李劍英，朱天軍，宗長富，許志勇，胡青春

（1.肇慶學(xué)院 機械與汽車工程學(xué)院，廣東 肇慶 526061；2.肇慶學(xué)院 電子與電氣工程學(xué)院，廣東 肇慶 526061；3.華南理工大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，廣東 廣州 510640）

0 前言

新能源汽車采用內(nèi)燃機、發(fā)電機/電動機作為動力源時，為解決這種多動力源耦合問題，常采用行星傳動機構(gòu)作為其傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵零部件[1-2]，然而，行星傳動機構(gòu)的振動和噪聲一直是影響系統(tǒng)性能的關(guān)鍵因素.盡管學(xué)術(shù)界已針對該類傳動的動態(tài)特性問題進行了廣泛研究，主要涉及動力學(xué)建模和動態(tài)響應(yīng)求解等[3-4]，但在建立動力學(xué)模型時均將齒輪和行星架視為剛體，有學(xué)者指出，若行星傳動機構(gòu)內(nèi)齒圈采用薄壁結(jié)構(gòu)，內(nèi)齒圈彈性對傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響在某些特定場合應(yīng)被涉及[5-8].由于內(nèi)齒圈采用薄壁結(jié)構(gòu)，在傳動過程中發(fā)生的顯著變形將對傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性具有較大影響，如文獻[9]作者采用多尺度攝動方法，對單級彈性內(nèi)齒圈行星傳動非線性動力學(xué)特性進行了研究.針對多級行星傳動線性動力學(xué)特性（視各級內(nèi)齒圈為剛體），國內(nèi)學(xué)者[10-12]對盾構(gòu)機刀盤驅(qū)動行星齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性進行了分析；秦大同等[13-14]對風(fēng)電發(fā)電機行星傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性進行了廣泛研究，而對計入內(nèi)齒圈彈性的兩級行星傳動動力學(xué)研究尚未見報道.

求解行星齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)方程的方法主要有解析法和數(shù)值法，其中解析法一般是對解的近似表達式進行求解，常見的有多尺度攝動法和諧波平衡法等，而數(shù)值法主要有Runge-Kutta法和Gill法等.因計入了內(nèi)齒圈的彈性，除增加彈性內(nèi)齒圈的運動微分方程外，內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合作用力及其反作用力項亦發(fā)生了改變，同時視彈性內(nèi)齒圈的支承為切向和徑向剛度約束的彈性結(jié)構(gòu)，并考慮兩級行星傳動構(gòu)件間的耦合剛度，這些因素不僅在求解傳動系統(tǒng)的運動微分方程時帶來一定困難，而且對其動態(tài)特性產(chǎn)生影響.為深入分析級間耦合剛度對彈性支承下薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，本文基于所建立的剛?cè)狁詈匣旌蟿恿W(xué)微分方程，考慮兩級齒輪副時變嚙合剛度，運用Runge-Kutta法對彈性支承薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)嚙合動載荷進行深入分析，旨在揭示級間耦合剛度變化對傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律，為后續(xù)行星傳動系統(tǒng)的性能優(yōu)化及減振降噪提供理論依據(jù).

1 彈性支承薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程[15-18]

