潘雪勤

摘要考慮現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中紅利的存在、波動(dòng)率等參數(shù)隨時(shí)間變化以及交易時(shí)間不連續(xù)產(chǎn)生的對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)不可忽略，研究離散時(shí)間、支付紅利條件下基于混合規(guī)避策略的期權(quán)定價(jià)模型.由平均自融資-極小方差規(guī)避策略得到相應(yīng)歐式看漲期權(quán)定價(jià)方程，并且分別使用偏微分方法和概率論方法得到統(tǒng)一的閉形解.數(shù)值分析表明，與經(jīng)典的期權(quán)定價(jià)模型相比，新模型中的期權(quán)價(jià)格更接近對(duì)沖成本.

關(guān)鍵詞概率論；期權(quán)定價(jià)；規(guī)避策略；Feynman-Kac公式；蒙特卡洛模擬法

中圖分類號(hào)O213 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Option Pricing and Its Numerical Analysis

Based on Mixed Hedging Strategy

Xueqin Pan

（School of Mathematics， South China University of Technology，Guangzhou， Guangdong510640， China）

AbstractEssentially， considering the existence of dividend， the change of volatility with different time， and the fact the risk of hedging caused by a discrete time case cant be neglected in the real world， this paper studies the option pricing model based on the mixed hedging strategy in a discrete time incomplete market and dividend payout. The corresponding European call option pricing equation is obtained from an average selffinance minimal variance hedging strategy， and then the partial closedform solution is obtained from the partial differential method and the probability theory method in detail. From numerical analysis， we found that the option price in the new model is closer to the hedging cost than the BS model. It illustrates that residual risks， risk preference， the trading frequency and dividend as well as the mixed hedging strategy play an important role in option pricing and portfolio hedging in a discrete time case.

Key wordsprobability theory； option pricing； FeynmanKac formula； Monte Carlo simulation

1引言

美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Black和Scholes（1973）[1]首先提出了BlackScholes模型（簡(jiǎn)稱BS模型），模型在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和無(wú)套利原理推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式.隨后，學(xué)者們?cè)囍诖嘶A(chǔ)下放寬一些現(xiàn)實(shí)條件，以獲取更加適合市場(chǎng)的模型.Merton（1073）[2]考慮了跳躍點(diǎn)和股票支付紅利的情況.Cox、Ross和Rubinstein（1979）[3]提出了二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型，考慮股價(jià)是服從二項(xiàng)分布的模型.Leland（1985）[4]首次檢驗(yàn)了有交易成本且在離散場(chǎng)合考慮到了期權(quán)復(fù)制的問(wèn)題.關(guān)于期權(quán)定價(jià)的理論研究和綜述文獻(xiàn)已相當(dāng)豐富，Potters、Bouchaud和Sestovic（2001）[5]提出了一種新的“對(duì)沖”蒙特卡羅（HMC）方法進(jìn)行定價(jià)，Mastinek（2006）[6]改進(jìn)離散時(shí)間對(duì)沖套期保值，XT Wang、Z Li和L Zhuang（2017）[7]提出了一種新的方法來(lái)根據(jù)學(xué)生的噪音跳躍來(lái)定價(jià)歐式選項(xiàng).而探尋更加符合市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)模型成為眾多學(xué)者關(guān)注學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

2期權(quán)定價(jià)方程的建立

Markowitz（1953）[8]提出了均值-方差（MeanVariance）規(guī)則，被廣泛應(yīng)用于研究與實(shí)踐決策規(guī)則，其實(shí)它對(duì)離散時(shí)間場(chǎng)合的期權(quán)定價(jià)模型亦有著非常大的影響.B-S模型是建立在眾多條件（標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，無(wú)交易費(fèi)，不支付紅利q=0，連續(xù)時(shí)間交易，股票期望收益率μ、股票波動(dòng)率σ和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)等）的理想環(huán)境下，偏離現(xiàn)實(shí)因素.因此，探究離散時(shí)間和支付紅利條件下，且考慮μ，σ，r，q均為時(shí)間t的函數(shù)的期權(quán)定價(jià)模型，具有重要的理論價(jià)值.

首先給出5個(gè)基本假設(shè)（以歐式看漲期權(quán)為例）：

假設(shè)1 股票價(jià)格適合離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程δSt=μtStδt+σtStδBt，其中，μt和σt均為t的函數(shù)，{Bt}t∈0，T為完備概率空間（Ω，F(xiàn)t，P）上標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運(yùn)動(dòng)，{Ft}t∈0，T為布朗濾子族；

假設(shè)2 股票紅利率為qt，無(wú)交易費(fèi)用、稅收；

假設(shè)3 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rt為時(shí)間t的函數(shù)；；

假設(shè)4 在離散時(shí)間下交易，交易時(shí)間間隔為δt>0.

