摘 要：基于傳統(tǒng)教學(xué)模式對(duì)于數(shù)學(xué)思維方法和過程的可視化場(chǎng)景不清晰，本文提出了數(shù)學(xué)思維顯性化的初中教學(xué)思路，分析了師生兩方面對(duì)于思維顯性化難以實(shí)現(xiàn)的原因，將不可見的思維路徑及思維方法通過圖的直觀形式呈現(xiàn)出來，在教學(xué)實(shí)踐中通過運(yùn)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖、解決一類問題模型圖、分析流程圖等手段提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；顯性化；網(wǎng)絡(luò)圖；模型圖；流程圖

作者簡(jiǎn)介：于蕾，北京海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校教師。（北京 100097）

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）18-0013-02

在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，知識(shí)加工和問題解決的思考過程往往不可見，教師和學(xué)生更多關(guān)注答案，而忽視答案的生成過程。然而，學(xué)生的思維發(fā)展并不來源于答案的累積，而來自于生成。答案的累積只是增加學(xué)生的感性答題經(jīng)驗(yàn)，而不能提高學(xué)生的理性解題能力，所以當(dāng)題目或題型一變，學(xué)生便無法應(yīng)對(duì)，因?yàn)楦行越?jīng)驗(yàn)對(duì)不上號(hào)。要提高教學(xué)效能，教師就必須將強(qiáng)調(diào)答案轉(zhuǎn)變?yōu)閺?qiáng)調(diào)答案的生成過程，變依靠感性經(jīng)驗(yàn)答題為運(yùn)用理性思考解題，把看不見的思維過程和方法清晰地呈現(xiàn)出來，以便更好地理解、記憶和運(yùn)用。[1]“思維顯性化”在數(shù)學(xué)問題解決過程中將原本不可見的思維路徑及思維方法通過各種直觀的方式呈現(xiàn)出來。針對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，“思維顯性化”有以下兩方面意義：一是從形象思維到抽象思維的過渡。初中生在解決問題的過程中將自己的思考用語(yǔ)言講述出來，難免會(huì)描述不清楚。通過選擇自己擅長(zhǎng)的方式形象地表述所思所想，把自己的思維過程層層揭示和展現(xiàn)出來，這對(duì)學(xué)生的理性思維發(fā)展會(huì)起到事半功倍的效果。二是便于分享和交流。抽象的思維過程既不易用語(yǔ)言表達(dá)，也不易被他人所理解。通過直觀的方式將原本不可見的思維路徑和思維方法呈現(xiàn)出來，便于在學(xué)生間進(jìn)行分享和交流。

一、概念界定

1. 數(shù)學(xué)思維

解釋1：思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的概括和間接反映，是人腦的基本活動(dòng)形式，是人的一種高級(jí)的心理活動(dòng)形式。數(shù)學(xué)思維就是用數(shù)學(xué)思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式，也就是人們通常所指的數(shù)學(xué)思維能力，即能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。

解釋2：數(shù)學(xué)思維是用數(shù)學(xué)的抽象模型（比如代數(shù)，量化等）來思考問題的思維模式。比如形象思維（感性認(rèn)識(shí)強(qiáng)）、抽象思維（邏輯能力強(qiáng)）、逆向思維（概念能力強(qiáng)）、發(fā)散思維（想象能力強(qiáng)）等。

解釋3：數(shù)學(xué)思維是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等）的本質(zhì)屬性和內(nèi)部規(guī)律的間接反映，并按一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理性活動(dòng)。

解釋4：數(shù)學(xué)思維是以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象為任務(wù)，以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)為思維載體，并以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的的一種思維。

2. 數(shù)學(xué)思維能力?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，數(shù)學(xué)思維能力主要包括四個(gè)方面的內(nèi)容：會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會(huì)用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系，形成良好的思維品質(zhì)。

3. 數(shù)學(xué)思維顯性化。思維過程顯性化是在數(shù)學(xué)問題解決過程中，將原本不可見的思維路徑及思維方法通過各種直觀的方式呈現(xiàn)出來。

二、“思維顯性化”難以實(shí)現(xiàn)的原因分析

數(shù)學(xué)思維能力需要學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。一般來說，數(shù)學(xué)思維能力強(qiáng)的學(xué)生，基本體現(xiàn)在聯(lián)想力和數(shù)字敏感度上。[2]但對(duì)于初中生來說，難以將不可見的思維路徑及思維方法顯性化。

1. 教師方面

（1）受中考指揮棒影響。以往的數(shù)學(xué)考試中，題目的解答結(jié)果均具有確定性，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中只重結(jié)論，不重過程，用結(jié)論去替代過程或者只重應(yīng)用，不重形成，甚至有時(shí)候教師把新課匆匆?guī)н^，省出時(shí)間來練習(xí)或復(fù)習(xí)。但從2015年開始，北京市數(shù)學(xué)中考試題中開始出現(xiàn)只回答解題思路，不需要完整的解答過程的題目，并且這樣的開放性問題正在逐年增加。

（2）短時(shí)間看不到成果。在教學(xué)中要將思維過程直觀展現(xiàn)出來，方便大家溝通，需要大量的時(shí)間進(jìn)行各種方式的嘗試，需要在課上或課下進(jìn)行反復(fù)的琢磨、溝通交流、修改補(bǔ)充、調(diào)整完善，即便這樣也可能在一段時(shí)間內(nèi)不能實(shí)現(xiàn)最初設(shè)定的目標(biāo)，沒有產(chǎn)生較好的效果，因此容易在嘗試過程中半途而廢。

