寧夏彭陽(yáng)縣第四中學(xué) (756599)

李艷玲

題目[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則[log21]+[log22]+…+[log22012]= .(2012年河南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題)

試題解答的關(guān)鍵是把[log21]+[log22]+…+[log2210]的求和轉(zhuǎn)化為0·20+1·21+2·22+…+9·29的求和，這就涉及到等差乘以等比型數(shù)列求和的形式，通過(guò)指數(shù)比較，不難啟發(fā)我們將問(wèn)題進(jìn)一步引申，得到下面的結(jié)論.

結(jié)論1 設(shè)f(x)=log2x(x∈N*),[f(x)]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)f(x)的最大整數(shù)部分，記Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]，則Sn=(n-2)·2n+n+2.

證明:由2k≤x≤2k+1-1(k∈N)得，滿足[f(x)]=k的x共有2k+1-1-2k+1=2k(個(gè)).于是有Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]=0·20+1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n，設(shè)S=0·20+1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1,①.給①兩邊同乘以2得2S=0·21+1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n,②.由①減②(錯(cuò)位相減)得-S=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=2n-2-(n-1)·2n，所以，S=(n-2)·2n+2，故有[f(1)]+[f(2)]+…+[f(2n)]=(n-2)·2n+n+2(其中n∈N*).

對(duì)于底數(shù)為2的對(duì)數(shù)取整求和我們有上面的計(jì)算公式，那么，當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)是3時(shí)，是否也有相應(yīng)的計(jì)算公式呢？經(jīng)過(guò)探究有下面的結(jié)論.

比較結(jié)論1和結(jié)論2的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)它們有章可循，于是不難得出猜想，當(dāng)對(duì)數(shù)的底數(shù)為4時(shí)，有下面的結(jié)論.

結(jié)論3 設(shè)f(x)=log4x(x∈N*),[f(x)]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)f(x)的最大整數(shù)部分，記Sn=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(4n)]=

類似的，對(duì)于底數(shù)為5、6、…，可以寫出相應(yīng)的結(jié)論.限于篇幅，本文不再贅述.通過(guò)猜想歸納，我們便可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論.

證明:(數(shù)學(xué)歸納法)(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊S1=[f(1)]+[f(2)]=1，右邊=

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即Sk=[f(1)]+[f(2)]+…+[f(ak)]

當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，由(1)和(2)知，對(duì)一切的n∈N*等式成立.

下面看結(jié)論的應(yīng)用

題[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，若[log36]+[log37]+…+[log3n]=2009，試確定整數(shù)n的值.(2009年北京市高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題)