假設(shè)5 無(wú)賣空限制，且市場(chǎng)是無(wú)套利的，即便存在套利機(jī)會(huì)，也會(huì)被快速消除.

由于交易是在離散時(shí)間進(jìn)行的，由股票與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成的投資組合不可能完全規(guī)避期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)，現(xiàn)在考慮此風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響.

在一個(gè)由股票St=S0exp ut-σ2t2t+σBt和債券Dt=D0ert兩類資產(chǎn)組成的簡(jiǎn)單金融市場(chǎng).在t，t+δt時(shí)間段內(nèi)，由泰勒公式可以求得δSt和δDt的展開(kāi)式，且

（δSt）2=S2t2ut-σ2t2σδtδBt++

S2tσ3t（δBt）3+S2tσ2t（δBt）2+G2（δt）（1）

其中，E（G2（δt））=o（δt）.

考慮由其組成的投資組合Πt： Πt=X1（t）St+X2（t）Dt，X1（t），X2（t）為相應(yīng)份額[9]，由一價(jià)定律，該復(fù)制策略的初始值將被用來(lái)作為期權(quán)的價(jià)格C=C（t，St）.

在t，t+δt時(shí)間段內(nèi)，投資組合的價(jià)值變化為δΠt=X1（t）（δSt+qtStδt）+X2（t）δDt，假定C（t，St）對(duì)t連續(xù)可微，對(duì)St二階連續(xù)可微，則期權(quán)的價(jià)格變化可表示為：

δC=Ctδt+（CS+2CtSδt）δS+

122CS2（δS）2+G3（δt），

其中E（G3（δt））=O（（δt）2）=o（δt），令

A1（t）=Ct-rtX2（t）Dt-qtX1（t）St，

A2（t）=CS+2CtSδt-X1（t），

A3（t）=122CS2.

可得

δC-δΠt=A1（t）δt+A2（t）δS+

A3（t）（δS）2+G3（δt）. （2）

將δSt 和式（1）代入式（2），可得

δC-δΠt=

A1（t）+A2（t）Stut-σ2t2δt+

12！σ2tA2（t）St+σ21A3（t）S2t（δBt）2+

σA2（t）St1+ut-σ2t2（δT）+

A3（t）S2t2ut-σ2t2σ1δtδBt+

13！A2（t）St+σ3tA3（t）S2t（δBt）3+G4（δt）.

式中

G4（δt）=A2（t）G1（δt）+A3（t）G2（δt）+G3（δt），

E（G4（δt））=O（（δt）2）=o（δt）.

Giovanni、Ortobelli和Rachev（2008）[10]分析不同了的期權(quán)定價(jià)模型.可以得出離散時(shí)間下δt不趨于0，無(wú)法進(jìn)行自融資復(fù)制，找不到完美的規(guī)避策略.Wang、Zhao和Fang（2015）[11]考慮了離散時(shí)間不完全市場(chǎng)期權(quán)定價(jià)和投資組合套期保值.受MV規(guī)則的啟發(fā)，基本思路是：投資組合Πt在平均自融資條件下復(fù)制期權(quán)，并使得該復(fù)制誤差的方差極小化，即：

MinX1（t）Var（δC-δΠt）s.t. E（δC-δΠt）=0， C（t，St）=X1（t）St+X2（t）Dt.

求得：

A1（t）=uA2（t）St+σ2tA3（t）S2t=0.

新模型相對(duì)于文獻(xiàn)[11]的模型，考慮了支付紅利且μ，σ，r，q均為時(shí)間t的函數(shù)，更具有參考價(jià)值.

因?yàn)樗骎ar（δC-δΠt）=E（δC-δΠt）2是關(guān)于X1（t）的拋物線，為了使Var（δC-δΠt）最小化，只需Var（δC-δΠt）X1（t）=0，忽略（δt）2和2CtSδt，可得

X1（t）=CS+（ut+3σ2t2）δt1+2μtδt+σ2t2δtSt2CS2t.

稱X1（t）為混合delta規(guī)避策略（收益和風(fēng)險(xiǎn)雙目標(biāo)），它是對(duì)是B-S delta規(guī)避策略的某種推廣.

再由C=X1（t）St+X2（t）Dt，得到期權(quán)定價(jià)方程：

Ct+（rt-qt）SCS+σ^2t2S22CS2-rtC=0，

其中，σ^2t=σ2t+2（rt-μt）（μt+32σ2t）δt1+2μtδt+σ2t2δt ，當(dāng)δt充分小時(shí)，σ^2t=σ2t.

