陳凱

胡亂打字通關(guān)游戲

一些信息技術(shù)教材在提到“信息”的概念時，會引用香農(nóng)的觀點(diǎn)：“信息是能夠用來消除不確定性的東西?！边@里的“不確定性”其實(shí)指的是隨機(jī)不確定性。為什么所謂的信息和隨機(jī)不確定性有關(guān)呢？這個問題可不簡單，并不是三言兩語就能夠說明白的。為了對所謂的隨機(jī)不確定性有直觀的感受，不妨先來看一個簡單的通關(guān)游戲。游戲是用Python語言寫的，運(yùn)行界面如圖1所示。

游戲提示說，輸入合適的口令，才能通關(guān)到下一步，可是口令是什么呢？這時候只有隨便敲打鍵盤看自己運(yùn)氣了。唯一的要求是輸入的字符數(shù)量要多于50個。至于輸入的字符是什么，輸入的字符順序怎樣，輸入的字符是否重復(fù)，這些都無所謂。然而，也許玩家無論怎樣輸入字符，都無法過關(guān)，如圖2所示。

再來一次，可還是不行，如圖3所示。

然而，筆者“隨便”敲打輸入一大串字符，就奇跡般地過關(guān)了，如圖4所示。

多試幾次，結(jié)果也是這樣。筆者輸入的字符看似完全沒有規(guī)律，但每次都能順利過關(guān)。實(shí)際上，這些字符確實(shí)是胡亂敲打輸入的，但在敲打輸入時，有一個非常隱蔽的訣竅。仔細(xì)觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，輸入字符后代碼會反饋一串帶小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字。玩家前兩次輸入后，得到的數(shù)字大約是3.14和2.42，但筆者輸入字符后，這串?dāng)?shù)字是3.07。在Python程序代碼中，存在著一句判斷語句，當(dāng)這個數(shù)字大于2.95、小于3.1的時候，就能完成游戲通關(guān)。為了便于玩家通關(guān)，代碼里將數(shù)字顯示在了屏幕上，如果不顯示這個數(shù)字，要通關(guān)就更困難了。

這個數(shù)字究竟是怎么來的呢？它代表的就是根據(jù)玩家所輸入的一大串字符所計(jì)算出來的隨機(jī)不確定性。數(shù)字越大，隨機(jī)不確定性也就越大，數(shù)字越小，隨機(jī)不確定性也就越小。為了能夠通關(guān)，我們就必須把握好所輸入的字符的隨機(jī)不確定性?？墒?，怎么把握輸入字符的隨機(jī)不確定性呢？再一次觀察筆者輸入的字符，可以發(fā)現(xiàn)總共有十種不同的字母，其中九種字符出現(xiàn)的概率大致是相同的，而字符“g”出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)小于其他字符。當(dāng)然，出現(xiàn)概率被降低的字母不一定是“g”，再一次玩游戲時，也可以降低其他字母的概率，若是不公開說明，旁人是很難發(fā)現(xiàn)其中蹊蹺的。那么，輸入的每一串字符的隨機(jī)不確定性是怎么計(jì)算出來的呢，且看完整的Python代碼，如圖5所示。

代碼中用到了Counter類，它的作用是跟蹤每個字符出現(xiàn)的次數(shù)，lns變量存儲的是整個字符串的長度，count是某個字符在整個字符串中總共出現(xiàn)的次數(shù)。代碼中最關(guān)鍵的一段數(shù)學(xué)公式，就是count/ lns*math.log（lns/count，2）。這段公式到底起什么作用呢？我們可以通過輸入不同的字符來試試看。例如，輸入字符串a(chǎn)aaa，則count為4，lns也是4，count除以lns，或lns除以count，都得到1，然后，對于數(shù)字1，取以2為底的對數(shù)，這其實(shí)就是問2的幾次方是1，結(jié)果是0。代碼中for循環(huán)結(jié)構(gòu)所做的工作，是對出現(xiàn)的不同的字符進(jìn)行上述運(yùn)算后，再將結(jié)果累加起來，不過因?yàn)樽址產(chǎn)aaa只有一種字母，所以等于沒有做加法，結(jié)果自然還是0。數(shù)字0意味著玩家輸入的字符串中的每個字母非常有規(guī)律，隨機(jī)不確定性低到了極點(diǎn)。

