葉芳琴 劉文倩 林先偉

摘要假設預期收益率μ，紅利率q，波動率σ，無風險利率r均為常數(shù)，通過平均自融資和Δ-對沖策略建立了離散時間下帶交易費用和紅利的兩值期權定價模型.利用變量代換和偏微分方程的相關知識進行求解此模型，分別得到了在MFBM模型下帶交易費用和紅利的現(xiàn)金或無值看漲期權（CONC） 和資產或無值看漲期權（AONC）定價公式.并在此基礎上，推出了現(xiàn)金或無值看跌期權（CONP）和資產或無值看跌期權（AONP）定價公式.

關鍵詞金融學；兩值期權定價；MFBM模型；交易成本

中圖分類號F 830；O 211文獻標識碼A

Pricing Binary Option with Transaction Costs

and Dividends under the MFBM Model

Fangqin Yea，Wenqian Liub，Xianwei Linb

（a School of Business， b Department of Mathematics，

Shantou University， Shantou，Guangdong515063， China）

AbstractSupposing the dividends rate q， the expected return rate μ， and the volatility σ， the riskfree interest rate r are constant； the Binary option pricing model with transaction costs and dividends is established by a mean selffinancing delta-hedging strategy in a discrete time setting. Solving this pricing model by using variable substitution and partial differential equations， and then the pricing formula for CONC and AONC has been obtained. On the basis of it， the pricing formula for cashornothing put （CONP） and assetornothing put （AONP） is also obtained.

Key wordsfinance； binary option pricing； MFBM model； transaction costs

1引言

期權定價的研究在金融工程領域是一個重要的問題.自從Black和Scholes（1973）[1]提出了著名的 BS模型以來，相關學者在此基礎上得到了一系列豐富的成果.然而經典的 BlackScholes模型過于理想化，與實際的金融市場存在很大程度的差距. Cheridito（2001）[2]建議用混合分數(shù)布朗運動去刻畫金融資產價格的波動情況，并且證明了當Hurst指數(shù)H∈（3/4，1）的情況下，金融市場是不存在套利機會的.Yu和Yan（2008）[3]在混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下討論了歐式看漲期權的定價問題.Sun（2013）[4]得到了在混合分數(shù)布朗運動下貨幣期權的定價公式，并對相關參數(shù)和Hurst指數(shù)做了一定的討論.交易費用對于期權的定價是一個很重要的影響因素，國內外相關的學者做了一系列的研究.Leland（1985）[5]創(chuàng)造性的提出了將波動率進行修正，解決了在 BS模型下含有交易費用的期權定價問題.Amster（2005）等[6]具體的給出了帶交易費用的 BS定價模型.Liu等人（2013）[7]拓展了在分數(shù)布朗運動下帶交易費用的期權定價問題，提供了一個非線性HoggardWhalleyWilmott方程的近似解.Wang（2010）[8]通過平均自融資和Δ對沖策略解決了在分數(shù) BS模型下帶交易費用的離散時間期權的定價問題.Zhang和Pan（2014）[9]給出了分數(shù)布朗運動模型下帶交易費用和紅利的亞式期權定價公式.陳飛躍等人（2014）[10]給出了混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下支付連續(xù)紅利的歐式股票期權定價公式.

兩值期權（binary option）是一種新型的，由標準期權衍生出的一種金融合約，它屬于合同條款變化型的新型期權.它在OTC市場頗為流行，是構造更為復雜期權產品的基礎工具.Thavaneswaran 等（2013）[11]用模糊理論研究了兩值期權的定價問題.孫天宇（2008）[12]考慮了在標準布朗運動環(huán)境下有交易費用和支付紅利的情況下兩值期權的定價問題.然而，在實際的金融市場中，標的資產價格過程未必服從標準的布朗運動.