某混合動力系統(tǒng)的雙離合兩檔行星齒輪機構(gòu)由行星排第Ⅰ級、第Ⅱ級，離合器c1,c2以及殼體組成[16].第Ⅰ級和第Ⅱ級太陽輪固連在一起，它們間的耦合剛度以表示；第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架固連，它們間的耦合剛度以表示，離合器c1可對rⅠ與cⅡ的組合進行離合；離合器c2可對rⅡ進行離合，行星架cⅠ為輸入端，太陽輪組sⅠ-sⅡ為輸出端.基于動力學(xué)建模所做的假設(shè)[15-17]，各級行星傳動均以各自行星架隨動坐標系為參照系，為便于描述，本文約定，i=Ⅰ,Ⅱ分別表示第Ⅰ級和Ⅱ級行星傳動；n=1,2,…,Ni,其中NⅠ,NⅡ代表第Ⅰ級和第Ⅱ級行星傳動的行星輪個數(shù).在第Ⅰ級行星傳動平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型基礎(chǔ)上，考慮第Ⅱ級行星傳動內(nèi)齒圈彈性變形和彈性基的約束，通過級間耦合的方法得到兩級行星傳動動力學(xué)模型（圖1所示）.在行星傳動動力學(xué)模型中分別表示第i級構(gòu)件h的平移和扭轉(zhuǎn)微位移，為第i級構(gòu)件h產(chǎn)生的角位移，且其中為第i級構(gòu)件h的基圓半徑（為第i級行星輪中心所在圓的回轉(zhuǎn)半徑）；分別表示第i級行星輪n的平移和扭轉(zhuǎn)微位移；u(θ,t)為第Ⅱ級內(nèi)齒圈的切向位移，若不做特別說明，本文一律將u(θ,t)簡寫為u.

圖1 彈性支承下的薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型[18]

依據(jù)牛頓第二定律建立第Ⅰ級、第Ⅱ級行星傳動的動力學(xué)微分方程.

式中：Me表示第Ⅱ級內(nèi)齒圈的等效質(zhì)量；kbend=EI/R3(1-v2),E為第Ⅱ級內(nèi)齒圈材料彈性模量，v為第Ⅱ級內(nèi)齒圈材料泊松比，R為第Ⅱ級內(nèi)齒圈的中性層半徑，I為第Ⅱ級內(nèi)齒圈的截面慣性矩；L1,L2和L3為無量綱算子（詳見文獻[15-17]）分別為第i級構(gòu)件h的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；分別為第i級太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合剛度；分別為第i級太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪沿其嚙合線的微位移；為第i級行星架相對行星輪的位移沿行星架j方向的投影；為第i級構(gòu)件h的支承剛度和扭轉(zhuǎn)剛度；krus,krbs分別為第Ⅱ級內(nèi)齒圈單位長度上的切向與徑向剛度；為行星輪支承剛度；為第i級構(gòu)件h所受的外力矩；表示第i級內(nèi)齒圈、行星輪在j方向上的彈性耦合項；表示第i級內(nèi)齒圈在j方向上的支承耦合項表示第i級構(gòu)件h的扭轉(zhuǎn)耦合項.彈性支承薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)各級基本參數(shù)及其余符號意義可參考文獻[15-17].

2 彈性支承薄壁內(nèi)齒圈兩級行星傳動系統(tǒng)齒輪副時變嚙合剛度

第i級第n個行星輪內(nèi)外時變嚙合剛度可寫成嚙合剛度均值與其變動量之和的形式

圖2 第Ⅰ級行星傳動內(nèi)外時變嚙合剛度[15-16]

圖3 第Ⅱ級行星傳動內(nèi)外時變嚙合剛度[15-16]

3 級間耦合剛度變化對兩級行星傳動系統(tǒng)嚙合動載荷的影響

3.1 級間耦合剛度變化對嚙合動載荷的影響

圖4 級間耦合剛度對第Ⅰ級太陽輪-行星輪嚙合動載荷的影響

圖5 級間耦合剛度對第Ⅰ級內(nèi)齒圈-行星輪嚙合動載荷的影響

圖6 級間耦合剛度對第Ⅱ級太陽輪-行星輪嚙合動載荷的影響

圖7 級間耦合剛度對第Ⅱ級內(nèi)齒圈-行星輪嚙合動載荷的影響

從圖4可以看出，隨著第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度的增大，第Ⅰ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷減小，且發(fā)生了脫齒現(xiàn)象，此時它們處于單邊沖擊狀態(tài)，齒面處于脫離嚙合狀態(tài)的時間逐漸縮短.從圖5可以看出，隨著第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度的增大，第Ⅰ級內(nèi)齒圈與行星輪間的嚙合動載荷減小，且它們間發(fā)生了單邊沖擊脫齒現(xiàn)象，這種脫離嚙合狀態(tài)的時間較短.從圖6可以看出，隨著第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度的增大，第Ⅱ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷減小，比較圖4和圖6可以發(fā)現(xiàn)，它們相較于第Ⅰ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷有所減小，且嚙合動載荷波動平穩(wěn)，但發(fā)生了較嚴重的雙邊沖擊脫齒現(xiàn)象.從圖7可以看出，隨著第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度的增大，第Ⅱ級內(nèi)齒圈與行星輪間的嚙合動載荷先保持不變后減小，發(fā)生輪齒脫齒現(xiàn)象，且處于雙邊沖擊狀態(tài).

