郭 鋰

(羅格斯大學(xué)紐瓦克分校 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系， 新澤西 07102， 美國)

代數(shù)學(xué)，通常稱抽象代數(shù)，是數(shù)學(xué)的一個分支.顧名思義，接觸過抽象代數(shù)的大都認(rèn)為代數(shù)學(xué)太抽象，不容易理解.事實上抽象是整個科學(xué)研究的基本特征，只不過代數(shù)學(xué)將其發(fā)揮到了極致.

自然科學(xué)的各個領(lǐng)域是對自然界的某個方面的集中研究,這就意味著只專注于自然界的某些特性而忽略它的其他性質(zhì),而這個過程恰恰是抽象過程.對隨手撿起的一塊石頭，不同領(lǐng)域的科學(xué)家會得到不同的抽象，物理學(xué)家可能會注重石頭的重量和動能，化學(xué)家可能會注重石頭的分子結(jié)構(gòu)，生物學(xué)家可能會注重石頭里的微生物，地質(zhì)學(xué)家可能會注重石頭的生成結(jié)構(gòu).一旦有了被抽象出來的科學(xué)學(xué)科，就有了對科學(xué)學(xué)科本身的研究(即基礎(chǔ)學(xué)科)和科學(xué)返回自然的應(yīng)用(即應(yīng)用學(xué)科和技術(shù)).我們應(yīng)該強調(diào)的是科學(xué)的抽象化，不僅使得人類對自然的理解更深，而且更廣.一個學(xué)科的成就可以應(yīng)用于別的學(xué)科,這就像現(xiàn)在的云服務(wù)一樣，你的文件一旦上傳到云上，其服務(wù)對象就不僅限于你個人，而是網(wǎng)上的所有網(wǎng)友了.

如上所述,可以簡單地說科學(xué)的各個學(xué)科是對自然界不同方面的抽象,進(jìn)而各個科學(xué)學(xué)科都尋求規(guī)律性，而描述規(guī)律的基本方式是通過數(shù)學(xué)，包括邏輯、數(shù)字和方程.這樣數(shù)學(xué)成為科學(xué)各個學(xué)科的抽象.從歷史來看，古代的代數(shù)和數(shù)論抽象于計數(shù)，幾何抽象于丈量；近代的微積分抽象于物理研究.一旦有了被抽象出來的數(shù)學(xué)，就有了對抽象數(shù)學(xué)的研究(即基礎(chǔ)數(shù)學(xué))和抽象數(shù)學(xué)返回科學(xué)學(xué)科的應(yīng)用(即應(yīng)用數(shù)學(xué)).數(shù)學(xué)抽象的威力是它的廣泛應(yīng)用,一個典型的例子是數(shù)論中的費馬小定理.

定理1設(shè)p是一素數(shù).對有限域Fp中任意元素x，有xp=x.

這是初等數(shù)論的一個基本結(jié)論，沒有任何應(yīng)用背景，在被發(fā)現(xiàn)的前300年中也沒有得到任何應(yīng)用,但是在20世紀(jì)70年代被應(yīng)用于公開鑰密碼系統(tǒng)，現(xiàn)在已融入與人們?nèi)粘Ｉ蠲懿豢煞值你y行取款和網(wǎng)上金融等.

由此可以簡單地說數(shù)學(xué)的各個分支是對科學(xué)各個領(lǐng)域的抽象.有了這些準(zhǔn)備，代數(shù)的抽象就不奇怪了.它不僅是對科學(xué)學(xué)科的抽象，而且是對數(shù)學(xué)各個分支的抽象.代數(shù)的主要領(lǐng)域起源于數(shù)學(xué)分支的需求，除初等代數(shù)的古老起源外，結(jié)合代數(shù)起源于對不同數(shù)域的抽象，群論和域論的引進(jìn)借助于研究方程用根式求解的伽羅華理論，李代數(shù)有明顯的微分幾何和微分方程背景，交換代數(shù)和模理論是作為數(shù)論和幾何研究的需求建立起來的.同時數(shù)學(xué)的各個分支都以代數(shù)為載體結(jié)構(gòu)、表述方式和研究方法.關(guān)于后者具體來說有代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)浜痛鷶?shù)組合等.如同科學(xué)學(xué)科對自然界的抽象研究所起的作用一樣，代數(shù)對其它數(shù)學(xué)分支的抽象研究也使得對其它數(shù)學(xué)分支的理解更深更廣.