在上述研究的基礎上， 將標準布朗運動下帶交易費用和紅利的兩值期權定價問題推廣到Hurst指數(shù)為H∈（3/4，1）的混合分數(shù)布朗運動更一般的情況.假設標的資產服從混合分數(shù)布朗運動，預期收益率μ，紅利率q，波動率σ，無風險利率r均為常數(shù)，通過平均自融資和Δ對沖策略建立了離散時間下帶交易費用和紅利的兩值期權定價模型.利用變量代換和偏微分方程的相關知識進行求解此模型，分別得到了在MFBM模型下帶交易費用和紅利的現(xiàn)金或無值看漲期權（CONC） 和資產或無值看漲期權（AONC）定價公式.并在此基礎上，推出了現(xiàn)金或無值看跌期權（CONP）和資產或無值看跌期權（AONP）定價公式.

2兩值期權定價模型

兩值期權（binary option）是合同條款變化而產生的新型期權，具有不連續(xù)收益的特點[14]. 一般分為兩種類型：

（1） 現(xiàn)金或無值看漲期權（cashornothing call）（簡寫為CONC）： 在到期日，若股票價格低于執(zhí)行價格，則期權價值為零；若大于執(zhí)行價格，則按規(guī)定支付現(xiàn)金1元.

（2） 資產或無值看漲期權（assetornothing call）（簡寫為AONC）： 在到期日， 若股票價格低于執(zhí)行價格， 則期權價值為零； 若大于執(zhí)行價格， 則按規(guī)定支付股價.

定義1[4]假設（Ω，F(xiàn)，P） 是一個完備的概率空間，混合分數(shù)布朗運動MHt（α，β） 是布朗運動Bt和混合分數(shù)布朗運動BHt的一個線性組合，即

MHt（α，β）=αBt+βBHt，

其中α和β都是不為0的常數(shù).混和分數(shù)布朗運動有如下性質：

（a） MHt（α，β）是一個中心的高斯過程， 且MH0（α，β）=0；

（b） MSt和MHt的協(xié)方差函數(shù)為

Cov（MHt，MSt）=α2min （t，S）+β22（t2H+S2H-t-S2H）；

（c）MHt（α，β）是一個平穩(wěn)增量的過程， 且對任意H>0是混合自相似的；

（d） 當0

當0.5

引理1[10]假設BHt是一個帶有Hurst指數(shù)H∈（0，1）的分數(shù)布朗運動，那么，對任意A>0，有

lim h→0sup 0

SymbolcB@ t

SymbolcB@ A-hBH（t+h）-BHthH2log （h/A）-1=1.a.s

現(xiàn)設（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P） 是一個σ流的完備的概率空間. （Ft）t∈0，T是由（Bt，BHt）生成的σ流， P表示真實世界概率測度.為了簡化計算，我們設α=β=1.考慮混合分數(shù)BlackScholes 市場有兩種資產，設無風險債券價格Mt滿足：

Mt=M0ert，

其中r表示無風險利率. 標的資產（假設為股票）價格St滿足：

St=S0e（μ-q）t+σBt+σBHt，（1）

這里μ，q，σ分別表示預期收益率，紅利率，波動率，它們都是常數(shù)，Bt是標準布朗運動，

BHt=BHt，t≥0是一個帶有Hurst指數(shù)H∈（0.75，1）的分數(shù)布朗運動， Bt和BHt是相互獨立的.

考慮標的資產需要支付紅利，紅利率為q，到期日為時間T，敲定價格為K，作以下假設：

（i） 假設標的資產（股票）價格St在時刻t滿足（1）；

（ii） 對沖組合的預期收益率等于期權的預期收益率；

（iii） 每隔時間δt對投資組合進行一次修正，其中δt是有限的，固定的，小的時間間隔；

（iv） 有成比例交易成本，設k表示每單位標的資產價格的雙向交易成本.假設以價格St買入（νt>0）或賣出（νt<0）vt份標的資產，那么買入或賣出的交易成本為k2νtSt，其中k為常數(shù)；

（v） 投資者之間不相互獨立，他們之間可能存在羊群行為.

