江蘇省海門中學(xué) (226100)

曹亞東

由于向量表示方法多、聯(lián)系知識廣、解題思路靈活，學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量時有這樣的困惑:“老師，平面向量既有數(shù)的特征又有形的特征，請您告訴我們在求解平面向量問題時到底何時從數(shù)入手何時從形入手好呢？”本文通過對一道平面向量問題的多角度分析，談?wù)勎沂侨绾巫寣W(xué)生尋找到平面向量解題切入點的.

一、從代數(shù)角度探究

“如果沒有運算，向量只是一個‘路標’，因為有了運算，向量的力量無限.”正因為有了向量的代數(shù)運算，才使得向量的問題變得多姿多彩.本題如果從代數(shù)運算的角度有以下三個切入點.

切入點一：從代數(shù)變換入手探究

切入點二：從向量數(shù)量積的定義入手探究

解法三比解法一、二來的簡潔，關(guān)鍵在于直接將向量數(shù)量積用向量的模和夾角的余弦來表示.象這種以三角形為背景的向量問題一般采用邊角互化來完成.所以，從已知結(jié)構(gòu)入手，將題設(shè)中給出的信息和我們學(xué)過的公式、定理等等溝通起來，不然就不太容易找到解題突破口.

切入點三：用坐標法入手探究

用坐標來表示向量，本質(zhì)就把向量問題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問題來求解.

圖1

圖2

當然也可如圖2建系，方法同解法四.

解法四坐標法求解思維程度要求不高，是比較簡單的一種解法.因此，在解決向量問題時，一般涉及到夾角為特殊角的問題優(yōu)先考慮建系用坐標法求解，若不行，再考慮要用其它的方法處理.

二、從幾何角度探究

向量的代數(shù)運算非常重要，但向量畢竟不是數(shù)量，它是既有大小又有方向的量，有向線段是其最直觀和貼切的表示，若所有的向量題目純粹用代數(shù)運算，而不能數(shù)形結(jié)合，則似單腿走路，必定行之不遠，所以我們考慮從數(shù)形結(jié)合的角度來研究.

切入點四：從數(shù)形結(jié)合的角度入手探究

圖3

圖4

解法六：如圖4，取AB中點為O，連接CO并延長至點D，使得CO=OD，過點C、D分別作邊AB的垂線，垂足分別為M、N.

數(shù)形結(jié)合是解決平面向量問題的最重要的數(shù)學(xué)思想，所以必須讓學(xué)生熟練掌握和理解向量各種運算的幾何意義，引導(dǎo)學(xué)生多從數(shù)形結(jié)合角度去解決平面向量問題，多利用平面幾何中的圖形性質(zhì)，不僅可以簡化運算，還能大大提高解題的準確率.解法五的數(shù)形結(jié)合只是利用了數(shù)量積的幾何意義，顯得格外的簡潔明了.同樣的數(shù)形結(jié)合利用解法六就不是那么容易想到，技巧性比較高.從上面的幾種解法我們看到利用數(shù)形結(jié)合解題非常快捷，但對學(xué)生的要求比較高，它需要我們的學(xué)生牢固掌握一些概念和運算的幾何意義，以及曲線的代數(shù)特征，然后利用題目中的條件和結(jié)論等分析它的幾何意義，從而達到數(shù)向形的轉(zhuǎn)化.

以上介紹了幾種向量問題解題切入點的探究方法，實際上向量問題的解題切入點遠遠不止以上幾種方法，它需要我們在平時解題過程中多注意思想方法的積累并將它靈活運用.只有根據(jù)具體問題具體分析，憑借積累的經(jīng)驗、直覺和靈感等不斷嘗試探索，從而快速而準確地找尋到具體而恰當?shù)慕忸}方法，這才是學(xué)好數(shù)學(xué)之關(guān)鍵所在.