總體來說，有如下的抽象圖

自然?科學(xué)?數(shù)學(xué)?代數(shù).

本文介紹微積分的代數(shù)結(jié)構(gòu).如上所見，數(shù)學(xué)的大部分分支都有其代數(shù)研究.在文獻(xiàn)中缺失的是代數(shù)分析，或代數(shù)微積分.從數(shù)學(xué)各分支的研究風(fēng)格來看，這是可以理解的.如果把數(shù)學(xué)的各個分支排列在一條線上，代數(shù)和分析會排在2個極端，一個研究離散系統(tǒng)，一個研究連續(xù)系統(tǒng).當(dāng)然代數(shù)中有分析思維，如正向極限和逆向極限；分析中也有代數(shù)思維，如調(diào)和分析和同調(diào)群.但對微積分的系統(tǒng)代數(shù)研究，起源于本文要討論的2個代數(shù)結(jié)構(gòu)：作為微分分析代數(shù)化的微分代數(shù)和作為積分分析代數(shù)化的羅巴代數(shù).

1 微分代數(shù)

1.1微分代數(shù)的概念如上所述，代數(shù)的特色是從其它領(lǐng)域中提取主要性質(zhì)，抽象成各種各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu).代數(shù)結(jié)構(gòu)通常由某些一元、二元和多元運算以及運算滿足的關(guān)系決定.群論起源于求解多項式，結(jié)合代數(shù)起源于超復(fù)數(shù)和矩陣?yán)碚?其結(jié)合律是從各類數(shù)和函數(shù)的乘積關(guān)系提煉出來的,李代數(shù)是從切向量的括號積滿足雅可比恒等式提煉出來的.

結(jié)合代數(shù)的一個基本例子是實值函數(shù)構(gòu)成的代數(shù).在此基礎(chǔ)上，微分代數(shù)的模型是由可微函數(shù)構(gòu)成的結(jié)合代數(shù)A上再附加上導(dǎo)子d，即微分算子.只考慮單變元的函數(shù)和導(dǎo)子.抽象的關(guān)鍵是對導(dǎo)子的抽象.首先,導(dǎo)子是線性的，即對任意的實數(shù)a、b和A中函數(shù)f、g有

d(af+bg)=ad(f)+bd(g).

其次,應(yīng)該有刻畫導(dǎo)子d在A上作用的特殊性質(zhì).容易想到熟知的萊布尼茲公式：對任意A中函數(shù)f和g有

d(fg)=d(f)g+fd(g).

注意到以上兩式是可微函數(shù)的必要條件，但等式本身有意義并不要求a、b是實數(shù)或f、g是可微函數(shù).可以把導(dǎo)子的這2個關(guān)鍵必要條件提煉出來作為抽象導(dǎo)子的定義.

定義1.1設(shè)R是交換環(huán)K上的結(jié)合代數(shù).R上的微分算子定義為R上的線性算子d，且滿足抽象的萊布尼茲公式.準(zhǔn)確地說，對任意K中a、b和R中u、v有:

d(au+bv)=ad(u)+bd(v)，

d(uv)=d(u)v+ud(v).

一結(jié)合代數(shù)R和其上一微分算子d構(gòu)成一微分代數(shù),記為(R,d)，簡記為R.

1.2微分代數(shù)的歷史和意義微分代數(shù)起源于20世紀(jì)初Ritt[1]對微分方程的代數(shù)研究.經(jīng)過Kolchin 和他們的學(xué)派[2-3]的研究，微分代數(shù)已經(jīng)發(fā)展為包括微分伽羅華理論、微分代數(shù)幾何、計算微分代數(shù)等分支的豐富領(lǐng)域，且有著廣泛應(yīng)用.吳文俊的數(shù)學(xué)定理機(jī)械化證明的著名工作[4-5]就是基于Ritt的微分代數(shù)工作.