令V=V（St，t）表CONC（或AONC）在時刻t的價格，其邊界條件為V=V（ST，T）=（ST-K）+.現(xiàn)在考慮一個帶有Δ1（t）單位標的資產和Δ2（t）單位無風險債券的投資組合.在時刻t投資組合Πt的值為：Πt=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt 隨后考慮在經過時間間隔δt之后，股票價格St和投資組合Πt值的變化.由文獻[8]，很容易推出在經過時間間隔δt之后，標的資產價格St變化的值為

δSt=（μ-q）Stδt+σSt[δBt+δBHt]+

St2σ2[δBt+δBHt]2+o（（δt）32log 1δt）. （2）

因此，

（δSt）2=σ2S2t（δBt+δBHt）2+

o（（δt）32log 1δt）.（3）

在經過時間間隔δt之后，投資組合Πt值的變化如下：

δΠt=Δ1（t）δSt+Δ2（t）δMt-

k2δΔ1（t）St-qΔ1（t）Stδt.（4）

這里δMt是無風險債券價格的變化，δΔ1（t）是資產組合中所持資產的數(shù)量的變化.

另一方面，由Taylor定理和引理1可知，

δMt=rMtδt+o（（δt）2）， （5）

δv（t，St）=V（t，St）tδt+V（t，St）StδSt+

122V（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）

（6）

和

δΔ1（t，St）=Δ1（t，St）tδt+Δ1（t，St）StδSt+

122Δ1（t，St）S2t（δSt）2+o（（δt32）log1δt）.（7）

由式（2），式（3）和式（7）可得

δΔ1（t）=St|Δ1（t）Stδt||σδBt+

σδBHt|+o（δt）.（8）

由式（4），式（5）和式（8）可得

δΠt=Δ1（t）δSt+rΔ2（t）Mtδt-

k2S2tΔ1（t）StδtσδBt+

σδBHt-qΔ1（t）Stδt+o（δt）. （9）

用投資組合Πt復制V=V（St，t），為減少套利機會且與經濟均衡一致，期權的價值必須等于復制組合的值Πt，因此

V（t，St）=Δ1（t）St+Δ2（t）Mt

由假設（ii）和（v），式（6）和式（9），得到

E[δΠt-δV]=E[（Vt-rΔ2（t）Mt+

qΔ1（t）St）δt+（VSt-Δ1（t））δSt+

122VS2t（δSt）2+k2S2t|σδBt+σδBHt‖2VS2t|+

o（δt）]=（Vt-rΔ2（t）Mt+qΔ1（t）St）δt+

122VS2tE（δSt）2+k2S2tE[|σδBt+

σδBHt‖2VS2t|+o（δt）]=0.

取Δ1（t）=VSt，忽略高階項可得

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+k2S2t2π（σ2δt+σ2（δt）2H-2）|2VS2t|-rV=0.（10）

令Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2），則有

Vt+（r-q）StVSt+S2t2（σ2+σ2（δt）2H-1）2VS2t+σ22S2t|2VS2t|Le（H）-rV=0.（11）

將式（11）重寫如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，（12）

其中

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）sign（Γ）]. （13）

注1Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）稱為混合分數(shù)Leland數(shù).

注2 對于做空的單個歐式兩值期權，也可以得到式（12），若修正波動率如下

2=[σ2+σ2（δt）2H-1-σ2Le（H）sign（Γ）].（14）

注3 對于做多的單個歐式兩值期權，到期日的收益為（ST-K）+或 （K-ST）+. 由于它們是凸函數(shù)，所以Γ>0.然而，對于做空的單個歐式兩值期權，到期日的收益為-（ST-K）+和-（K-ST）+.它們是凹函數(shù)，所以Γ=2VS2t<0 ，因此，對于單個的歐式兩值期權，式（13）和式（14）能夠做如下表示：

2=[σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H）].

（15）

從而得到MFBM模型下帶交易費用和紅利的兩值期權定價模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，

Vt=T=H*（St-K）CONC；

StH*（St-K）AONC.（16）

這里H（ξ）是Heviside函數(shù)，如果ξ≥0，那么H（ξ）=1.否則，H（ξ）=0.

3兩值期權定價公式

3.1現(xiàn)金或無值看漲期權

定理 1若假設（i）-（v）成立， 則在時刻t 現(xiàn)金或無值看漲期權的定價公式為：

VAC（St，t）=N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp -r（T-t）.

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

證明：由方程組（16）可以得到現(xiàn)金或無值看漲期權定價模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=H*（St-K）. （17）

令ξ=ln （StK），有

H*（ST-K）=H*（STK-1）=H*（eξ-1）=H*（ξ）.

