丁宸宇， 岳瑞華， 李遠(yuǎn)東， 顧 凡

(火箭軍工程大學(xué)，西安 710025)

0 引言

基于MAP(Measurement Assurance Program)的導(dǎo)彈綜合測(cè)試設(shè)備的計(jì)量保證方案解決了傳統(tǒng)計(jì)量中逐級(jí)向上溯源以及大型設(shè)備的原位計(jì)量問題，而且使計(jì)量檢定過程處于閉環(huán)狀態(tài)，保證了測(cè)試的精度與可靠性，滿足了導(dǎo)彈時(shí)刻遂行作戰(zhàn)任務(wù)的需求。

在MAP方案中，為了計(jì)算核查標(biāo)準(zhǔn)值的統(tǒng)計(jì)特性，用核查標(biāo)準(zhǔn)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表征其隨機(jī)誤差大小，因此需要每?jī)纱螠y(cè)量之間的時(shí)間間隔足夠長(zhǎng)，以確保測(cè)量的觀測(cè)值具有完全獨(dú)立性。只有這樣，才能對(duì)核查標(biāo)準(zhǔn)值的測(cè)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算[1]。統(tǒng)計(jì)過程控制(SPC)是一種用于監(jiān)視和管理過程質(zhì)量的工具集合，控制圖是SPC工具箱中最流行、最有效的工具。傳統(tǒng)SPC方案都是假設(shè)觀測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，基于這樣的假設(shè)，休哈特控制圖已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)行業(yè)。對(duì)于具有自相關(guān)現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)控制圖不能有效地進(jìn)行工作，會(huì)誤導(dǎo)錯(cuò)誤判斷監(jiān)測(cè)狀態(tài)，而休哈特控制圖則會(huì)因?yàn)樯舷驴刂葡捱^窄，產(chǎn)生大量的虛發(fā)警報(bào)，使控制圖的使用效果大為降低[2-3]。文獻(xiàn)[4]分析的235個(gè)實(shí)際案例，分別使用傳統(tǒng)控制圖方法和考慮了序列相關(guān)的控制圖方法，前者相較于后者超出控制限的數(shù)據(jù)點(diǎn)多了584個(gè)，并且后者超出控制限的數(shù)據(jù)點(diǎn)中有33個(gè)點(diǎn)是前者沒有檢測(cè)出來的[4]。

自相關(guān)過程廣泛地存在于各種自動(dòng)化生產(chǎn)。學(xué)術(shù)界具有自相關(guān)性的數(shù)據(jù)處理主要有模型和無模型兩種方法[5-6]。其中：有模型的處理方式是利用受控?cái)?shù)據(jù)估計(jì)出正確的時(shí)間序列模型，求出每一個(gè)觀測(cè)值的殘差，用求得的殘差建立控制圖；無模型方法就是利用基平策略和對(duì)數(shù)據(jù)分組求均值，但是并不能完全消除時(shí)序相關(guān)，增大樣本容量可以降低時(shí)序相關(guān)，但是會(huì)導(dǎo)致失控時(shí)平均步長(zhǎng)增大，無法及時(shí)預(yù)警。

現(xiàn)有文獻(xiàn)大都是用事先假設(shè)的時(shí)間序列結(jié)合殘差控制圖來解決自相關(guān)過程中出現(xiàn)的控制問題[7-10]，繼而進(jìn)行分析，這顯然不符合工程應(yīng)用實(shí)際。就本文中的具體問題來說，時(shí)間序列模型是無法事先知道的，必須根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)下的觀測(cè)值模擬出時(shí)間序列模型。針對(duì)以上特點(diǎn)，本文提出依據(jù)受控狀態(tài)下的數(shù)據(jù)估計(jì)出時(shí)序模型，根據(jù)時(shí)序模型求出殘差，建立控制圖，并與傳統(tǒng)休哈特控制圖進(jìn)行對(duì)比。

1 控制圖基本原理

1.1 休哈特控制圖

休哈特控制圖對(duì)較大的漂移和異常點(diǎn)檢測(cè)效率較高，而且操作簡(jiǎn)便，因此得以廣泛使用。

xi=μi+εi

(1)

(2)

(3)

當(dāng)樣本大小為1，過程標(biāo)準(zhǔn)差需要通過前后兩個(gè)觀測(cè)值的極差來計(jì)算，即

(4)

(5)

