.首先請(qǐng)同學(xué)們回憶，什么樣的數(shù)列是等差數(shù)列？你能由此類(lèi)比著猜想什么是等比數(shù)列嗎？試舉出一兩個(gè)例子，說(shuō)出它的定義”.這種方法比變式引入2更帶有激發(fā)性，學(xué)生的參與程度更強(qiáng)，在幾乎沒(méi)有任何提示的情況下，讓學(xué)生自己動(dòng)腦、動(dòng)手去研究，從思維的類(lèi)型看，這種方法主要培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思維能力，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

1.2理解變式

所謂知識(shí)的理解變式，就是探求知識(shí)的等價(jià)形式或變式含義，并探討等價(jià)形式及變式含義的應(yīng)用，達(dá)到透徹理解知識(shí)，靈活應(yīng)用知識(shí)的目的.

例2教學(xué)雙曲線(xiàn)定義，進(jìn)行理解的變式探討.

雙曲線(xiàn)定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn).

定義中的關(guān)鍵詞是“絕對(duì)值”、“常數(shù)”、“小于|F1F2|”，為使學(xué)生有比較深刻的認(rèn)識(shí)和理解，可引導(dǎo)學(xué)生作如下變式探討：

變式1將定義中的“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

變式2將定義中的“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

變式3將定義中的“絕對(duì)值”去掉，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

變式4將令“常數(shù)”等于零，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么？

變式5將“小于|F1F2|”去掉，其余不變，點(diǎn)的軌跡是什么[1]？

通過(guò)上述的變式，澄清學(xué)生的模糊認(rèn)識(shí)，加深了對(duì)雙曲線(xiàn)定義的理解，從而在審題中不被“形”迷惑，能透過(guò)“形”的本質(zhì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì).1.3證明變式

證明變式是指定理、公式的多證變式，就是在提出定理、公式后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定理、公式實(shí)施多角度的觀察與思考，探求其證明、推導(dǎo)方法，通過(guò)觀察角度的變換，各種不同方法的比較，幫助學(xué)生培養(yǎng)探索意識(shí)和創(chuàng)新能力.從學(xué)生心理特點(diǎn)來(lái)看，每個(gè)學(xué)生都有探索和創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)和求知欲.

例3點(diǎn)P（x0，y0）到直線(xiàn)l：Ax+By+C=0的距離公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2的推導(dǎo)，人教課標(biāo)A必修2是運(yùn)用“等積法”給出的，作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維的好素材，教學(xué)中給出了另外的幾種變式推導(dǎo)方法.

變式方法1（解析法）

設(shè)過(guò)P（x0，y0）與直線(xiàn)l：Ax+By+C=0垂直（垂足為Q）的直線(xiàn)l′的方程為：

B（x-x0）-A（y-y0）=0.①

將直線(xiàn)l：Ax+By+C=0改寫(xiě)為Ax+By+C-Ax0-By0=-Ax0-By0，

即A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）.②

由①2+②2，得（A2+B2）[（x-x0）2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2.

如果A≠0，B≠0，所以（x-x0）2+（y-y0）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.故d=|PQ|=（x-x0）2+（y-y0）2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

如果A=0或B=0，此公式仍成立.

變式方法2（函數(shù)法）

設(shè)直線(xiàn)l上任一點(diǎn)H（x，y），則|PH|2=（x-x0）2+（y-y0）2，①

由Ax+By+C=0改寫(xiě)為A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），

所以B（y-y0）=-（Ax0+By0+C）-A（x-x0）.②

①、②兩式聯(lián)立，得B2·|PH|2=B2（x-x0）2+[A（x-x0）+（Ax0+By0+C）]2.

令x-x0=t，Ax0+By0+C=h，得B2·|PH|2=B2t2+（At+h）2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，

此為關(guān)于t的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)大于0，故函數(shù)有最小值.

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

變式方法3（方程法）

由變式方法2中B2·|PH|2=（A2+B2）t2+2Aht+h2，得（A2+B2）t2+2Aht+h2-B2·|PH|2=0.由Δ=（2Ah）2-4（A2+B2）（h2-B2·|PH|2）≥0，

解得|PH|≥hA2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2，即|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

這樣的教學(xué)，能有效地拓寬學(xué)生的解題思路，提升思維能力.1.4變形變式

所謂變形變式主要是指定理、公式的變形變式，就是探求定理、公式的變形與推廣形式，并用之解決相關(guān)問(wèn)題.每個(gè)定理、公式都可以有許多變式，這些五彩繽紛的變式為我們培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力提供了廣闊的天地.

例4正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R是△ABC外接圓半徑）反映了任意三角形中三條邊與對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.教學(xué)中為使學(xué)生加深理解和靈活運(yùn)用，給出了下面的變形變式：

變式1a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

變式2sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.

