喬運(yùn)成 李懷玉 黃創(chuàng)霞

摘要研究了具有非線性收獲及食餌避難的Leslie-Gower 模型，討論了該模型解的正性、有界性及正平衡點(diǎn)的存在性. 通過分析特征方程并運(yùn)用Routh-Hurwitz判別法，得出正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分性條件. 借助Lyapunov函數(shù)以及LaSalle不變?cè)?，研究了正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性. 利用Pontryagin最大值原理，得到了最優(yōu)稅收τoptimal以及最優(yōu)平衡解（xoptimal， yoptimal， Eoptimal）. 數(shù)值模擬與理論結(jié)果一致.

關(guān)鍵詞財(cái)政學(xué)；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；最優(yōu)稅收

中圖分類號(hào)O175.14文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

Taxation Analysis of LeslieGower Model

with Nonlinear Harvesting and Prey Refuge

Yuncheng Qiao，Huaiyu Li，Chuangxia Huang

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science

and Technology， Changsha， Hunan410114， China）

AbstractIncorporating the nonlinear harvesting and prey refuge， a Leslie-Gower model is investigated. The positivity， boundedness of solutions and the existence of the positive equilibrium are discussed. By analyzing the characteristic equation and using Routh-Hurwitz method， some sufficient conditions for the locally asymptotically stable of the positive equilibrium are derived. With the help of Lyapunov function and LaSalles invariance principle， the global stable of the positive equilibrium is studied. Applying Pontryagin maximum principle， the optimal taxationτoptimaland the optimal equilibrium solution（xoptimal，yoptimal，Eoptimal）are obtained. Numerical simulations are great well agreement with the theoretical results.

Key wordsfinance；equilibrium point； stability； optimal taxation

1引言

隨著人們物質(zhì)文化需求的日益增長，人類對(duì)自然資源的開發(fā)和利用不斷地?cái)U(kuò)大，然而，對(duì)于漁業(yè)等可再生資源來說，并非是取之不盡的. 因此，如何在保證種群系統(tǒng)持續(xù)發(fā)展的前提下，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)效益的最大化，一直是眾多學(xué)者熱切關(guān)注的問題.最早，Clark（1976）對(duì)可再生資源的優(yōu)化管理給出了最基本定義及研究，在此基礎(chǔ)上Ganguly和Chaudhuri（1995）[1]研究了單種群的漁業(yè)稅收問題.考慮到實(shí)際生態(tài)系統(tǒng)中，環(huán)境容納量往往與其生存環(huán)境及食餌種群的密度有關(guān)，Leslie（1948）[2]在捕食者種群的環(huán)境容納量與食餌種群的密度成比例的假設(shè)下，對(duì)傳統(tǒng)LotkaVolterra模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了LeslieGower捕食食餌模型.基于食餌在與捕食者共同進(jìn)化的過程中所形成的躲避天敵的特性（例，利用自身的保護(hù)色來躲避天敵的襲擊）（Wang等，2017）[3]，Chen 等（2009）[4]引進(jìn)了食餌避難率m（0

雖然對(duì)捕食者種群進(jìn)行選擇性收獲的稅收問題的研究已相對(duì)完善，但是對(duì)于具有食餌避難且對(duì)食餌種群進(jìn)行非線性、選擇性收獲的Leslie-Gower稅收模型的研究并不多，大多數(shù)還停留在對(duì)食餌種群的常數(shù)收獲（SUN等，2011；Lv等，2013）[7-8]或是沒有考慮食餌避難這一問題（賈春瑩等，2010；Li等，2017）[9-10].基于以上幾點(diǎn)的考慮，建立了具有食餌避難且對(duì)食餌種群進(jìn)行非線性（非線性收獲項(xiàng)為：h（t）=qE（t）x（t）μE（t）+vx（t））、選擇性收獲（僅對(duì)食餌種群進(jìn)行選擇性收獲）的LeslieGower稅收模型：

dx（t）dt=r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t），dy（t）dt=r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t），dE（t）dt=σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t），（1）