如果輸入的是字符串a(chǎn)abb，則對于第一種字母a，count為2，lns為4，count除以lns得到0.5，lns除以count就得到2，然后，對于數(shù)字2，取以2為底的對數(shù)，這其實(shí)就是問2的幾次方是2，結(jié)果是1。最后，循環(huán)語句實(shí)際執(zhí)行的操作就是0.5*1+0.5*1，結(jié)果為1。這就能看出，字符串a(chǎn)abb與字符串a(chǎn)aaa相比，輸入的每個字母的隨機(jī)不確定性要高一些。

湊數(shù)通關(guān)法及其背后的深意

假設(shè)事先知道，當(dāng)輸入字符串的隨機(jī)不確定性值在2.95和3.1之間就能通關(guān)。那么，怎么用一堆貌似胡亂輸入的字符串湊出3.0這個數(shù)字呢？最簡單的辦法就是先湊出3/8，然后將3/8算上它自己累加8次，湊數(shù)時需要一些逆向的思維：

3/24代表什么呢？其實(shí)就是說，如果輸入的字符串長度是24，那么每個字符需要出現(xiàn)3次。不過根據(jù)剛才游戲的要求，規(guī)定玩家輸入的字符數(shù)量要多于50，那么只要分子分母各乘以3就可以了，也就是說，輸入72個字符，每個字符出現(xiàn)9次，這就意味著字符串中總共會出現(xiàn)8種不同的字符，每個重復(fù)9次即可。有了這個尺度，再玩游戲，那絕對能通關(guān)了吧，如圖6所示。

若要湊出隨機(jī)不確定性值為4，那也很容易，比如可以將2/32* math.log（32/2，2）算上自己加上16次，2/32分子分母各乘以2，得到4/64，也就是說，玩家輸入16種不同的字符，每個字符重復(fù)4次即可。其實(shí)這里已經(jīng)可以看出明顯的規(guī)律，若輸入的字符串字符概率均等，當(dāng)字符種類是2時，則隨機(jī)不確定性值是1；當(dāng)字符種類是4時，則隨機(jī)不確定性值是2；當(dāng)字符種類是8時，則隨機(jī)不確定性值是3；當(dāng)字符種類是16時，則隨機(jī)不確定性值是4。只要字符出現(xiàn)概率均等，那么隨機(jī)不確定性值的計(jì)算就可以用以2為底的對數(shù)函數(shù)來獲得。這里的隨機(jī)不確定性值，實(shí)際上就是描述信息混亂程度的信息熵，它的單位是比特。信息熵和數(shù)據(jù)存儲容量，其實(shí)是不同視角之下的同一件事。

信息熵在線玩

本文提供的小程序可以用來測試簡短字符串的信息熵，如果要檢測較大文件的信息熵，就要增加許多代碼，好在網(wǎng)絡(luò)上提供了在線測試文件信息熵的工具，不僅能計(jì)算信息熵的值，還能夠用直觀的圖表顯示出文件中不同字符所出現(xiàn)的頻率，這個在線工具的地址是https：//servertest.online/entropy。例如，可借用此在線工具分析某張照片的原始BMP格式（如上頁圖7）和轉(zhuǎn)成JPG格式后，信息熵值及信息分布頻率的不同，如上頁圖8和圖9。

兩張圖的信息熵值差異不大，為14多一些，但JPG圖片容量大小只有原始圖片的一半，可以發(fā)現(xiàn)，JPG圖片中，不同信息（字符）在空間中是均勻分布的。如果將原始BMP格式圖片轉(zhuǎn)化成16色位圖，雖然最終文件容量和JPG文件差不多，但圖像質(zhì)量卻大受影響，這從信息熵值的變化以及信息頻率分布圖中就可以看出端倪，如圖10和圖11。

16色位圖的信息熵只有4多一些，從頻率分布圖看，某些字符被大量使用，但圖中也存在著大塊空白，差不多容量相同的文件，16色位圖中每個字符所可能表達(dá)的信息的多樣性，要遠(yuǎn)小于JPG格式的圖片。從這個例子也可以看出，信息熵值對應(yīng)著文件中每個符號可能攜帶的信息量。

大家可以利用這個在線工具，分析比對不同文件壓縮前后的信息熵和信息頻率分布的情況，針對不同教學(xué)目標(biāo)，組織多樣的教學(xué)實(shí)踐活動。直觀互動的體驗(yàn)，再結(jié)合數(shù)字計(jì)算，有助于提高對信息熵這個抽象概念的理解。