變式3a=bsinAsinB=csinAsinC，b=csinBsinC=asinBsinA，c=asinCsinA=bsinCsinB.

變式4a：b：c=sinA：sinB：sinC.

變式5a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=bsinB=csinC=2R.

利用這些變形變式能實(shí)現(xiàn)同一個(gè)三角形中邊與角的互化，從而有利于問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決.

1.5鞏固變式

所謂概念鞏固變式，就是設(shè)計(jì)直接應(yīng)用知識(shí)的練習(xí)變式題組，并通過(guò)題組的討論解決達(dá)到熟悉知識(shí)、鞏固知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，提高解決問(wèn)題能力的目的.

例5教學(xué)拋物線(xiàn)的定義后，設(shè)計(jì)了下面的鞏固變式題組：

變式1拋物線(xiàn)y2=8x上的點(diǎn)（4，-42）到焦點(diǎn)的距離等于.

變式2拋物線(xiàn)y2=8x上到焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是.

變式3動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線(xiàn)x+3=0的距離小1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.變式4過(guò)拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是6，則|AB|=.

變式5已知F是拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=12，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.

變式6已知A，B為拋物線(xiàn)y2=8x上的動(dòng)點(diǎn)，|AB|=6，則AB的中點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最小值.

通過(guò)這樣一組鞏固變式題組，加深了對(duì)拋物線(xiàn)定義的理解和應(yīng)用，強(qiáng)化同學(xué)們運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，達(dá)到靈活多變的效果.

2數(shù)學(xué)問(wèn)題的“變式教學(xué)”

問(wèn)題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是把知識(shí)、技能、思想方法聯(lián)系起來(lái)的一條紐帶，能達(dá)到強(qiáng)化基礎(chǔ)、傳授方法、揭示規(guī)律、啟發(fā)思維、激勵(lì)創(chuàng)新、培養(yǎng)能力的目標(biāo).在問(wèn)題解決的教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生獲得一系列基本解法后，應(yīng)通過(guò)改變題目的條件、探求題目的結(jié)論、改變情境等多種途徑，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解、掌握和變通，幫助他們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多方面、多角度、多層次的思考，使思維不局限于固定的理解和某一固定的模式，從而提出新問(wèn)題或獲得同一問(wèn)題的多種解答或多種結(jié)果.

2.1一題多解（證）

對(duì)于一道數(shù)學(xué)題，由于做題的著眼點(diǎn)和角度的不同，會(huì)有許多不同的解題方法.在教學(xué)中，要抓住一切有利時(shí)機(jī)，鼓勵(lì)學(xué)生經(jīng)常有意識(shí)地在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上，再回過(guò)頭來(lái)從多角度、多方位去思考，尋求更好、更簡(jiǎn)捷巧妙的變式方法，這樣有利于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的縱橫聯(lián)系和溝通，也有利于數(shù)學(xué)思維能力的提高.

例6（2017年高考江蘇卷·12）如圖1，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），則m+n=.

變式方法1代數(shù)運(yùn)算方法——利用數(shù)量積運(yùn)算

OC·OA=（mOA+nOB）·OA=mOA2+nOB·OA，OC·OB=（mOA+nOB）·OB=mOA·OB+nOB2，得

2cosα=m+ncos（α+45°），2cos45°=mcos（α+45°）+n，所以m+n=2（cosα+cos45°）cos（α+45°）+1.

由tanα=7，求得cosα和cos（α+45°）的值，代入得m+n=3.

本解法從向量的模和夾角出發(fā)，巧妙地利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換求解，很是富于創(chuàng)意.

變式方法2坐標(biāo)運(yùn)算方法

如圖2，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)A所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（1，0），B（cos（α+45°），sin（α+45°）），C（cosα，sinα），即

OA=（1，0），OB=（cos（α+45°），sin（α+45°）），OC=（2cosα，2sinα）.

由tanα=7，求得sinα，cosα，cos（α+45°），sin（α+45°）的值，代入OC=mOA+nOB，得m-35n=15，45n=75，解得m，n即可.

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，我們可以把向量運(yùn)算代數(shù)化.將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，從而使許多問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.本解法是通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)后轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量相等轉(zhuǎn)化求解的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用.

變式方法3幾何方法——利用向量的運(yùn)算法則

如圖3，過(guò)C作OB的平行線(xiàn)交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于A′，作OA的平行線(xiàn)交OB的延長(zhǎng)線(xiàn)于B′.

根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得OC=mOA+nOB=OA′+OB′，所以mOA=OA′，nOB=OB′，所以|OA′|=m|OA|=m，|OB′|=n|OB|=n.

在△OA′C中，由余弦定理得n2=m2+2-22mcosα=m2+2-25m，①

在△OB′C中，由余弦定理得m2=n2+2-22ncos45°=n2+2-2n.[JY]②

由①②解得m，n即可.