3期權(quán)定價(jià)公式的求解

由于μ，σ，r，q，均為時(shí)間t的函數(shù)，傳統(tǒng)的BS模型公式求解方法已不再適用，本節(jié)中由兩種方法得出統(tǒng)一的期權(quán)定價(jià)公式.

3.1偏微分方法求解公式

為了得出有效期[0，T]內(nèi)期權(quán)的價(jià)值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求解定解問(wèn)題：

Ct+rSCS+σ22S22CS2-rC=0，

C（T，ST）=（S-X）+=max（ST-X，0）.

作以下代換x=ln S，τ=T-t，使得變系數(shù)變成了常系數(shù)[12].為了轉(zhuǎn)化為熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題，令函數(shù)變換C=Veατ+βx，并消去eατ+βx，得到

Vτ-σ222Vx2-（βσ2+r-σ22）Vx+

r-β（r-σ22）-σ22β2+αV=0

通過(guò)適當(dāng)?shù)剡x取常數(shù)α，β，這里令

β=12-rσ2，

α=-r-12σ2（r-σ22）2.

可得到方程：

Vτ-σ222Vx2=0，

V（x，0）=e-βx（ex-X）+.

由通解泊松公式得解[13]：

V（x，τ）=1σ2πτ∫

SymboleB@ lnXe-（x-ξ）22σ2e（1-β）ξ-Xe-βξdξ.

帶回原變量得：

C（x，τ）=Vx，τexp{-rτ-12σ2（r-σ22）2τ-

1σ2（r-σ22）x}=I1-I2.

這里I1=exN（d（x）στ） ，I2=Xe-rτN（d（x）στ）.其中，

η=x-ξ+（r-σ22）τ，

d（x）=x-lnX+（r-σ22）τ，

N（x）=12π∫x-∞e-λ22dλ，

λ=η+σ2τστ.

帶回原變量，可得歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為

Ct（S，t）=StN（d1）-Xe-r（T-t）N（d2）.

其中

d1=1σT-tlnS/X+（r+σ22）（T-t） ，

d2=d1-σT-t.

3.2概率論方法求解公式

為了得出[0，T]內(nèi)期權(quán)的價(jià)值，就要在Ω：{0≤S<∞，0≤t≤T}上求定解問(wèn)題（3）[14]：

關(guān)于f（x，T）=g（x），對(duì)應(yīng)FeynmanKac求解問(wèn)題為：

ft+μ（x，t）fx+12γ（x，t）γ（x，t）2fx2-R（x，t）f（x，t）+h（x，t）=0，（x，t）∈（0，+∞）×[0，T）.

利用It公式求解ξτ：

∫Ttdlnξτ=∫Tt（r-σ22）dτ+σ（BT-Bτ）.

有ξ→S，即

ST=Stexp {（r-σ22）（T-t）+σ（BT-Bτ）}.

那么對(duì)應(yīng)于FeynmanKac的解：

C（S，T）=Eφt，Tg（ST）=

e-r（T-t）E（ST-X）+

=e-r（T-t）∫

SymboleB@ y0（Ste（r-σ2/2）（T-t）+σy-X）fy（y）dy

=I1-I2，

其中y0=1σlnXSt-（r-σ22）（T-t），

I1=St2π（T-t）∫∞y0exp{-12yT-t-（T-t）σ2}dy，

f（y）=exp{-y22（T-t）2π（T-t）}.

進(jìn)而可得歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式，同上.

4數(shù)值分析

4.1規(guī)避策略影響

在無(wú)紅利條件下，對(duì)得到的新模型（4）與B-S模型期權(quán)定價(jià)公式數(shù)值分析，由此來(lái)解釋規(guī)避策略對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響和作用.

以下股價(jià)數(shù)據(jù)來(lái)自于參考文獻(xiàn)[15]中第17章.

某一金融機(jī)構(gòu)賣出100000份無(wú)股息股票的歐式看漲期權(quán)，假定到期日T = 20/52，交割價(jià)格X = 50美元，股票的期望回報(bào)率μ = 0.05，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r = 0.13，波動(dòng)率σ = 0.2.

通過(guò)Matlab編程，模擬對(duì)沖策略的再平衡過(guò)程，得到表1，其中對(duì)沖交易時(shí)間間隔δt =1/52年.從表1可以發(fā)現(xiàn)規(guī)避策略X1（t）的對(duì)沖誤差小于delta規(guī)避策略對(duì)沖誤差，因此，在混合規(guī)避策略下的期權(quán)定價(jià)更貼合實(shí)際情況.