作為一個練習(xí)，試考慮差分算子的代數(shù)化.更一般地，考慮算子的代數(shù)化.確定這些算子應(yīng)該滿足的代數(shù)方程，從而定義差分代數(shù)[6].

D:C(x)→C(x),
D(f)(x)∶ =f(x+1)-f(x)

Dh:C(x)→C(x),

Dh(f)(x)∶ =(f(x+h)-f(x))/h

2 羅巴代數(shù)的概念和例子

I:C(R)→C(R),

事實上，分部積分公式的證明恰是對上式求導(dǎo)并應(yīng)用乘法公式得到的.上式微分算子和積分算子同時出現(xiàn).為了專注對積分算子的研究，取

從而

F′(x)=f(x),G′(x)=g(x).

上式成為只涉及積分算子的等式

用算子形式改寫并換項，得到

I(f)I(g)=I(fI(g))+I(I(f)g).

(1)

為了給后面的例子提供參考，用多元微積分的方法給出另一證明：上式左邊的積分乘積

是在以s為橫軸、t為豎軸的平面坐標(biāo)系中正方形區(qū)域a≤s,t≤x上的積分.而第一象限由對角線s=t分為兩部分，即上三角區(qū)域s≤t和下三角區(qū)域s≥t.容易驗證f(s)g(t)在上三角區(qū)域的積分是

在下三角區(qū)域的積分是

因此根據(jù)積分區(qū)域的可加性即得到(1)式.

注意在(1)式中f和g可以取為任意代數(shù)中的元素，而I可以取為此代數(shù)上的任意線性算子.所以此式可以作為微積分中積分算子的代數(shù)化.由此給出如下定義:

定義2.1設(shè)R是交換環(huán)K上的結(jié)合代數(shù).R上的積分算子定義為R上的線性算子I，且滿足抽象的分部積分公式.準(zhǔn)確地說，對任意K中a、b和R中u、v有:

I(au+bv)=aI(u)+bI(v)，

I(u)I(v)=I(uI(v))+I(I(u)v).

一結(jié)合代數(shù)R和其上一積分算子I構(gòu)成一積分代數(shù),記為(R,I),簡記為R.

或許是因為代數(shù)學(xué)家對分析的關(guān)注程度不夠，歷史上抽象的積分算子和積分代數(shù)的概念一直到上世紀(jì)末才由代數(shù)學(xué)家正式提出，而在此之前40年，比積分代數(shù)更廣的羅巴(Rota-Baxter)代數(shù)概念已經(jīng)由美國概率論學(xué)家Baxter[7]首先提出，并在美國著名分析學(xué)家Atkinson[8]和組合學(xué)家Rota等[9-11]的推動下得到發(fā)展,使得Rota-Baxter代數(shù)成為少見的由非代數(shù)學(xué)家多年主導(dǎo)研究的代數(shù)結(jié)構(gòu),這種狀況一直到本世紀(jì)才得到轉(zhuǎn)變,故在Rota-Baxter代數(shù)的概念被引進(jìn)近60年后的今天，這個領(lǐng)域仍然是個新興領(lǐng)域,更多的研究細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[12-13].

定義2.2設(shè)R為K上的結(jié)合代數(shù)，λ為K中固定元素.R上的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子，或羅巴算子，定義為R上的線性算子P，且滿足權(quán)為λ的Rota-Baxter等式.準(zhǔn)確地說，對任意K中a、b和R中u、v有:

P(au+bv)=aP(u)+bP(v)，

P(u)P(v)=P(uP(v))+P(P(u)v)+λP(uv).

一結(jié)合代數(shù)R和其上一Rota-Baxter算子構(gòu)成一羅巴(Rota-Baxter)代數(shù),記為(R,P)，簡記為R.

2.2羅巴代數(shù)的例子以下通過一些羅巴代數(shù)的例子來展示羅巴代數(shù)的廣泛聯(lián)系.

積分算子：如前所述，上限為變元的積分算子

是自然的權(quán)為零的羅巴算子.

