戴 姣, 劉春生, 孫景亮

(南京航空航天大學(xué)，南京 211106)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，控制系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜性不斷增加，系統(tǒng)出現(xiàn)故障的機(jī)率也隨之增大。任何類型故障的發(fā)生都有可能導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)性能下降，甚至影響系統(tǒng)穩(wěn)定性，造成不可預(yù)期的損失[1]。因此，提高控制系統(tǒng)的安全性和可靠性顯得尤為重要。

根據(jù)故障處理的方式可將容錯(cuò)控制方法進(jìn)行分類。1985年，文獻(xiàn)[2]將容錯(cuò)控制分為兩大類：主動(dòng)容錯(cuò)控制(Active FTC) 和被動(dòng)容錯(cuò)控制(Passive FTC)。被動(dòng)容錯(cuò)控制針對(duì)的是特定的故障類型，不需要故障檢測(cè)環(huán)節(jié)，其不改變控制器的參數(shù)和結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)方法相對(duì)簡(jiǎn)單[3]，與被動(dòng)容錯(cuò)控制相比，主動(dòng)容錯(cuò)控制具有更高的靈活性[4]。其在系統(tǒng)的故障發(fā)生之后，利用在線獲得的故障信息，通過(guò)控制器的重構(gòu)或者調(diào)整來(lái)保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

近年來(lái)，主動(dòng)容錯(cuò)控制技術(shù)與魯棒控制、最優(yōu)控制、自適應(yīng)控制[5]相結(jié)合，得到迅速發(fā)展。文獻(xiàn)[6]針對(duì)執(zhí)行器故障的不確定系統(tǒng)，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)的不確定性，并采用故障估計(jì)算法，研究了滿足H-2性能要求的容錯(cuò)控制器；文獻(xiàn)[7]研究了一類時(shí)變故障的不確定非線性系統(tǒng)的H∞容錯(cuò)控制問(wèn)題，在線估計(jì)時(shí)變故障，利用狀態(tài)信息和故障信息構(gòu)成控制律以補(bǔ)償故障造成的影響，使H∞性能指標(biāo)最小化。

自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(Adaptive Dynamic Programming,ADP) 是最優(yōu)控制領(lǐng)域新興起的一種近似最優(yōu)方法，是當(dāng)前研究熱點(diǎn)。ADP方法通過(guò)函數(shù)近似結(jié)構(gòu)來(lái)近似哈密頓-雅可比-貝爾曼(Hamilton-Jacobi-Bellman,HJB)方程的解，采用離線迭代[8]或者在線更新[9]的方法，來(lái)獲得系統(tǒng)的近似最優(yōu)控制策略，能夠有效地解決非線性系統(tǒng)的優(yōu)化控制問(wèn)題。近年來(lái)，ADP算法用于解決連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間延遲[10]、外部干擾[11]、控制受限[12]以及協(xié)同控制[13-14]、軌跡跟蹤[15]等控制問(wèn)題。但是有關(guān)ADP容錯(cuò)控制的理論研究成果很少[16]。文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類具有執(zhí)行器故障的仿射非線性系統(tǒng)，提出了一種基于策略迭代算法(PI)的新型在線故障補(bǔ)償方案?？刂坡捎蒔I算法和故障補(bǔ)償器兩部分組成。文獻(xiàn)[18]針對(duì)一類具有執(zhí)行器增益故障和偏轉(zhuǎn)故障的仿射非線性系統(tǒng)，構(gòu)建積分滑模函數(shù)，利用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，得到一種滑模容錯(cuò)控制方案，通過(guò)構(gòu)建執(zhí)行網(wǎng)-評(píng)價(jià)網(wǎng)結(jié)構(gòu)，得到近似最優(yōu)容錯(cuò)控制律。

本文基于自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，提出一種新的主動(dòng)容錯(cuò)控制方案，主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)可概括如下：

1) 通過(guò)設(shè)計(jì)故障觀測(cè)器，采用估計(jì)的執(zhí)行器故障來(lái)構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)，使其能同時(shí)反映執(zhí)行器故障、狀態(tài)和控制律,從而將容錯(cuò)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題；

2) 容錯(cuò)控制器可以僅依賴于評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而得到，不再需要執(zhí)行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練；

3) 利用ADP方法來(lái)解決FTC問(wèn)題，這是一種針對(duì)執(zhí)行器故障的新的容錯(cuò)控制方法。

1 系統(tǒng)故障模型

考慮一類連續(xù)時(shí)間仿射非線性系統(tǒng)為

(1)

式中：x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)；u(t)=[u1…um]T∈Rm是控制輸入；ua∈Rm為未知的執(zhí)行器故障；f(x(t))和g(x(t))是連續(xù)可微的系統(tǒng)矩陣，假定f(·)和g(·)Lipchitz連續(xù)，且f(0)=0。

假設(shè)1f(·)和g(·)都是有界的。

假設(shè)2執(zhí)行器故障ua未知但是滿足范數(shù)有界‖ua‖≤δ1<+∞，δ1是常數(shù)，δ1>0。

針對(duì)式(1)系統(tǒng)，定義性能指標(biāo)函數(shù)為

(2)