3.2 級間耦合剛度 變化對嚙合動載荷的影響

圖8 級間耦合剛度 對第Ⅰ級太陽輪-行星輪嚙合動載荷的影響

圖9 級間耦合剛度 對第Ⅰ級內(nèi)齒圈-行星輪嚙合動載荷的影響

圖10 級間耦合剛度對第Ⅱ級太陽輪-行星輪嚙合動載荷的影響

圖11 級間耦合剛度對第Ⅱ級內(nèi)齒圈-行星輪嚙合動載荷的影響

從圖8可以看出，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅰ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷增大，其增幅較大；從圖8還可以發(fā)現(xiàn)，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅰ級太陽輪與行星輪間從單邊向雙邊沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)變，且這種脫離嚙合狀態(tài)的時間延長.從圖9可以看出，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅰ級內(nèi)齒圈與行星輪間的嚙合動載荷先增大后減小，其增、減幅均較大.從圖9還可以發(fā)現(xiàn)，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅰ級內(nèi)齒圈與行星輪間從單邊向雙邊再到單邊沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)變，且脫齒嚙合狀態(tài)的時間在延長后有所縮短.從圖10可以看出，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅱ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷先減小后增大，減、增幅均不大，它們間發(fā)生了雙邊沖擊脫齒現(xiàn)象，且波動平穩(wěn)性逐漸變差.從圖11可以看出，隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，第Ⅱ級內(nèi)齒圈與行星輪間的嚙合動載荷減小，其減幅較大，第Ⅱ級內(nèi)齒圈與行星輪間從雙邊向單邊沖擊狀態(tài)轉(zhuǎn)變，且齒面處于脫離嚙合狀態(tài)的時間縮短.

4 結(jié)論

考慮第Ⅱ級行星傳動內(nèi)齒圈彈性變形和彈性基的約束，通過級間耦合的方法建立了某混合動力系統(tǒng)中的兩級行星齒輪機構(gòu)在彈性支承下的剛?cè)狁詈匣旌蟿恿W(xué)模型，基于所建立的模型，采用Runge-Kutta法求解了傳動系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程，研究了級間耦合剛度變化對傳動系統(tǒng)嚙合動態(tài)載荷的影響，研究結(jié)果表明：

（1）隨著第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度的增大，在一定程度上降低了第Ⅱ級太陽輪、內(nèi)齒圈與行星齒輪間的嚙合動載荷；第Ⅰ級太陽輪與行星輪間的嚙合動載荷波動次數(shù)有所減小，但第Ⅰ級內(nèi)齒圈與行星輪和第Ⅱ級行星傳動各齒輪副間的嚙合動載荷波動次數(shù)幾乎不變，且第Ⅰ級內(nèi)齒圈與第Ⅱ級行星架間耦合剛度不僅對第Ⅰ級行星傳動各齒輪副間的嚙合動載荷產(chǎn)生影響，還對第Ⅱ級行星傳動各齒輪副間的嚙合動載荷產(chǎn)生了影響.

（2）隨著第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度的增大，較大幅度地降低了第Ⅱ級內(nèi)齒圈與行星輪間的嚙合動載荷，第Ⅰ級和第Ⅱ級行星傳動各齒輪副間的嚙合動載荷波動影響較復(fù)雜，且第Ⅰ級太陽輪與第Ⅱ級太陽輪間耦合剛度不僅對第Ⅰ級行星傳動各齒輪副的嚙合動載荷產(chǎn)生影響，還對第Ⅱ級行星傳動各齒輪副的嚙合動載荷產(chǎn)生影響.