考慮到系統(tǒng)（1）的生物學(xué)意義，則系統(tǒng)（1）的初始條件為：x（0）=x0>0，y（0）=y0>0，E（0）=E0>0. x（t）和y（t）分別為t時(shí)刻食餌種群及捕食者種群的密度，E（t）表示t時(shí)刻對(duì)食餌種群的收獲努力量，r1和r2分別為食餌種群及捕食者種群的內(nèi)稟增長率，k為食餌種群的環(huán)境容納量，α為捕食者種群對(duì)食餌種群的捕獲率，m（0τ，c為收獲單位資源x的成本，γ代表資本的折舊率.

考慮到系統(tǒng)（1）的現(xiàn)實(shí)意義，首先分析系統(tǒng)（1）解的正性及有界性.

2解的正性與有界性

引理1在初始條件下，系統(tǒng)（1）的解是正的.

證對(duì)系統(tǒng)（1）的第一個(gè)方程，分離變量求積分可得

x（t）=x0e∫

SymboleB@ 0r1（1-x（s）k）-α（1-m）y（s）-qE（s）μE（s）+vx（s）ds，

在初始條件x（0）=x0>0下，x（t）>0對(duì)所有的t>0均成立.

對(duì)系統(tǒng)（1）的第二個(gè)方程，分離變量求積分可得

y（t）=y0e∫

SymboleB@ 0r2-βy（s）（1-m）x（s）ds，

在初始條件y（0）=y0>0下，y（t）>0對(duì)所有的t>0均成立.

對(duì)系統(tǒng)（1）的第三個(gè)方程，分離變量求積分可得

E（t）=E0e∫

SymboleB@ 0σ（（p-τ）qx（s）μE（s）+vx（s）-c）-γds.

在初始條件E（0）=E0>0下，E（t）>0對(duì)所有的t>0均成立. 證畢.

引理2在初始條件下，系統(tǒng)（1）的解是最終有界的.

證定義

ρ（t）=x（t）+y（t）+1σ（t-τ）E（t），（2）

結(jié)合系統(tǒng)（1），對(duì)ρ（t）求導(dǎo)可得，

dρ（t）dt=dx（t）dt+dy（t）dt+1σ（t-τ）dE（t）dt=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）-σc+γσ（t-τ）E（t），

從而，

dρ（t）dt+（σc+γ）ρ（t）=

r1x（t）-r1x2（t）k-α（1-m）x（t）y（t）+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-βy2（t）（1-m）x（t）+

（σc+γ）y（t）≤r1x（t）-r1x2（t）k+

（σc+γ）x（t）+r2y（t）-

βy2（t）（1-m）x（t）+（σc+γ）y（t）≤

kM264β2r1，

其中

M=4β（r1+σc+γ）+（r2+σc+γ）2（1-m），

因此，limt→∞ sup ρ（t）≤kM264β2r1（σc+γ）. 證畢.

3正平衡點(diǎn)的存在性與局部穩(wěn)定性

為維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡，保證食餌種群及捕食者種群能夠持續(xù)共存，下面僅對(duì)系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)進(jìn)行分析.

定理1若（C1）和（C2）成立，則系統(tǒng)（1）存在正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）.

其中

（C1）r1μ-q>0，

（C2）τ

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

證對(duì)系統(tǒng)（1），正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）存在，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下方程組：

r1（1-xk）-α（1-m）y-qEμE+vx=0，r2-βy（1-m）x=0，σ（p-τ）qxμE+vx-σc-γ=0，（3）

對(duì)上述方程組求解可得，

x*=kβ[（r1μ-q）（p-τ）σq+（γ+σc）qv]μ[r1β+αr2k（1-m）2]（p-τ）σq，

y*=r2（1-m）βx*，

E*=（p-τ）σq-（γ+σc）v（γ+σc）μx*.

證畢.

定理2若kqv<μ（μE*+vx*）r1，則正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）是局部漸近穩(wěn)定的.