本解法利用向量加法的平行四邊形法則，并結(jié)合三角形中的余弦定理，將問(wèn)題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.

變式方法4利用向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理和等積法

向量三點(diǎn)共線(xiàn)定理平面中A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得OC=xOA+yOB（O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)），且x+y=1.圖4

因?yàn)镺C=mOA+nOB（m>0，n>0），所以O(shè)Cm+n=mm+nOA+nm+nOB.

設(shè)OCm+n=OC′，則OC′=mm+nOA+nm+nOB.

因?yàn)閙m+n+nm+n=1，所以A，C′，B三點(diǎn)共線(xiàn)（如圖4），且m+n=OCOC′=2OC′.

由S△AOC′+S△BOC′=S△AOB，得

12|OA||OC′|sinα+12|OB||OC′|sin45°=12|OA||OB|sin（α+45°），所以7210|OC′|+22|OC′|=45，所以|OC′|=23.

所以m+n=2OC′=3.

本解法巧妙地構(gòu)造三點(diǎn)共線(xiàn)模型，并利用三角形的等面積法求解，思維獨(dú)特、匠心獨(dú)具，對(duì)拓展同學(xué)們的解題思路頗有裨益.2.2一題多變

對(duì)于一些典型的題目，應(yīng)從多方面進(jìn)行多變變式，經(jīng)過(guò)大量變式不斷變換問(wèn)題情景，將題目橫向、縱向拓展，以一當(dāng)十、觸類(lèi)旁通，可以有效地提高教學(xué)效率.

例7（人教A版必修四第146頁(yè)第5題）化簡(jiǎn)：sin50°（1+3tan10°）.

變式1化簡(jiǎn)：（1-2sin220°）（1+3tan10°）.

變式2化簡(jiǎn)：1sin50°-3tan10°.

變式3若實(shí)數(shù)m使得sin50°（m+3tan10°）=1，則m的值為

.

變式4若實(shí)數(shù)m使得sin50°（m+3tan80°）=1，則m的值為.

變式5是否存在實(shí)數(shù)m，使得sin50°（m+3tan10°）=1？若存在，求出m的值;若不存在嗎，說(shuō)明理由.

這樣，通過(guò)一題多變，不僅使學(xué)生加深理解和掌握知識(shí)，更重要的是開(kāi)發(fā)了學(xué)生的智力，培養(yǎng)和提高了學(xué)生的發(fā)散思維能力.2.3一題多用

同一類(lèi)型的問(wèn)題，其解法往往有其規(guī)律性，發(fā)現(xiàn)歸納知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，挖掘出數(shù)學(xué)思想與方法，總結(jié)概括出解題的基本規(guī)律.這樣，既有利于使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)更高層次，又有利于學(xué)生的概括思維能力的訓(xùn)練和提高.

例8見(jiàn)例6.

這是高考中常出現(xiàn)的一類(lèi)向量問(wèn)題，相關(guān)的高考題還有：

變式1（2007年高考陜西卷理·15）圖5

如圖5，平面內(nèi)有三個(gè)向量OA，OB，OC，

其中OA與OB的夾角為120°，OA與OC的夾角為30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=23，若OC=λOA+μO(píng)B（λ，μ∈[WTHZ]R[WTBX]），則λ+μ的值為

[CD#3].（答：6）

變式2（2009年高考安徽卷理14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA，OB，它們的夾角為120°.如圖6所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB（其中x，y∈[WTHZ]R[WTBX]），則x+y的最大值是[CD#3].（答：2）

為此，我們可以提煉出這類(lèi)問(wèn)題的一般模型：如圖7，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為r1，r2，r，OA與OC的夾角為α，OB與OC的夾角為β.若OC=mOA+nOB（m，n∈[WTHZ]R[WTBX]），則m+n=[CD#3].

有了例6的解法，這一類(lèi)問(wèn)題也就迎刃而解了.

3結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”是使學(xué)生深入理解、掌握和靈活運(yùn)用知識(shí)的有效途徑，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展有著極為重要的作用.在數(shù)學(xué)課堂的“變式教學(xué)”中，我們應(yīng)當(dāng)有：衣帶漸寬終不悔，為“變”消得人憔悴的情懷，使變式教學(xué)成為我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不斷進(jìn)取和追求的至高境界和目標(biāo).陶哲軒在《解題·成長(zhǎng)·快樂(lè)》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話(huà)：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見(jiàn)的形態(tài)，她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命;她喚醒悟性，澄清思維;她照亮了我們內(nèi)心的思想;她滌盡我們有生以來(lái)的蒙昧與無(wú)知…….”筆者以此與各位同仁共勉！

參考文獻(xiàn)

[1]周萬(wàn)林.加強(qiáng)變式教學(xué)培養(yǎng)思維品質(zhì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2003（3）.