求和算子：對正實軸上滿足充分收斂條件的函數(shù)f(x)定義

則算子S滿足

S(f)S(g)=S(fS(g))+S(S(f)g)-S(fg),

故S是權(quán)為-1的羅巴算子,其證明如下：級數(shù)乘積S(f)S(g)可以表達(dá)為二重和

和式是在第一象限的具整數(shù)坐標(biāo)的格點求和.而如同對(1)式的證明一樣，對角線將第一象限劃分為上三角i≤j區(qū)域和下三角i≥j區(qū)域兩部分.對上三角區(qū)域i≤j中格點求和，并取k=j-i，得到

S(fS(g))(x).

同理對下三角區(qū)域j≤i中格點求和得

與對(1)式的證明不同，雖然在對角線上的二重積分為零，對其中格點的求和不為零,而上面對上三角和下三角區(qū)域的求和都包括對角線.因此對角線上的格點被算了2次，必須減去.而f(x)g(x)在對角線上整點的求和為

因此得到

S(f)(x)S(g)(x)=S(fS(g))(x)+
S(S(f)g)(x)-S(fg)(x).

這正是我們需要的.

部分和算子：如果想避免上一例子的收斂問題，可以考慮部分和序列.設(shè)A是一結(jié)合代數(shù)，設(shè)R=AN為在A中取值的無窮序列的集合,則R在分量加法、乘法和數(shù)乘下構(gòu)成一個代數(shù).對R中序列

r∶ =(r1,r2,r3,…,rn,…),ri∈A,

定義部分和序列

P(r)∶ =(r1,r1+r2,r1+r2+r3,…,

r1+…+rn,…),

則用以上例子同樣的證明可得

P(r)P(s)=P(rP(s))+P(P(r)s)-P(rs).

因此P是權(quán)為-1的羅巴算子.如果調(diào)整部分和序列的定義為

P(r)∶ =(0,r1,r1+r2,…,r1+…+rn-1,…),

則P是權(quán)為1的羅巴算子.

上三角矩陣：在n×n矩陣代數(shù)中取R為上三角矩陣組成的子代數(shù).對一上三角矩陣M，定義矩陣P(M)如下：其對角線元為矩陣M的所在行的元素之和；其非對角元為零,則P是權(quán)為-1的羅巴算子.

數(shù)乘算子：任取代數(shù)R和常數(shù)λ∈K.定義數(shù)乘算子

Pλ:R→R,r-λr,r∈R,

則易證Pλ是權(quán)為λ的羅巴算子.這個例子說明任意代數(shù)都有自然的羅巴代數(shù)結(jié)構(gòu).

即取其冪級數(shù)部分,則P是一權(quán)為-1的羅巴算子.

還有羅巴代數(shù)的很多其它例子，貫穿于概率論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論、泛代數(shù)和Operad等領(lǐng)域,這些例子說明羅巴代數(shù)和數(shù)學(xué)及物理有廣泛的聯(lián)系,這些聯(lián)系既為羅巴代數(shù)的研究提供源泉和問題，也為羅巴代數(shù)的結(jié)果提供應(yīng)用.

3 羅巴代數(shù)的結(jié)構(gòu)

下面從2個方面介紹羅巴代數(shù)的結(jié)構(gòu).

3.1冪等羅巴算子和分解通過線性代數(shù)知道，如果向量空間V上線性算子P是冪等的，即P2=P,則V是P的核Ker(P)與像Im(P)的直和Ker(P)⊕Im(P).一個自然的問題是，如果代數(shù)R上線性算子P是冪等的，什么時候其子空間Ker(P)和Im(P)也是子代數(shù)呢？這個問題有個很完美的解答：

定理3.1設(shè)P是代數(shù)R上冪等線性算子.P是權(quán)為-1的羅巴算子當(dāng)且僅當(dāng)Ker(P)和Im(P)是R的子代數(shù).

以上面提到的洛朗級數(shù)代數(shù)上的算子P為例.Ker(P)=t-1K[t-1]和Im(P)=K[[t]]都是R的子代數(shù)，故P是一羅巴算子.

證明設(shè)P是R上冪等算子.若P是權(quán)為-1的羅巴算子，則對Im(P)中元素P(r)和P(s)有

P(r)P(s)=P(rP(s))+P(P(r)s)-P(rs),

故P(r)P(s)在Im(P)中,由此得子空間Im(P)是R的子代數(shù).同時易證算子Id-P也是權(quán)為-1的羅巴算子.因此Im(Id-P)也是R的子代數(shù),但

Im(Id-P)=Ker(P),

所以Ker(P)是R的子代數(shù).

