馮永文

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含著數(shù)學(xué)基本的思維品格和關(guān)鍵能力，在學(xué)生自主發(fā)展中具有不可替代的作用，更是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不可忽視的關(guān)鍵所在。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5實(shí)習(xí)作業(yè)《解三角形在測(cè)量中的應(yīng)用》的教學(xué)片段為例，探討如何從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；實(shí)際應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）15-019-2

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體[1]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含著數(shù)學(xué)基本的思維品格和關(guān)鍵能力，在學(xué)生自主發(fā)展中具有不可替代的作用，更是高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不可忽視的關(guān)鍵所在。筆者以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5實(shí)習(xí)作業(yè)《解三角形在測(cè)量中的應(yīng)用》的教學(xué)片段為例，探討如何利用實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，特別是在本節(jié)課中體現(xiàn)尤為突出的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和直觀想象這三個(gè)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

一、教學(xué)片段呈現(xiàn)

問(wèn)題1：你知道學(xué)校的旗桿有多高嗎？如何測(cè)量呢？

學(xué)生思考，小組交流討論。

學(xué)生1：可以選擇一個(gè)測(cè)量點(diǎn)，與旗桿的頂點(diǎn)、底點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，在三角形里求旗桿的高度。

教師：能不能用具體的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述和解決問(wèn)題呢？比如畫出數(shù)學(xué)圖形，建立數(shù)學(xué)模型，寫出具體的數(shù)學(xué)解答式。

學(xué)生1：如圖，旗桿頂點(diǎn)A、底點(diǎn)B，與測(cè)量點(diǎn)C，構(gòu)成直角三角形。可以利用皮尺測(cè)得BC之間的距離a，

利用測(cè)角器量得仰角∠ACB的大小α，在Rt△ABC中，tan∠C=ABBC，則AB=BC·tan∠C，即AB=a·tanα。

學(xué)生2：這個(gè)模型有問(wèn)題，他沒(méi)有考慮到人的身高對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

教師：人的身高是否影響了旗桿高度的測(cè)量呢？

學(xué)生2：因?yàn)槠鞐U的高度與人的身高相差不是特別大，所以人的身高不能忽略不計(jì)。

教師：那通過(guò)怎么樣的修改，才能建立更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型呢？

學(xué)生2：如圖，畫出直觀圖，建立模型。AB表示旗桿的高度，CD表示人的身高，BD表示旗桿與人之間的距離。測(cè)得BD=a，CD=h，仰角∠ACE=α。在Rt△ACE中，AECE=tan∠ACE，則AE=CE·tan∠ACE，所以AB=AE+BE=a·tanα+h。

教師：在充分考慮了身高對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響后，同學(xué)們通過(guò)對(duì)模型的修改和完善，能夠較為準(zhǔn)確的得到旗桿的高度。那么有沒(méi)有其他的方式能得到旗桿的高度呢。

學(xué)生3：可以利用影子和相似三角形的知識(shí)得到旗桿的高度。如圖，畫出直觀圖，建立模型。測(cè)得人的身高AB、人的影長(zhǎng)BE、旗桿的影長(zhǎng)DF分別為h、a、b。由AE∥CD，可得CDDF=ABBE，所以有旗桿的高度CD=AB·DFBE即CD=bha。

教師：利用影長(zhǎng)的方法計(jì)算旗桿的高度，較好的回避了法一中身高的影響，并且數(shù)學(xué)模型較為簡(jiǎn)答，也便于計(jì)算和理解。

設(shè)計(jì)意圖：旗桿測(cè)量問(wèn)題學(xué)生在初中已經(jīng)有所接觸，本題旨在通過(guò)熟悉的情景，較為容易的讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并能較為輕松的用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題，以便讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，并通過(guò)對(duì)已有模型的探究、求解和驗(yàn)證，能進(jìn)一步改進(jìn)模型，最終能夠較為準(zhǔn)確的解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

問(wèn)題2：若在電視塔旁有一條河，人和電視塔分別在河的兩側(cè)，如何測(cè)量電視塔的高度呢？（人的身高忽略不計(jì)）

學(xué)生思考，小組交流討論。

學(xué)生4：可以利用影長(zhǎng)的方法得到旗桿的高度。

學(xué)生5：這個(gè)方法不可行。由于電視塔是在河的對(duì)岸，所以不一定能測(cè)出電視塔的影長(zhǎng)。

教師：那有沒(méi)有其他的辦法呢？

學(xué)生6：如圖，可以在河岸人的一側(cè)選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C、D，AB表示電視塔的高度。測(cè)得CD的長(zhǎng)度a，仰角∠ACB、∠ADB的大小分別為α、β，可以利用解三角形的知識(shí)得到電視塔AB的高度。在Rt△ABC中，ABBC=tan∠ACB，則BC=ABtanα。同理BD=ABtanβ。則CD=BC-BD=ABtanα-ABtanβ=a，解得AB=a1tanα-1tanβ。

