山東省濟南市教育教學研究院 (郵編：250001)

概率是新課改以后中學數(shù)學新增的教學內容，它與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，有很強的實用性.二項分布和超幾何分布是兩個應用廣泛的重要概率模型，生活中的許多問題都可以利用這兩個概率模型來解決，在近年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別，因此正確區(qū)分并理解這兩個概率模型至關重要.

1 高考真題與參考答案

2018年新課標I卷20題：

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0.作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

參考答案

令f′(p)=0,得p=0.1.當p∈(0,0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)<0.

所以f(p)的最大值點為p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1,

(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元，

由于EX>400,故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗.

2 高考題的幾點商榷

商榷1原題目中“先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗”，任取20件產(chǎn)品是有放回還是無放回，這涉及適用的概率模型是二項分布還是超幾何分布？題目中沒有明確說明20件產(chǎn)品的抽樣過程，按照題目的表述，20件產(chǎn)品的抽樣過程應該理解是不放回的抽樣，因此，該題目中第一問的“20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率”應該按照超幾何分布概型來計算.參考答案按照二項分布來計算，默認是有放回的抽樣.

商榷2原題目中“設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p”.每件產(chǎn)品是否為不合格產(chǎn)品是該產(chǎn)品的內在稟賦，它不存在不確定性.不確定性來自對總體的隨機抽樣而產(chǎn)生，因此，正確的表述應當是“每次抽樣時，抽樣的產(chǎn)品為不合格品的概率為p”.

商榷3原題目中“且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立”.各件產(chǎn)品是否為不合格品不存在不確定性，不確定性來自抽樣過程中，各件產(chǎn)品抽中為不合格產(chǎn)品是相互獨立的.

商榷4原題目中“(ii)是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？”根據(jù)待命題的否定，怎樣叫不檢驗，是全不檢驗嗎？還是不全檢驗？是否的真正含義是什么？

商榷5原題目中“(ii)是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？”余下指的是這一箱余下的還是全部產(chǎn)品余下的，題目沒有界定清楚.

3 二項分布與超幾何分布的概念回顧

表1

表2

4 二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系

超幾何分布與二項分布都是取非負整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達式，但看它們的概率分布列，會發(fā)現(xiàn)構造上的相似點，如：隨機變量X的取值都從0連續(xù)變化到l(l=min(n,M)),對應概率和N,n,l三個值密切相關，可見兩種分布之間又有著密切的聯(lián)系.

一般來講，超幾何分布和二項分布最明顯的區(qū)別在超幾何分布是“無放回”抽樣，二項分布是“有放回”抽樣

5 二項分布與超幾何分布的應用舉例

例1(2018年天津卷16)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24、16、16. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.

(I)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；

(ii)設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

分析本小題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、互斥事件的概率加法公式等基礎知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．在第二問中，本題是典型的超幾何分布，不放回，“睡眠充足”與“睡眠不足”兩類，所以隨機變量X～H(3,4,7)

例2(2015全國卷4)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為( )

(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

從極限的角度來分析，隨著樣本個數(shù)的增加，樣本個數(shù)越大超幾何分布和二項分布的對應概率相差就越小，當樣本個數(shù)為無窮大時，超幾何分布和二項分布的對應概率就相等，換言之，超幾何分布的極限就是二項分布.但對于高中生的概率學習來講，還是以各自分布的特征為區(qū)別，正確選擇公式.