因此，轉化為Cauchy問題

Vt+1222Vξ2+（r-q-122）Vξ-rV=0，V（ξ，T）=H*（ξ）. （18）

為求解Cauchy問題，作函數(shù)變換W=Veβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

Vξ=e-β（t）Wη

2Vξ2=e-β（t）2Wη2（19）

Vt=e-β（t）（Wτγ′（t）-β′（t）W+Wηα′（t））.

將式（19）代入方程組（18），得到

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q-122）+α'（t）Wη-（r+β′（t））W=0（20）

在方程（20）中令r-q-122t+α′（t）=0，r+β′（t）=0，γ′（t）+122t=0.結合終值條件α（T）=β（T）=γ（T）=0，可得α（t）=（r-q-122）（T-t），β（t）=r（T-t），γ（t）=12σ2（T-t）.

因此，方程組（18） 轉化為如下行形式：

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （21）

方程組（21）的解可以用Poisson公式如下表示：

W（η，τ）=12πτ∫

SymboleB@ -

SymboleB@ exp -（η-y）24τH*（y）dy=

12πτ∫

SymboleB@ 0exp -（η-y）24τdy=

N（η2τ）.

經過變量代換，可得

VCC（St，t）=

N（ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））exp （-r（T-t））.

推論1若假設（i）-（v）成立，則在時刻t現(xiàn)金或無值看跌期權的定價公式為：

VCP（St，t）=

N（-ln StK+（r-q-122）（T-t）2（T-t））×

exp -r（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

3.2資產或無值期權定價公式

定理2若假設（i）-（v）成立，則在時刻t資產或無值看跌期權的定價公式為：

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp

-q（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），

Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

證明：由方程組（16）可以得到資產或無值看漲期權定價模型如下：

Vt+122S2t2VS2t+（r-q）StVSt-rV=0，Vt=T=StH*（St-K）.（22）

令VAC（St，t）=StU（St，t），則

U（ST，T）=1STVAC（ST，T）=VCC（ST，T）.

很容易得到U（St，t）滿足下列方程：

Ut+122S2t2US2t+（r-q+2）StUSt-qU=0，U（ST，T）=H*（ST-K）. （23）

令 ξ=ln StK，因此轉化為Cauchy 問題

Ut+1222Uξ2+（r-q+122）Uξ-qU=0，U（ξ，T）=H*（ξ）. （24）

為求解上述Cauchy 問題，作函數(shù)變換W=Ueβ（t），η=ξ+α（t），τ=γ（t）， 可得

γ′（t）Wτ+1222Wη2+

（r-q+122）+α′（t）Wη-（q+β′（t））W=0（25）

在方程（25）中令r-q+122+α′（t）=0，q+β′（t）=0，γ′（t）+122=0.并結合終值條件α（T）=β（T）=γ（T）=0，則有

α（t）=（r-q+122）（T-t），β（t）=q（T-t），

γ（t）=122（T-t）.從而可得

Wτ=2Wη2，W（η，0）=H*（η）. （26）

方程（26）的解可以用Poisson 公式如下表示：

W（η，τ）=N（η2τ）.

經過變量代換，得到

VAC（St，t）=

StN（ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp-q（T-t）.

推論2若假設（i）-（v）成立，則在時刻t資產或無值看跌期權的定價公式為：

VAP（St，t）=

StN（-ln StK+（r-q+122）（T-t）2（T-t））×

exp -q（T-t），

這里，2=σ2+σ2（δt）2H-1+σ2Le（H），Le（H）=kσ2π（1δt+（δt）2H-2）.

4結論

兩值期權在OTC市場是一種比較流行的金融衍生產品，對其有效和準確的定價無論是理論上還是實踐上都具有重要的意義.當預期收益率μ，無風險利率r，波動率σ為常數(shù)，利用無風險套利原則和混合分數(shù)Ito^公式，得到與之對應的數(shù)學模型.通過求解此模型給出了相應的CONC和AONC定價公式， 以及CONP和AONP定價公式. 解決了在混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下帶紅利和交易費用的兩值期權定價問題.對于兩值期權定價，還有很多問題值得進一步研究.例如，將投資者情緒與異質信念因素引進研究此類問題.

參考文獻

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