對(duì)沖的目的是為了保證交易組合價(jià)值的穩(wěn)定，可以得到結(jié)論：

（1）隨著交易頻率的加大，X1（t）和delta對(duì)沖效果都穩(wěn)步上升.

（2）隨著執(zhí)行價(jià)格的提高，X1（t）和delta對(duì)沖效果都穩(wěn)步降低.

（3）兩種策略下的對(duì)沖表現(xiàn)比較逼近，其中在虛值期權(quán)且交易時(shí)間間隔比較小的狀態(tài)下，新模型較優(yōu)于BS模型.

4.2模型的定價(jià)誤差分析

選取上證50ETF股票期權(quán)來(lái)分析兩種模型下的定價(jià)結(jié)果的誤差.其中選取了9月份到期的執(zhí)行價(jià)格分別為2.30，2.35，2.40，2.45，2.50元的五份看漲期權(quán)，期權(quán)發(fā)行日為2017.2.23，2017.3.31標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為2.356，期初價(jià)格為2.366.

合約代碼分別為10000843，10000844，10000845，10000846，10000847.

在股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)下，可求得其對(duì)數(shù)收益率μ=0.164，波動(dòng)率σ=0.331.下面是不同紅利率q下的結(jié)果如圖1所示.

執(zhí)行價(jià)格（a） 兩模型的定價(jià)誤差比較（q = 0）

執(zhí)行價(jià)格（b） 兩模型的定價(jià)誤差比較（q = 0.05）

由圖（a）和圖（b），在紅利率為零時(shí)，新模型的結(jié)果略優(yōu)于BS模型；當(dāng)添加紅利（q = 0.05）時(shí)，結(jié)果更加顯著，可以看出新模型在改變紅利率值的情況下可以逐漸逼近實(shí)際期權(quán)價(jià)格.

5結(jié)論

考慮離散時(shí)間和支付紅利條件下基于混合規(guī)避策略的期權(quán)定價(jià)模型，并給出解析解以及詳細(xì)求解過(guò)程.數(shù)值分析表明，新模型規(guī)避策略相對(duì)于傳統(tǒng)模型誤差更加小，特別是在虛值期權(quán)且交易時(shí)間間隔比較小的狀態(tài)下，可以得出風(fēng)險(xiǎn)偏好μ、交易頻率δt和紅利率對(duì)期權(quán)價(jià)格有著重要影響，新模型定價(jià)公式具有一定的參考意義.

參考文獻(xiàn)

[1]BLACK F， SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Political Economy， 1973， 81（3）：637-659.

[2]MERTOM R. Theory of rational option pricing [J]. The Bell Journal of Economics and Management Science， 1973， 4（1）： 141-183.

[3]COX J， ROSS S， RUBINSTEIN M. Option pricing： a simplified approach[J]. Journal of Financial Economics， 1979， 7（3）： 229-263.

[4]LELAND H. Option pricing and replication with transaction costs[J]. The Journal of Finance， 1985，40 （5） ：1283-1301.

[5]POTTERS M， BOUCHAUD J， SESTOVIC D. Hedged Monte-Carlo： low variance derivative pricing with objective probabilities[J]， Physica A， 2001，289 （3） ：517-525.

[6]MASTIN M. Discrete-time delta hedging and the Black-Scholes model with transaction costs[J]， Mathematical Methods of Operations Research， 2006， 64 （2） ：227-236.

[7]Wang XT， Li Z， Zhuang L. European option pricing under the Student's t noise with jumps[J]. Physica A ， 2017， 469（1）：848-858.

[8]MARKOWITZ H. Portfolio selection [J]. The journal of finance， 1952， 7（1）：77-91.

[9]張寄洲. 金融數(shù)學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社， 2015.

[10]GIOVANNI D， ORTOBELLI S， RACHEV S. Delta hedging strategies comparison[J]. European Journal of Operational Research， 2008， 185（3）：1615-1631.

[11]WANG X T， ZHAO Z F， FANG X F. Option pricing and portfolio hedging under the mixed hedging strategy[J]. Physica A， 2015， 424（15）：194-206.

[12]姜禮尚. 期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型和方法（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2008.

[13]姜玉山. 數(shù)學(xué)物理方程[M]. 北京：清華大學(xué)出版社出版，2014.

[14]王壽仁. 概率論基礎(chǔ)和隨機(jī)過(guò)程[M]. 北京：科學(xué)出版社，1986.

[15]Hull J. 期權(quán)與期貨市場(chǎng)基本原理[M]. 王勇， 譯. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2008.