證 系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）處的特征方程為：

λ+r1x*k-qE*x*（μE*+vx*）2α（1-m）x*qE*x*2（μE*+vx*）2

-βy*2（1-m）x*2λ+βy*（1-m）x*0

-σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）20λ+σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2=0，

對(duì)上述特征方程化簡得：

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0. （4）

其中，

a1=-（A+B+C），

a2=AB+（A+B）C+D+F，

a3=-（ABC+BD+FC），

A=-r1x*k+qE*x*（μE*+vx*）2，

B=-βy*（1-m）x*，

C=-σ（p-τ）qμx*E*（μE*+vx*）2，

D=qvx*2（μE*+vx*）2σ（p-τ）qμE*2（μE*+vx*）2，

E=αβy*2x*

顯然 B<0，C<0，D>0，F(xiàn)>0，

Δ2=a1a2-a3=

-（A+B+C）[AB+（A+B）C+D+F]-

（ABC+BD+FC）.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)A<0時(shí)，即kqv<μ（μE*+vx*）r1時(shí)，有Δ2>0. 由RouthHurwitz判別法可知特征方程（4）的根的實(shí)部均為負(fù)，從而，正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）是局部漸近穩(wěn)定的. 證畢.

4正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

定理3若（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1成立時(shí)，則正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）是全局穩(wěn)定的.

證在正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）處，構(gòu)造如下正定的V（x，y，E）函數(shù)：

V（x，y，E）=ln xx*+xx*+

θ1[（y-y*）-y*ln yy*]+

θ2[（E-E*）-E*ln EE*]， （5）

其中，θ1，θ2為任意的正常數(shù).

由式（5）可知V（x，y，E）是關(guān)于x，y，E的連續(xù)函數(shù)，通過計(jì)算可得：

Vx=1x（1-x*x），

Vy=θ1（1-y*y），

VE=θ2（1-E*E）， （6）

lim x→0V（x，y，E）=lim x→∞V（x，y，E）=+∞，

lim y→0V（x，y，E）=lim y→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，

lim E→0V（x，y，E）=lim E→∞V（x，y，E）=+

SymboleB@ ，（7）

由式（6）和式（7）可知V（x，y，E）在正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）處取最小，即

V（x，y，E）>V（x*，y*，E*）=1.

沿著系統(tǒng)（1）對(duì)V（x，y，E）函數(shù)求導(dǎo)得，

dVdt=x-x*x2dxdt+θ1y-y*ydydt+

θ2E-E*EdEdt=

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2+

[θ1βy*（1-m）xx*-α（1-m）x]（x-x*）×

（y-y*） +[θ2σ（p-τ）E*μ-x*xv]×

q（x-x*）（y-y*）（E-E*）（μE*+vx*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

取正常數(shù)

θ1=α（1-m）2x*βy*， θ2=x*vσ（p-τ）μE*x，

化簡得：

dVdt≤

-[r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）]×

（x-x*）2 -θ1β（1-m）x*（y-y*）2-

θ2σ（p-τ）qx*μ（μE+vx）（μE*+vx*）（E-E*）2，

由定理2條件kqv<μ（μE*+vx*）r1，即r1kx-qE*vx（μE+vx）（μE*+vx*）>0，可知dVdt<0. 由LaSalle不變?cè)砜傻?，正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）是全局穩(wěn)定的. 證畢.

5最優(yōu)稅收政策

本節(jié)主要研究在初始條件x（0），y（0）及E（0）下，利用Pontryagin最大值原理確定最優(yōu)稅收τ，得到最優(yōu)平衡解，使人類在對(duì)食餌種群收獲過程中社會(huì)的總收益（貼現(xiàn)總收入）

J（x）=∫∞0e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）dt （8）

在滿足方程（1）和控制變量為τmin <τ<τmax 時(shí)取得最大值. 其中，δ為貼現(xiàn)率.