反之，若Ker(P)和Im(P)是R的子代數(shù)，則由

R=Ker(P)+Im(P)

得R中r可表為r=r1+r2,其中r1在Ker(P)中，r2=P(r′)在Im(P)中.故

P(r)=P(r2)=P(P(r′))=P(r′)=r2.

同理R中s可表為s=s1+s2,其中s1在Ker(P)中，s2在Im(P)中.由此得到:

P(r)P(s)=r2s2,

P(rP(s))=P(r1s2+r2s2)=P(r1s2)+r2s2,

P(P(r)s)=P(r2s1+r2s2)=P(r2s1)+r2s2,

P(rs)=P(r1s1)+P(r1s2)+P(r2s1)+

P(r2s2)=P(r1s2)+P(r2s1)+r2s2.

因此

P(r)P(s)=P(rP(s))+P(P(r)s)-P(rs).

證畢.

3.2自由交換羅巴代數(shù)和洗牌乘法給定一代數(shù)結(jié)構(gòu)，不管是半群還是代數(shù)，對其自由對象的研究是一個基本問題.由于羅巴代數(shù)是在代數(shù)上附加羅巴算子，自由羅巴代數(shù)的構(gòu)造較為復(fù)雜.為簡化起見，僅考慮權(quán)為零的情況.通過觀察羅巴等式

P(r)P(s)=P(rP(s))+P(P(r)s),

注意到如同等式左邊的2個像集中元素的乘積可以簡化為右邊的形式.這樣羅巴代數(shù)中元素的一般形式中P的出現(xiàn)只有“串聯(lián)”，如r0P(r1P(r2P(r3)))，沒有“并聯(lián)”，如P(r1)P(r2)或P(r1)r2P(r3).再將P符號化，給出如下的自由交換羅巴代數(shù)的構(gòu)造[14].

對Ш(A)中純張量:

a=a0?a1?…?am,

b=b0?b1?…?bn.

通過對m+n歸納，遞歸地定義a◇b如下：

如m+n=0，即m=n=0,則a=a0,b=b0為A中元素.此時定義

a◇b∶ =a0◇b0=a0b0

為A中乘積.對任意給定k≥1,假定對滿足m+n≤k的a和b，a◇b已定義,則對滿足m+n=k+1的a和b，如m=0，則定義

a◇b∶ =(a0b0)?b1?…?bn.

如n=0，則定義

a◇b∶ =(a0b0)?a1?…?am.

如m>0且n>0，則簡記

a=a0?a′,b=b0?b′.

定義

a◇b∶ =(a0b0)?(a′◇(1?b′)+

(1?a′)◇b′).

注意到在等式右邊，由于a′的張量長度短于a，而1?b′的張量長度等于b，因此根據(jù)歸納假定a′◇(1?b′)是定義好的.同理，(1?a′)◇b′是定義好的.因此以上等式右邊是定義好的.再通過雙線性性質(zhì)把a◇b擴(kuò)展成任意2個張量的乘積.這一乘積滿足結(jié)合律，使得Ш(A)成為一結(jié)合代數(shù).再定義Ш(A)上一線性算子PA為

PA(a0?…?am)=1?a0?…?am.

從◇的定義得到PA是權(quán)為零的羅巴算子.在文獻(xiàn)[15]中證明(Ш(A),PA)是A上的自由交換羅巴代數(shù).通過洗牌乘法，◇有如下的顯式構(gòu)造：

給定2個張量:

a=a1?…?am,
b=b1?…?bm，

a和b的一個洗牌是張量

a1?…?am?b1?…?bn

的一個置換，即重新排序，使得a1到am的原有順序和b1到bn的原有順序保持不變.

例1a1?a2和b1?b2的洗牌為:

a1?a2?b1?b2,a1?b1?a2?b2,

a1?b1?b2?a2,

b1?b2?a1?a2,b1?a1?b2?a2,

b1?a1?a2?b2,

2個張量a和b的洗牌積aШb是它們的所有洗牌的和.

