朱振華

摘 要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題是高考中的熱點。但學(xué)生對普遍具有畏難的思想。本文探討波利亞的“解題表”在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，試圖借助波利亞的解題思想來探求應(yīng)用題的簡單易行的解法，以提升學(xué)生解題的速度和準確度。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題；波利亞；解題表

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）15-078-2

高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題，是高考的熱點題型之一，但由于種種原因，很多學(xué)生對應(yīng)用題望而生畏，其中一個重要原因是缺乏正確的解題方法作為指導(dǎo)。著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞在《怎樣解題》（1945年）著作中，曾把傳統(tǒng)的單純解題發(fā)展為通過解題獲得新知識和新技能的學(xué)習(xí)過程，并對過程設(shè)計在一張“解題表”中，它歸納出了四個主要步驟：弄清問題；擬定計劃；實施計劃；回顧，然后用一系列問句表達出來，使得解題過程更加有啟發(fā)性。筆者認為，運用“解題表”四個步驟來解應(yīng)用題，簡單易行。現(xiàn)舉例說明：

題目：如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越短，鋪設(shè)管道的成本越低。設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上。已知AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ。

（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；

（2）若sinθ+cosθ=3+12，求此時管道的長度L；

（3）問：當θ取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低？

并求出此時管道的長度。

解題過程：

第一步：弄清問題

弄清問題，實際上就是審題。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的審題主要抓住兩個方面：背景分析和量與數(shù)的分析。

問題1：問題的背景是什么？

在物理、工程中，很多問題常運用三角函數(shù)的知識解決，主要涉及邊角問題，有時用正、余弦定理解決實際問題是三角函數(shù)工具性的最重要的體現(xiàn)，在這類問題中有時也涉及到以角為變量的最值問題。通過審題，理解該題是怎樣的一個問題，要多讀幾遍不清楚的地方，抓住問題中的關(guān)鍵信息。解決該問題首先將污水凈化管道的長度表示為關(guān)于θ的函數(shù)，求出定義域。其次，研究當θ取何值時，鋪設(shè)管道的成本最低，并求出此時管道的長度，是一個典型的最值問題。

問題2：問題中涉及到哪些量？

數(shù)學(xué)主要研究空間形式和數(shù)量關(guān)系。在數(shù)學(xué)應(yīng)用題中研究數(shù)量關(guān)系的問題比較多。在理解此問題背景的基礎(chǔ)上，分析問題中涉及到哪些量，哪些量是已知的，哪些量是未知的，哪些量可以求出，哪些量不能求出的？涉及到的量有：管道的接口H是AB的中點，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上。AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ。在分析題意時，要對背景信息進行深入剖析，不能浮于問題的表面。要善于從數(shù)學(xué)的思維角度去分析題意，抽象出題目所提供的信息中的各種量和數(shù)值。也就是要發(fā)現(xiàn)信息，記錄信息，轉(zhuǎn)譯信息。

第二步：擬定計劃

考慮怎樣把實際問題，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。在上一步，我們分析出了問題中涉及到的量，現(xiàn)在進一步研究各個量之間的關(guān)系，進行數(shù)學(xué)化設(shè)計，建立三角函數(shù)模型。本題第一問我們不難得到Rt△FHE三邊長EH，HF，F(xiàn)E，可以求出周長，將污水凈化管道的長度表示為θ的函數(shù)，并利用BE，AF的長度限制條件求出定義域。至此，我們把這些自然語言轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)語言，得到函數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)模型建立起來了。本題第二問是相對比較容易，是三角函數(shù)問題。而第三問是研究鋪設(shè)管道的成本最小值，在建立以成本關(guān)于θ的三角函數(shù)，求解三角函數(shù)的最值問題。

第三步：實現(xiàn)計劃

三角函數(shù)應(yīng)用題大都可以引進以角為參數(shù)來解答用平面圖形作為數(shù)學(xué)背景的應(yīng)用題。利用三角函數(shù)的有關(guān)公式進行推理，解決最值問題，關(guān)鍵是通過圖形分析，得出函數(shù)關(guān)系式。

（1）EH=10cosθ，F(xiàn)H=10sinθ，EF=10sinθcosθ

由于BE=10·tanθ≤103，AF=10tanθ≤103，

33≤tanθ≤3，θ∈[π6，π3]

所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ，θ∈[π6，π3]

（2）sinθ+cosθ=3+12時，sinθcosθ=34，L=20（3+1）；

（3）L=10cosθ+10sinθ+10sinθ·cosθ=10（sinθ+cosθ+1sinθ·cosθ），設(shè)sinθ+cosθ=t，

則sinθ·cosθ=t2-12，由于θ∈[π6，π3]，

所以t=sinθ+cosθ=2sin（θ+π4）∈[3+12，2]，L=20t-1，在[3+12，2]內(nèi)單調(diào)遞減，于是當t=2時θ=π4。L的最小值20（2+1）米。

答：當θ=π4時，所鋪設(shè)管道的成本最低，此時管道的長度為20（2+1）米。

在實施計劃過程時，要考慮它是怎樣的數(shù)學(xué)問題，在自己的信息塊中提取相關(guān)的信息，識別相關(guān)模式。逐漸把未知轉(zhuǎn)化為已知。這就要求學(xué)生的“三基”必須扎實，對基本問題熟練掌握，并要深刻理解。另外，在對問題求解時，要檢驗每一步驟，對自己的思維進行元認知調(diào)控，保證每一步的準確性。

第四步：回顧

正面校驗每一步推理是否是合理的、有效的。本題以角作為參變量，結(jié)合圖形，通過尋求三角形中的邊角關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，運用換元的思想從而解決了最值問題。解題回顧應(yīng)包含這幾個方面：①檢驗解題的每一步，包括對數(shù)學(xué)模型的求解和結(jié)論是否符合實際情況。比如對本問題，對于定義域θ∈[π6，π3]，有必要進行求解檢驗，在平時教學(xué)中注意對學(xué)生思維批判性的培養(yǎng)。②反思對信息是如何加工的，深化解題方法；③反思這個問題涉及到哪些知識點，這些知識點是否熟練掌握了，還有哪些欠缺？④解決這個問題用了什么數(shù)學(xué)思想方法？⑤這個問題還有沒有其它的解法，哪一種更簡潔，哪一種是通法？培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性。我們在解題時，應(yīng)和學(xué)生的思維特點聯(lián)系起來，尋求通法，少用特殊技巧。

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，其效果直接影響學(xué)生的解題能力。學(xué)生在解題時，往往只注重分析和求解，不注意回顧反思。所以教師要引導(dǎo)學(xué)生進行回顧，明確回顧的意義，并逐漸養(yǎng)成習(xí)慣。因此，對于應(yīng)用題的教學(xué)，提出如下建議：循序漸進，樹立學(xué)生的自信心，消除畏懼心理；加強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，引導(dǎo)學(xué)生勤于觀察生活中的數(shù)學(xué)問題，并深入探究；注重基礎(chǔ)知識的教學(xué)和基本能力的培養(yǎng)；注重應(yīng)用題的解題分析和求解策略的教學(xué)，加強學(xué)生的思維調(diào)控。

[參考文獻]

[1]（美）G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法.上?？萍冀逃霭嫔?，2007（05）.

[2]池俊.例說波利亞“怎樣解題表”的應(yīng)用.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（09）.

[本文系南通市十三五規(guī)劃課題（GH2016123）《G·波利亞（解題表）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維與創(chuàng)新能力的實踐研究》研究成果]