此控制問題的Hamiltonian函數(shù)為：

H（t）=e-δt[pqx（t）μE（t）+vx（t）-c]E（t）+λ1（t）

r1x（t）1-x（t）k-α（1-m）x（t）y（t）-

qE（t）x（t）μE（t）+vx（t） +λ2（t）r2-βy（t）（1-m）x（t）y（t）+

λ3（t）σ（p-τ）qx（t）μE（t）+vx（t）-c-γE（t）， （9）

其中，λ1（t），λ2（t），λ3（t）是伴隨變量.

由于H（t）的最大值在區(qū)間τmin ，τmax 上取得，所以

H（t）τ=-λ3（t）σqx（t）μE（t）+vx（t）E（t）=0.

因此，λ3（t）=0.

由Pontryagin最大值原理有

dλ1（t）dt=-H（t）x（t）=

-pqμE2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+λ1（t）[r1-2r1x（t）k-

α（1-m）x（t）y（t）-pqμE2（t）（μE（t）+vx（t））2] -

λ2（t）βy2（t）（1-m）x2（t），（10）

dλ2（t）dt=-H（t）y（t）=λ1（t）α（1-m）x（t）-

λ2（t）r2-2βy（t）（1-m）x（t），（11）

dλ3（t）dt=-H（t）E（t）=-pqvx2（t）e-δt（μE（t）+vx（t））2+

ce-δt+λ1（t）qvx2（t）（μE（t）+vx（t））2，（12）

為了得到最優(yōu)解，在正平衡點(diǎn)處結(jié)合式（3）對(duì)式（10）、式（11）化簡可得

dλ1（t）dt=-pqμE2e-δt（μE+vx）2+λ1（t）（-qEμE+vx+

qμE2（μE+vx）2）+λ1（t）r1xk+λ2（t）βy2（1-m）x2，（13）

dλ2（t）dt=λ1（t）α（1-m）x+λ2（t）βy（1-m）x.（14）

另一方面，在正平衡點(diǎn)處由式（12）可得

λ1（t）=pe-δt-（μE+vx）2ce-δtqvx2. （15）

將式（15）代入式（14）可得，

dλ2（t）dt=φ2λ2（t）+φ1e-δt， （16）

其中

φ1=[p-（μE+vx）2cqvx2]α（1-m）x，

φ2=βy（1-m）x.

對(duì)式（16）分離變量求積分可得

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt+K1eφ2t，（17）

當(dāng)t→0，K1=0時(shí)，影子價(jià)格λ2（t）eδt是有界的，

λ2（t）=-φ1φ2+δe-δt. （18）

同理，由式（18）及式（13）可得

λ1（t）=-ψ1ψ2+δe-δt， （19）

其中

ψ1=pqμE2（μE+vx）2-φ1φ2+δβy2（1-m）x2，

ψ2=-qEμE+vx+qμE2（μE+vx）2+r1kx.

由式（19）及式（15）可得

p-（μE+vx）2cqvx2=-ψ1ψ2+δ， （20）

將正平衡點(diǎn)P（x*，y*，E*）代入式（20）得到關(guān)于τ的方程，令τoptimal為方程的解，從而得到最優(yōu)平衡解x=xoptimal， y=yoptimal， E=Eoptimal以及最優(yōu)稅收τoptimal=p-（σc+γ）（μEoptimal+vxoptimal）σqxoptimal.

注1系統(tǒng)（1）更具有一般性，它包含了多種特殊的情況. 事實(shí)上，如果不存在人類收獲，即對(duì)食餌種群的收獲努力量E（t）=0時(shí)，則系統(tǒng)（1）即為具有食餌避難的LeslieGower捕食食餌模型[2-4]；如果對(duì)食餌種群的收獲為線性收獲，即h（t）=Eqy時(shí)，則系統(tǒng)（1）即為具有食餌避難且?guī)в芯€性收獲項(xiàng)的LeslieGower捕食食餌模型[3，5，7，8]；如果γ=0，即資本折舊率為零[6，9，10].