自由交換羅巴代數(shù)中的乘積◇和洗牌積的關(guān)系如下：對

a=a0?a′,b=b0?b′

有

a◇b∶ =(a0b0)?(a′Шb′).

知道了自由交換羅巴代數(shù)中的乘積就知道了任意羅巴代數(shù)中的乘積的共性.比如積分算子是羅巴算子的特例.通過洗牌積，很容易給出2個二重積分的乘積，而直接用積分是個相當(dāng)復(fù)雜的計算：

在沒有交換性的限制下，自由羅巴代數(shù)的構(gòu)造更為復(fù)雜，可以通過括號字、根樹和Motzkin路徑等組合方式得到，參見文獻(xiàn)[13,16-17].

對具有多個羅巴算子的代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究還不多，見文獻(xiàn)[18-19].另外,羅巴代數(shù)的變形，如Hom-羅巴代數(shù)的研究也剛開始，見文獻(xiàn)[20-21].羅巴型代數(shù)的概念在文獻(xiàn)[22]中引進(jìn)，并與重寫系統(tǒng)和Groebner-Shirshov基聯(lián)系起來.

公開問題1構(gòu)造多個羅巴算子的代數(shù)和Hom-羅巴代數(shù)的自由對象.

公開問題2完成對微分型代數(shù)和羅巴型代數(shù)的分類.

4 羅巴代數(shù)的應(yīng)用

4.1量子場論重整化羅巴代數(shù)的一個重要應(yīng)用是量子場論的重整化.量子場論通過費曼積分計算各類粒子相互作用的物理量，如動量和能量,但費曼積分的直接計算通常是發(fā)散的.經(jīng)過多年的努力，物理學(xué)家得到一個相當(dāng)復(fù)雜的過程，從發(fā)散的費曼積分中提取有限值,這個過程被稱為重整化過程[23].量子電動力學(xué)(QED)的重整化使其成為描述電磁相互作用的“迄今為止最為精確的”物理理論.另一方面，由于重整化缺乏數(shù)學(xué)的嚴(yán)格基礎(chǔ)，被比喻為人為地將垃圾掃到地毯下藏起來.還有一個惡搞物理學(xué)家的“名言”：我不怕無窮大，我把它切掉就行了.

通過Connes(1982年菲爾茲獎得主)和Kreimer的工作[24]，重整化過程的組合結(jié)構(gòu)在他們的代數(shù)Birkhoff分解的框架中得到準(zhǔn)確的描述.同時,他們的代數(shù)理論也使得重整化這一物理理論得以應(yīng)用于數(shù)學(xué)中其它的發(fā)散問題中.我們只介紹代數(shù)Birkhoff分解的基本形式.

設(shè)H為一聯(lián)通分次Hopf代數(shù).這意味著H既是代數(shù)又是余代數(shù)，且二者相容；同時H有一分次

也與H的代數(shù)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)相容;最后H0是一維的：H0?K.較簡單的例子是通常的一元多項式代數(shù)K[x]，以次數(shù)分次

余乘為

?xk-i.

在量子場論中，H是由費曼圖張成的向量空間，以費曼圖的拼接為乘法，帶有Connes-Kreimer定義的余乘.

再設(shè)(A,P)為權(quán)為-1的羅巴代數(shù)，其中P為冪等羅巴算子.這時也稱A為冪等羅巴代數(shù).由此有分解

A=A+⊕A-，

其中

A-∶ =P(A),A+∶ =(Id-P)(A).

在量子場論中，(A,P)為例中的洛朗級數(shù)代數(shù)，

A-=t-kK[t-k],A+=K[[t]].

代數(shù)Birkhoff分解定理設(shè)H是聯(lián)通分次Hopf代數(shù)，(A,P)是權(quán)為-1的冪等羅巴代數(shù).設(shè)φ:H→A為一代數(shù)同態(tài),則φ有唯一的卷積分解

★φ+,

使得

φ-:H→K+A-,

φ+:H→K+A+

也是代數(shù)同態(tài).這樣有

φ+=φ-★φ.

φ+稱為重整化，φ-稱為抵消項.這個方程表述的意思是:φ中的發(fā)散通過φ-的發(fā)散消除了，得到收斂的φ+.

