湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (郵編：410081)

圖1

題目如圖1，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.

(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

本題主要考査直線與平面垂直、平面與平面垂直的概念、性質(zhì)及判定方法，以及直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力、推理論證能力，考査化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度適中.對于這道題第(1)問，考査面面垂直的判定，比較簡單，屬于送分題.本文主要研究第(2)問，從不同知識的聯(lián)系出發(fā)，給出多種解法.

解析(1)要證明面面垂直，首先想到面面垂直的判定定理，由線線垂直→線面垂直→面面垂直.題目中出現(xiàn)中點(diǎn)，目的就是要利用中位線的性質(zhì)，據(jù)此思路，可得下列解法：

由E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，可得EF∥AB，故BF⊥EF,同時已知BF⊥PF,所以BF⊥平面PEF.又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

(2)本小問的解法多，思路寬，下文中將給出一些有代表性的解題思路.傳統(tǒng)的解法有: 定義法和坐標(biāo)法，首先介紹定義法．

為了解題的方便，先設(shè)正方形ABCD的邊長為2.

I定義法

圖2

如圖2所示，過P作PH⊥EF,垂足為H.由(1)得PH⊥平面ABFD，故∠PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角.

解法1(勾股定理)由(1)知，DE⊥平面PEF,因此DE⊥PE.設(shè)PH=x,則

定義法，也稱幾何法，解題過程中經(jīng)常要引入輔助線和回憶大量的幾何定理公理，對學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高.對于本題，運(yùn)用定義法的關(guān)鍵在于找出直線DP與平面ABFD所成的角，并構(gòu)造三角形.其中，求出點(diǎn)P到平面ABFD的距離是至關(guān)重要的得分點(diǎn)，如前所述，對于PH的求法是多種多樣的.在教學(xué)過程中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先考慮用幾何法解題，會動手操作、嘗試著去處理圖形，即對圖形進(jìn)行分割、補(bǔ)全、折疊、展開、添加輔助線等，借此不斷提髙學(xué)生的空間想象能力，另一方面，讓學(xué)生熟練掌握初中、高中幾何定理公理的運(yùn)用.

有些題目無論是找角(線面夾角、二面角的平面角)，還是求線段的長度都有一定的難度，而坐標(biāo)法是一種萬能的方法.下面我們就利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算來求解本題．

II 坐標(biāo)法

圖3

上述解法僅用到了本題的已知條件——PF⊥BF，PF⊥DP，極大降低了立體幾何的思維難度，可有效降低減輕學(xué)生的心理障礙.對于坐標(biāo)系的建立，以及根據(jù)題目中的條件列方程求解也有若干種不同的方式，在此就不再贅述.以上都是利用初等數(shù)學(xué)的思想解題，有些層次高的學(xué)生甚至提出了更高的觀點(diǎn)，可以用空間解析幾何的知識作答，下面將此想法進(jìn)行完善：

解法5設(shè)DP與x軸、y軸、z軸的夾角分別為α、β、γ,則sinθ=cosγ,此題轉(zhuǎn)化為求解cosγ.由三角恒等式：cos2α+cos2β+cos2γ=1,可以先求解cosα、cosβ,進(jìn)而得到cosγ.

圖4

坐標(biāo)方法主要是利用向量的相關(guān)知識及其運(yùn)算來解決問題，即用代數(shù)的方法解決幾何問題，將數(shù)與形完美地結(jié)合起來，降低了立體幾何的思維難度，解題有一定的規(guī)律性，便于學(xué)生掌握.

在教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生從不同的角度解決立體幾何問題，哪怕受教學(xué)時間的限制，在課堂上盡可“擇其善者而從之”，但對另外的方法應(yīng)稍作提示引導(dǎo)，讓學(xué)生在課下嘗試、討論，并對不同的方法進(jìn)行比較，以此來提高學(xué)生的能力.