注2 當(dāng)系統(tǒng)（1）滿足條件（C1）、（C2）及kqv<μ（μE*+vx*）r1時(shí)，捕食者、食餌種群最終將達(dá)到平衡且共存，容易發(fā)現(xiàn)：此時(shí)必須保證食餌避難率m滿足0

6數(shù)值模擬

考慮具有非線性收獲及食餌避難的LeslieGower稅收模型如下：

dx（t）dt=0.5x（t）1-x（t）100-0.42x（t）y（t）-

0.5E（t）x（t）2E（t）+x（t），dy（t）dt=0.001-0.06y（t）0.7x（t）y（t），dE（t）dt=0.40.5（15-τ）x（t）2E（t）+vx（t）-5-0.01E（t），（21）

當(dāng)τ=1時(shí)，p-τ=14>0，1-m=0.7>0. 另外，由計(jì)算可得

（C1）r1μ-q=0.5>0，

（C2） 1=τ

kqv=50<μ（μE*+vx*）r1≈60.42，

滿足定理3的條件，因此可知系統(tǒng)（21）的正平衡點(diǎn)存在且全局穩(wěn)定，數(shù)值模擬與該結(jié)論相一致，如圖1所示.

通過注2的分析可知，稅收策略在人類對(duì)資源的合理開發(fā)及利用，維持生態(tài)系統(tǒng)的平衡與穩(wěn)定方面具有一定的調(diào)節(jié)作用，對(duì)于系統(tǒng)（21）而言，當(dāng)稅收τ發(fā)生變化時(shí)（這里研究τ=1，2，4），食餌種群x，捕食種群y以及E隨時(shí)間的變化，如圖2所示.

通過圖2可以清晰地發(fā)現(xiàn)：稅收τ=4時(shí)，食餌種群的平衡密度最大，稅收τ=2時(shí)次之，稅收τ=1時(shí)，食餌種群的平衡密度最小，即，在稅收控制范圍內(nèi)，稅收τ增加，食餌種群的平衡密度最終將會(huì)增加.

通過圖3不難發(fā)現(xiàn)：稅收τ=4時(shí)，捕食者種群的平衡密度最大，稅收τ=2時(shí)次之，稅收τ=1時(shí)，捕食者種群的平衡密度最小，即，在稅收控制范圍內(nèi)，稅收τ增加，捕食者種群的平衡密度最終將會(huì)增加.

通過圖4可以發(fā)現(xiàn)：稅收τ=4時(shí)，對(duì)食餌種群的收獲努力量的平衡密度最小，稅收τ=2時(shí)次之，稅收τ=1時(shí)，對(duì)食餌種群的收獲努力量的平衡密度最大，即，在稅收控制范圍內(nèi)，稅收τ增加，對(duì)食餌種群的收獲努力量的平衡密度最終將會(huì)減小.

結(jié)合圖2，圖3以及圖4，同樣可以得到注2的結(jié)論：在稅收的增加的情況下，對(duì)食餌種群的收獲將減少（即收獲努力量E減小），因此食餌種群x的平衡密度將會(huì)增加，捕食者種群y的平衡密度也終將會(huì)隨之增加.

7結(jié)論

考慮到食餌種群在進(jìn)化過程中所形成的躲避捕食者種群捕食的特性，人類的非線性選擇收獲行為，以及稅收政策對(duì)生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性和人類經(jīng)濟(jì)利益的影響，建立了具有食餌避難、對(duì)食餌種群進(jìn)行非線性選擇收獲的LeslieGower稅收模型. 通過分析得到了在稅收量τ

通過對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究發(fā)現(xiàn)：稅收的適當(dāng)增加、捕獲成本的提高、食餌種群出售價(jià)格的降低以及收獲努力量的下降，都可以降低人類對(duì)食餌種群的收獲，從而使食餌種群、捕食者種群的平衡密度增加，從而達(dá)到合理地利用資源，維持生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定與平衡，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)利益的最大化的目的.

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