根據(jù)極小值原理，哈密頓方程可以定義為

(3)

式中，▽V(x)=?V(x)/?x。

則最優(yōu)性能指標(biāo)為

(4)

滿足HJB方程

H(x，u*，▽V*(x))=0

(5)

則得最優(yōu)控制律為

(6)

由式(6)可知，欲得最優(yōu)控制策略，必須求解HJB方程。但是，直接求解式(5)的非線性HJB方程是十分困難的，幾乎不可能。因此，本文利用自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(ADP)方法求解HJB方程。

2 基于ADP的容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

2.1 故障估計(jì)

針對(duì)式(1)的故障系統(tǒng)，設(shè)計(jì)故障觀測(cè)器為

(7)

(8)

(9)

假設(shè)3e1范數(shù)有界：‖e1‖≤δ2，δ2是一個(gè)正數(shù)。

注1 因?yàn)閒(x(t))和g(x(t))都是有界的，所以ef和eg均范數(shù)有界，而且，u是緊密集S上的容許控制，所以u(píng)-ua也有界，因此，假設(shè)3合理。

定理1對(duì)于式(1)的故障系統(tǒng),在假設(shè)1和假設(shè)2成立的情況下，故障觀測(cè)器(7)能夠保證故障的觀測(cè)誤差最終一致有界穩(wěn)定。

證明 選取Lyapunov函數(shù)

(10)

(11)

將式(8)自適應(yīng)更新律代入式(11)有

(12)

2.2 容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)

證明選取李雅普諾夫函數(shù)

(13)

然后有

(14)

基于式(5)，可得

(15)

由式(6)易得

-2Ru*(x)=gT(x)▽V*(x)

(16)

因此有

(17)

根據(jù)假設(shè)1可得

(18)

因此，當(dāng)Q，R和ρ滿足條件

(19)

時(shí)，系統(tǒng)保持漸近穩(wěn)定。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)

由于性能指標(biāo)函數(shù)通常是高度非線性的，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似它[19]。 在本文中，采用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近緊密集S上的假定可微性能指標(biāo)函數(shù)。

(20)

式中：wc∈Rl是理想的權(quán)值向量,l代表隱含層中的神經(jīng)元個(gè)數(shù)；σ(x)∈Rl是激活函數(shù)，εc(x)表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似誤差。式(20)中V(x)梯度為

▽V(x)=(▽?duì)?x))Twc+▽?duì)與(x)

(21)

將式(8)代入式(5)中有

(22)

因此，哈密頓方程可以表示為

(23)

式中，eHJB表示由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似帶來(lái)的殘余誤差。

因?yàn)槔硐霗?quán)值向量wc是未知的，因此，評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以近似表示為

(24)

(25)

因此，近似哈密頓方程可以表示為

(26)

假設(shè)4評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值是有界的：‖wc‖≤w1。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似誤差εc有界：‖εc‖≤ε1。激活函數(shù)σ(x)及其微分是有界的。

定義目標(biāo)函數(shù)E(t)為

(27)

(28)

因此定義評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新律為

(29)

式中：γ>0是學(xué)習(xí)率；proj表示投影算子。

因此，得到近似最優(yōu)控制律為

(30)

4 仿真分析

仿真結(jié)果如圖1～圖5所示。

圖1 無(wú)故障時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.1 Dynamic responses with no fault

圖2 未引入容錯(cuò)控制器的故障系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

圖3 容錯(cuò)控制器作用下的故障系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.3 Dynamic responses of the fault system under the FTC input

圖4 基于故障觀測(cè)器的故障估計(jì)Fig.4 The estimated fault based on the fault observer

圖5 評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值Fig.5 The weights of the critic neural network

從圖5可以看出，評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值在設(shè)計(jì)的算法下最終收斂。執(zhí)行器的故障估計(jì)是構(gòu)造性能指標(biāo)函數(shù)的關(guān)鍵，圖4表明了故障觀測(cè)器的故障估計(jì)值可靠有效。從圖2和圖1可以看出，當(dāng)?shù)? s故障發(fā)生后，在沒(méi)有引入容錯(cuò)控制的情況下，系統(tǒng)的狀態(tài)受到影響并出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，但是在圖3容錯(cuò)控制輸入的作用下，系統(tǒng)能很快趨于穩(wěn)定，無(wú)誤差。因此，仿真結(jié)果證明，本文所提出的主動(dòng)容錯(cuò)控制方案是有效的。

5 結(jié)論

提出了一類自適應(yīng)優(yōu)化容錯(cuò)控制設(shè)計(jì)方法。為了實(shí)現(xiàn)主動(dòng)容錯(cuò)控制，構(gòu)造了自適應(yīng)故障觀測(cè)器，并將其用于容錯(cuò)控制律的設(shè)計(jì)，同時(shí)基于ADP算法獲得近似最優(yōu)容錯(cuò)控制律，解決了容錯(cuò)控制的優(yōu)化問(wèn)題。本文的另一特點(diǎn)是采用單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似性能指標(biāo)，簡(jiǎn)化了算法。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性，對(duì)解決一類非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障容錯(cuò)控制有良好的參考價(jià)值。