1.2 控制圖判異準(zhǔn)則

控制圖的主要作用是判斷統(tǒng)計(jì)過程是否受控，在過程控制當(dāng)中，可能存在過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，但是控制圖卻顯示出現(xiàn)異常報(bào)警，這被稱為第Ⅰ類錯(cuò)誤，犯此類錯(cuò)誤的概率記為σ；同時(shí)也存在另一種錯(cuò)誤，即過程控制已經(jīng)失控，但是控制圖卻沒有發(fā)出警報(bào)，這類錯(cuò)誤被稱為第Ⅱ類錯(cuò)誤，犯此類錯(cuò)誤的概率記為β。一般認(rèn)為小概率事件不會(huì)發(fā)生，所以σ的取值特別小，通常取為0.002 7。在此種概率下，“點(diǎn)出界即異?！?。犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率減小會(huì)導(dǎo)致犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的概率增大，此時(shí)認(rèn)為只要點(diǎn)在控制圖中不是隨機(jī)排列即判定控制圖異常。所以，判斷控制圖異常的兩條準(zhǔn)則如下：1) 點(diǎn)出界即異常；2) 點(diǎn)沒有出界但排列不隨機(jī)即異常。

2 殘差控制圖基本原理

2.1 時(shí)間序列模型理論

自回歸AR(p)模型是時(shí)間序列模型中使用最為廣泛的模型，可表示為

(6)

在不失一般性情況下，以一階自回歸AR(1)模型具體闡述殘差控制圖，即

(7)

式中:μ為過程均值;|φ|<1是模型保持穩(wěn)定的必要條件。

傳統(tǒng)質(zhì)量控制圖應(yīng)用于自相關(guān)過程時(shí)，會(huì)因監(jiān)控限過窄導(dǎo)致虛假警報(bào)頻生[11-12]?？紤]使用滿足統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立性假設(shè)的殘差控制圖。其中過程殘差ei的表達(dá)式為

(8)

式中，參數(shù)μ和φ由統(tǒng)計(jì)過程處于受控狀態(tài)下的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)得到，而式(8)成立的條件就是這兩個(gè)參數(shù)必須估計(jì)準(zhǔn)確。

如果在過程中出現(xiàn)異常波動(dòng)導(dǎo)致過程均值出現(xiàn)偏移，過程均值將會(huì)隨時(shí)間發(fā)生改變。式(8)變?yōu)?/p>

Yi=μ+φ(Yi-1-μ)+εi

Yi=μi+φ(Yi-1-μi-1)+εi=
μi+φYi-1-φμi-1+εi。

(9)

假設(shè)在t-1時(shí)刻過程均值因異常波動(dòng)變?yōu)棣?δσy，那么變動(dòng)將發(fā)生在i=t-1和i=t之間，殘差序列ei為

(10)

(11)

綜上，可得殘差序列ei為

(12)

分析式(10)、式(11)可知，在均值發(fā)生變化后，第一個(gè)E(Ri)為δσy,但是自相關(guān)過程隨之對(duì)均值變化做出反應(yīng)，E(Ri)變?yōu)?1-φ)δσy。

由上文知?dú)埐頴i～i，i，d(μ,σ2)，所以可以用休哈特控制圖對(duì)殘差進(jìn)行控制，建立殘差—休哈特控制圖，其滿足

(13)

通過殘差建立的控制圖因數(shù)據(jù)間已經(jīng)沒有相關(guān)性故不再適用一般控制圖的判異規(guī)則。殘差控制圖的判異準(zhǔn)則僅在超出控制限的情況下才予以報(bào)警。

2.2 自相關(guān)過程及其辨識(shí)

自相關(guān)過程也稱作序列相關(guān)，指的是在自動(dòng)化條件下采集到的觀測(cè)值時(shí)間間隔太短，導(dǎo)致前后質(zhì)量特性存在相互依賴。自相關(guān)系統(tǒng)的辨識(shí)通常采用繪制自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)的方式來甄別。

(14)

式(14)是用來計(jì)算自相關(guān)系數(shù)大小的，其中，θk∈[-1,1]，θk離1越近，表示相關(guān)的程度越大。

(15)

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 模型建立和參數(shù)估計(jì)

從采用MAP定期校準(zhǔn)的某大型測(cè)控設(shè)備的標(biāo)準(zhǔn)28 V電壓源記錄中截取數(shù)據(jù)，該標(biāo)準(zhǔn)電壓源在受控的情況下，每周對(duì)其進(jìn)行3次檢定，共收集到150周的電壓表校準(zhǔn)觀測(cè)值，其時(shí)序圖用Minitab繪制,如圖1所示。橫坐標(biāo)表示樣本序列，縱坐標(biāo)表示標(biāo)準(zhǔn)電壓觀測(cè)值大小。從時(shí)序圖中并不能觀測(cè)出數(shù)據(jù)具有明顯相關(guān)性。

圖1 觀測(cè)值時(shí)序圖Fig.1 Sequence diagram of observed value

選取前150個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)Minitab軟件繪制樣本序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)圖和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)圖，以檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)性,如圖2、圖3所示。