Connes和Kreimer的代數(shù)Birkhoff分解首先應(yīng)用于量子場論的重整化.在文獻(xiàn)[25-27]中，代數(shù)Birkhoff分解表述為羅巴代數(shù)中Atkinson分解的一個特例.通過代數(shù)Birkhoff分解，重整化方法被應(yīng)用于多元Zeta值的重整化[28-30]、錐Zeta值的重整化和黎曼積分的重整化[31-32].最近，代數(shù)Birkhoff分解被用于闡述量子場論中的局部化概念[33].

公開問題3給出各種局部代數(shù)的結(jié)構(gòu).

4.2經(jīng)典楊-巴克斯特方程和O-算子經(jīng)典楊-巴克斯特方程是量子楊-巴克斯特方程的經(jīng)典極限，是要求李代數(shù)的二階張量滿足的一個三階張量方程，它在可積系統(tǒng)中起著重要作用.對自對偶李代數(shù)和反對稱張量，經(jīng)典楊-巴克斯特方程的(張量)解等同于李代數(shù)上的權(quán)零羅巴算子，叫做經(jīng)典楊-巴克斯特方程的算子解.非常有趣的是引進(jìn)羅巴算子的巴克斯特是美國數(shù)學(xué)家G. Baxter，而引進(jìn)楊-巴克斯特的巴克斯特是澳大利亞物理學(xué)家R. Baxter.這看似巧合的更深層含義自20世紀(jì)80年代后一直被探討著.由此得出修改楊-巴克斯特方程和O-算子等概念，更被移植到結(jié)合代數(shù)的范疇[34-38].近年來的研究[39-41]將權(quán)零羅巴算子推廣的O-算子進(jìn)一步延拓到權(quán)非零羅巴算子推廣的權(quán)非零O-算子，得到O-算子和羅巴算子的共同推廣.由此得到經(jīng)典楊-巴克斯特方程和類似方程的更大一類解，并應(yīng)用于可積系統(tǒng).

一個基本問題是如何實現(xiàn)羅巴算子的量子化.它和量子楊-巴克斯特方程應(yīng)該有何關(guān)系？

4.3對稱函數(shù)和擬對稱函數(shù)作為Rota構(gòu)造的自由交換羅巴代數(shù)的應(yīng)用，他用抽象的Spitzer恒等式給出了組合中有名的、聯(lián)系基本對稱函數(shù)和冪對稱函數(shù)的Waring等式[9-10].他在多年前猜測[11]，羅巴代數(shù)應(yīng)該是對稱函數(shù)的最一般和最自然的推廣.之后，擬對稱函數(shù)和羅巴代數(shù)的聯(lián)系也建立起來[42].在文獻(xiàn)[43-44]中，羅巴代數(shù)等同于左弱和弱擬對稱函數(shù),這給出對Rota問題的一個解答.

公開問題4Rota猜測的一般情形仍然沒有解決.特別地對非交換羅巴代數(shù)和非交換對稱函數(shù)及其推廣的關(guān)系還有待進(jìn)一步研究.

4.4Operad(代算) 羅巴代數(shù)與Operad的聯(lián)系最初由Aguiar[45]發(fā)現(xiàn).在隨后的一系列工作中，這一聯(lián)系得到各種擴(kuò)展和推廣[37,46-47].在文獻(xiàn)[48-49]中建立了一般的Operad.這方面有一系列有關(guān)羅巴包絡(luò)代數(shù)的龐加萊-伯克霍夫-維特(PBW)定理的問題有待解決,相關(guān)研究進(jìn)展見文獻(xiàn)[50-52].

在經(jīng)典文獻(xiàn)[11,53]中，Rota提出其它有關(guān)Rota-Baxter代數(shù)的問題和猜想.微積分的2種代數(shù)化在文獻(xiàn)[54-56]中給出，分別稱為微分Rota-Baxter代數(shù)和微積分代數(shù).如何將微分代數(shù)和Rota-Baxter代數(shù)的廣泛研究擴(kuò)展到對這些代數(shù)結(jié)構(gòu)是一個有待展開的研究方向.