2. 學(xué)生方面

（1）思維惰性。有些學(xué)生在遇到難題時(shí)懶于動(dòng)腦，往往會(huì)選擇等老師講解或者等以后再解決，久而久之，形成了思維惰性，題目稍微變化就無從下手。

（2）思維慣性。思維的慣性常伴隨著思維的惰性而存在。學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，看見術(shù)語(yǔ)，便羅列公式，生搬硬套；看見數(shù)據(jù)，便代入演算，拼湊解答等。觀察只停滯在感知表象中，對(duì)關(guān)鍵信息感知把握不準(zhǔn)，思維指向性模糊，即使撞上關(guān)鍵信息，也不能加工形成有價(jià)值的反饋信息，致使解題思路受阻。

三、促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維顯性化的教學(xué)實(shí)踐

圖是最直觀的語(yǔ)言，易讀、易懂、易記而且記得牢。因此，實(shí)現(xiàn)“思維顯性化”的最有效方式便是用“圖”的形式把“思維”呈現(xiàn)出來。在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)“思維顯性化”的手段主要包括：知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖、解決一類問題的模型圖、分析流程圖，等等。[3]

1. 借助知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖促進(jìn)知識(shí)邏輯層次的顯性化。數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的，知識(shí)間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，諸多知識(shí)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R(shí)系統(tǒng)，通過知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的形式能夠顯性化知識(shí)間的邏輯層次，幫助學(xué)生有序建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。初中代數(shù)知識(shí)包括數(shù)、式、方程和函數(shù)四個(gè)部分，涉及這四個(gè)部分的內(nèi)容分散在教材中的十三個(gè)章節(jié)。借助知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的形式將諸多概念之間的邏輯層次顯性化，可以給學(xué)生大致呈現(xiàn)出整個(gè)初中的代數(shù)體系。在建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的過程中，借助知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的直觀性，把知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系層層呈現(xiàn)出來，并在每一次建立聯(lián)系的過程中，通過網(wǎng)絡(luò)圖直觀地看到之所以能建立聯(lián)系的本質(zhì)原因是概念之間存在聯(lián)系。學(xué)生通過老師展示的網(wǎng)絡(luò)圖，在深入理解概念的同時(shí)，又可以根據(jù)自己的實(shí)際需要靈活梳理自己的網(wǎng)絡(luò)圖，從而對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)更加理性。這種呈現(xiàn)方式將“看不見的”的概念之間的聯(lián)系清晰地呈現(xiàn)出來，使學(xué)生在解決綜合問題時(shí)能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問題。通過這種方式將頭腦中有共性聯(lián)系的概念呈現(xiàn)出來，可以幫助學(xué)生對(duì)概念的理解從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)邏輯層次的顯性化。

2. 借助模型圖促進(jìn)解題規(guī)律的顯性化。數(shù)學(xué)概念的理解最終體現(xiàn)在一道道數(shù)學(xué)問題上，如果只是簡(jiǎn)單的機(jī)械重復(fù)，那學(xué)生就不是在知識(shí)的海洋中暢快遨游，而是在知識(shí)的沼澤地里艱難跋涉。因此，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖的基礎(chǔ)上繼續(xù)對(duì)相關(guān)的問題精加工，建立解決一類問題的思考習(xí)慣，最終使得解題規(guī)律模型化。如學(xué)生解決旋轉(zhuǎn)類的幾何綜合問題和求代數(shù)式值問題時(shí)，就可以結(jié)合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖和對(duì)應(yīng)的習(xí)題整理出解題規(guī)律。

3. 借助分析流程圖促進(jìn)有序推理的顯性化。提到推理，往往就會(huì)想到幾何證明題，其實(shí)不僅代數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)用到推理，生活中處處都有推理?？稍趯?shí)際課堂活動(dòng)中，學(xué)生經(jīng)常無法表述清楚自己的思路。在教學(xué)中只要涉及分析，就盡可能地引導(dǎo)學(xué)生用流程圖的方式將抽象的思路顯性化。運(yùn)用流程圖展示思路的核心是建立已知條件與未知目標(biāo)相關(guān)的模型，這種模型的核心是運(yùn)用數(shù)學(xué)定理、公式和法則把變量之間以及變量同目標(biāo)之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)關(guān)系式層層表達(dá)出來。將數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則用圖的形式直接表述，變量之間以及變量同目標(biāo)之間的關(guān)系就可以用流程圖直觀展示出來。

課堂教學(xué)思維顯性化的關(guān)鍵是有沒有思維含量？是否做到了以知識(shí)為載體來引發(fā)學(xué)生深層次地思考？思維顯性化側(cè)重于知識(shí)表征背后的思維規(guī)律、思考方法、思考路徑，在顯性化的過程中強(qiáng)調(diào)對(duì)思考方法和思考路徑的梳理和呈現(xiàn)，借助圖示方法及技術(shù)對(duì)知識(shí)進(jìn)行深加工為效能手段，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，師生及學(xué)生合作探究為課堂形式，最終水到渠成地實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王仕嶺.如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J].中學(xué)生數(shù)理化（教與學(xué)），2017，（5）.

[2] 李冬勝.數(shù)學(xué)思維方法[J].太原：山西人民出版社，2010，（4）.

[3] 章水云.問題解決中“思維過程顯性化”的若干策略探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006，（7）.

責(zé)任編輯 黃 晶