教師：?jiǎn)栴}1與問(wèn)題2的區(qū)別在哪里？

學(xué)生6：在問(wèn)題1中，旗桿的底部可以到達(dá)的，這樣可以測(cè)得人到旗桿的距離和旗桿的影長(zhǎng)。但在問(wèn)題2中，電視塔的底部不能到達(dá)，這樣就不一定能測(cè)出人到旗桿的距離和旗桿的影長(zhǎng)。

教師：同學(xué)回答的非常好。問(wèn)題1和問(wèn)題2是兩種不同類型的求高度問(wèn)題，問(wèn)題1是“底部可達(dá)型”，問(wèn)題2是“底部不可達(dá)型”，同學(xué)們?cè)谔幚磉@兩類實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

設(shè)計(jì)意圖：“底部可達(dá)”問(wèn)題與“底部不可達(dá)”問(wèn)題是高度測(cè)量中的兩類常見(jiàn)問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題1與問(wèn)題2的對(duì)比研究，一是找到解決兩種不同類型問(wèn)題的方法，二是體會(huì)如何利用數(shù)學(xué)抽象的方法，得到研究的對(duì)象及具體數(shù)量關(guān)系。感受如何利用直觀想象的方法，感知事物的形態(tài)與變化，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。體驗(yàn)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方法表達(dá)問(wèn)題和構(gòu)建模型，從而尋求解決問(wèn)題的辦法。

二、從實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題出發(fā)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)，包括從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。在“問(wèn)題1”和“問(wèn)題2”中，學(xué)生從測(cè)量旗桿高度和電視塔高度的實(shí)際背景出發(fā)，通過(guò)對(duì)空間形式的抽象，分別用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際問(wèn)題予以表述，從而建立數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象，抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，再利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要抓住語(yǔ)言轉(zhuǎn)化及模型建立的過(guò)程，要能夠?qū)⑽淖终Z(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言，以便用數(shù)學(xué)的思維和方法解決問(wèn)題，從而鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如在測(cè)量房屋前后兩根電線桿之間的間距問(wèn)題中，首先要從問(wèn)題中抽象出空間形式，再分別用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述問(wèn)題，從而建立三角形的數(shù)學(xué)模型，并利用余弦定理解決問(wèn)題。

2.通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。在“問(wèn)題1”和“問(wèn)題2”的旗桿和電視塔高度測(cè)量問(wèn)題中，學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，再利用圖像語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言等數(shù)學(xué)語(yǔ)言將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而分析解決問(wèn)題。特別在“問(wèn)題1”中，“學(xué)生2”對(duì)“學(xué)生1”建立的三角形模型提出了質(zhì)疑，他表示人的身高對(duì)旗桿高度的計(jì)算有一定影響，通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)，從而對(duì)原有模型進(jìn)行了改進(jìn)和完善。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)主要要抓住發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、語(yǔ)言轉(zhuǎn)化、建立模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，從而解決問(wèn)題的過(guò)程。其中，語(yǔ)言轉(zhuǎn)化和模型建立是重點(diǎn)難點(diǎn)。

3.通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖像，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。直觀想象是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要手段。如在“問(wèn)題2”電視塔高度的測(cè)量問(wèn)題中，學(xué)生通過(guò)構(gòu)建直觀模型，畫出圖像，利用幾何圖形來(lái)描述問(wèn)題，并借助幾何直觀來(lái)理解和解決問(wèn)題，從而尋找到在直角三角形中利用解方程的思想求出電視塔高度的方法。通過(guò)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，關(guān)鍵在于構(gòu)建直觀模型，利用幾何圖形和空間想象分析問(wèn)題，從而探索解決問(wèn)題。例如在測(cè)量河流兩側(cè)兩電線桿直接之間距離問(wèn)題中，首先要構(gòu)建直觀模型，畫出幾何圖形，獲得參數(shù)，建立數(shù)學(xué)模型，從而利用正弦定理解決問(wèn)題。

利用實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題特別是測(cè)量問(wèn)題培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行抽象，構(gòu)建直觀圖形，建立數(shù)學(xué)模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和直觀想象素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]中華人共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）.北京：人民教育出版社，2018.