圖2 觀測(cè)值自相關(guān)函數(shù)Fig.2 ACF of the observed value

圖3 觀測(cè)值偏自相關(guān)函數(shù)Fig.3 PACF of the observed value

樣本ACF圖顯示延遲4階后，自相關(guān)系數(shù)都收斂到兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍以內(nèi)，且呈余弦函數(shù)形式指數(shù)衰減到零值上下波動(dòng)，表明樣本數(shù)據(jù)是一個(gè)短期的自相關(guān)。鑒于樣本數(shù)量以及隨機(jī)性，樣本的偏自相關(guān)系數(shù)不會(huì)和理論上的偏自相關(guān)系數(shù)一樣，嚴(yán)格意義上收斂到0，本文的樣本偏自相關(guān)系數(shù)2階顯著不為0,2階以后近似為0。如果樣本的自相關(guān)系數(shù)在d階明顯超過兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，而后95%都收斂到兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，并且由非零的自相關(guān)系數(shù)收斂到兩倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)且波動(dòng)十分迅速，則視為截尾，可以判定為PACF截尾。另外，根據(jù)ACF拖尾綜合判定樣本值模型為AR(p)模型。

對(duì)樣本值做ADF檢驗(yàn)，其在含截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)以及只含趨勢(shì)項(xiàng)的檢驗(yàn)中，ADF值均小于顯著水平5%單位根臨界值，所以樣本值序列趨勢(shì)平穩(wěn)。根據(jù)PACF函數(shù)圖2階截尾，可以初步判斷模型是AR(2)模型，根據(jù)最小二乘法從最大滯后階數(shù)4階開始建立模型，并分別記錄AIC，SC和HQ準(zhǔn)則值的大小，如表1所示。

表1 信息準(zhǔn)則值

上述3個(gè)準(zhǔn)則的數(shù)值越小說明模型越好。從表1中可以看出,AR(2)模型3個(gè)準(zhǔn)則的參數(shù)值最小，所以選擇AR(2)模型。具體模型為

(16)

對(duì)估計(jì)出的模型的殘差使用拉格朗日乘數(shù)(LM)檢驗(yàn)，結(jié)果見表2。

表2 LM檢驗(yàn)結(jié)果

LM的統(tǒng)計(jì)量Obs*R-squard對(duì)應(yīng)的P(Prob)值為0.693,在5%的顯著水平下不拒絕原假設(shè)，即殘差序列不存在相關(guān)性。

根據(jù)估計(jì)出的模型繪出殘差序列的ACF和PACF，如圖4、圖5所示。

圖4 殘差自相關(guān)函數(shù)Fig.4 ACF of residual analysis

圖5 殘差偏自相關(guān)函數(shù)Fig.5 PACF of residual analysis

由圖4、圖5可以明顯看出，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，而且在零值附近波動(dòng)，所以殘差序列可以看作是一個(gè)白噪聲序列。

綜上，通過時(shí)間序列估計(jì)的模型適當(dāng)，擬合效果較好。

3.2 分析驗(yàn)證

圖6 單值控制圖Fig.6 Single value control chart

圖7 殘差控制圖Fig.7 Residual range control chart

由圖6可以觀察出有4個(gè)點(diǎn)明顯超出控制限，根據(jù)休哈特控制圖判斷穩(wěn)定的準(zhǔn)則，一個(gè)點(diǎn)出界即為異常,判斷該過程失控，但是該控制圖中的數(shù)據(jù)是在測(cè)控設(shè)備處于穩(wěn)定狀態(tài)下獲得的，所以該控制圖發(fā)出的警報(bào)為虛假警報(bào)。觀察圖7，發(fā)現(xiàn)沒有點(diǎn)超出控制限，殘差控制圖的判穩(wěn)準(zhǔn)則是只要沒有點(diǎn)出界即處于受控狀態(tài)，即判斷該過程處于受控狀態(tài)，沒有出現(xiàn)虛假警報(bào)。結(jié)果表明對(duì)存在自相關(guān)的數(shù)據(jù)使用殘差控制圖是有效的。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)采用MAP的大型自動(dòng)化測(cè)試設(shè)備獲得的校準(zhǔn)值，因校準(zhǔn)值本身存在自相關(guān)性，導(dǎo)致傳統(tǒng)休哈特控制圖上下間距過小，出現(xiàn)虛假警報(bào)過多的問題，提出滿足傳統(tǒng)休哈特控制圖數(shù)據(jù)間相互獨(dú)立假設(shè)的殘差控制圖。根據(jù)時(shí)間序列模型，利用受控狀態(tài)下的觀測(cè)值辨識(shí)并估計(jì)出自回歸模型。結(jié)合實(shí)例計(jì)算出數(shù)據(jù)的殘差并繪制殘差控制圖與傳統(tǒng)控制圖對(duì)比，其結(jié)果有力地說明在考慮數(shù)據(jù)自相關(guān)性后，殘差控制圖有效地減少了非異常原因造成的波動(dòng)，減少了虛假警報(bào)，同時(shí)也為其他采用MAP的項(xiàng)目建立過程參數(shù)提供了一種可以參考的方法。