劉金江, 顏伏伍*, 杜常清

(1. 武漢理工大學 現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室, 湖北 武漢 430070 2. 汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心, 湖北 武漢 430070)

三元鋰離子電池具有比功率高、電化學性能穩(wěn)定、一致性好和低溫性能好等優(yōu)點,是最具發(fā)展前景的鋰離子動力電池.三元鋰離子動力電池的荷電狀態(tài)(SOC)估計算法得到了廣泛的研究.動力電池SOC的估計對于電池管理系統(tǒng)(BMS)的有效運行和人車交互起到至關(guān)重要的作用.高效精確的SOC估計可以提供給駕駛員準確的電池剩余電量的信息,還可以衡量動力電池系統(tǒng)的可靠性,同時為電池的充放電策略提供準確的數(shù)據(jù)基礎[1].

然而電動汽車動力電池的SOC受到如充放電電壓、電流、溫度、放電深度和老化程度等諸多因素的影響,為其精確的估算帶來了挑戰(zhàn).總體而言,SOC估計方法主要分為:常規(guī)算法、濾波算法和數(shù)據(jù)學習算法等.

SOC估計的常規(guī)算法包括開路電壓法和安時積分法等.開路電壓法簡單、易行,且精度較高,但開路電壓需要在動力電池達到平衡狀態(tài)下才能測得,而動力電池需要較長時間的靜置才能達到平衡狀態(tài)[2],因此不適用于動力電池SOC的在線估計.安時積分法較易實現(xiàn),且耗費的計算資源很少,然而,該方法較難確定SOC的初始值,一旦SOC的初始值有誤差,將會導致接下來的SOC估計會有累計誤差[3],這會造成估計精度越來越差.

SOC估計的濾波算法包括卡爾曼濾波算法及其改進算法[4-7],被廣泛應用于電池的SOC估計,具有良好的自我修正的能力,可以適應電流的急劇變化,但其估算精度嚴重依賴于電池等效電路模型的準確性,且運算量較大[8].

SOC估計的數(shù)據(jù)學習算法中,神經(jīng)網(wǎng)絡法可以通過已測得電池的外部數(shù)據(jù)進行SOC的估計,然而,該算法需要存儲大量的數(shù)據(jù)用于訓練模型,因此,需要耗費大量的內(nèi)存資源,有可能導致系統(tǒng)運行超載[9].支持向量機法具有較強的泛化能力,特別是對小樣本數(shù)據(jù)的函數(shù)估計,但該方法存在需要估計正則化參數(shù)、核函數(shù)必須滿足Mercer條件、所需核函數(shù)數(shù)量隨訓練集增大而顯著增加等不足[10].

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的另一種學習算法,相關(guān)向量機(RVM),在貝葉斯框架下進行訓練,為每一個權(quán)重值引入一個先驗超參數(shù),進行權(quán)重的約束,以避免出現(xiàn)過擬合,先驗參數(shù)可以由給定訓練數(shù)據(jù)迭代估計而來,在先驗參數(shù)的結(jié)構(gòu)下基于主動相關(guān)決策理論來移除不相關(guān)的點,從而獲得稀疏化的模型[11].在樣本數(shù)據(jù)的迭代學習過程中,大部分參數(shù)的后驗分布趨于零,與預測值無關(guān),那些非零參數(shù)對應的點被稱作相關(guān)向量,體現(xiàn)了數(shù)據(jù)中最核心的特征[12].同支持向量機相比,相關(guān)向量機最大的優(yōu)點就是極大地減少了核函數(shù)的計算量,并且克服了所選核函數(shù)必須滿足Mercer條件的缺點.文獻[8,12-13]均提出了基于RVM對電池進行SOC估計的方法,但是都沒有進行大樣本數(shù)據(jù)的預測,其中進行SOC估計時采用訓練樣本最大的是文獻[13],僅為180組,而實際上,BMS會對電池的各項數(shù)據(jù)進行實時采集,數(shù)據(jù)量比較大,因此必須考慮大樣本情況下基于RVM對三元鋰離子電池SOC的估計情況.

本文基于相關(guān)向量機研究了3種改進算法,即循環(huán)相關(guān)向量機、自回歸相關(guān)向量機和自回歸循環(huán)相關(guān)向量機對估算SOC的適用性的各自特點,采用了3 600組數(shù)據(jù)作為訓練樣本,同時采用另外3 600組數(shù)據(jù)作為預測樣本,從估算精度、擬合能力、泛化能力和運行速度等幾方面系統(tǒng)的對比分析了這3種改進算法與最小二乘支持向量機算法的優(yōu)劣.

1 相關(guān)向量機數(shù)學模型

相關(guān)向量機,是由Tipping[14]提出的監(jiān)督式學習算法,是一種非線性概率模型,預測模型

(1)

其中,x代表輸入向量,K(x,xi)≡φi(x)代表核函數(shù),{wn}代表模型的權(quán)重.

tn=y(xn;w)+n,

(2)

其中,tn服從均值為y(xn;w),方差為σ2的高斯分布,即

p(tn|x)=N(tn|y(xn),σ2).

由于tn是獨立的,其似然函數(shù)可以寫成

p(t|w,σ2)=(2πσ2)-N/2×

(3)

其中

t=(t1…tN)T,

w=(w0…wN),

Φ=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)]T,

φ(xn)=

[1,K(xn,x1),K(xn,x2),…,K(xn,xN)]T.

如果將所有的訓練數(shù)據(jù)均作為模型的參數(shù),那么在通過(3)式進行權(quán)重w和噪聲方差σ2的最大似然估計時將會導致嚴重的過擬合問題,為了避免此類情況的發(fā)生,通常的解決辦法是對參數(shù)施加一些額外的限制約束,例如給似然函數(shù)或者誤差函數(shù)添加復雜度懲罰項.在RVM算法中,采用先驗概率分布來進行權(quán)重w的約束,通常采用零均值高斯先驗分布:

(4)

其中,α是含有N+1個超參數(shù)的向量,每一個先驗超參數(shù)α都對應著一個權(quán)重w,它起到調(diào)節(jié)作用.定義先驗參數(shù)α為權(quán)重w的先驗超參數(shù),為了說明權(quán)重w的先驗超參數(shù)α,需要為α定義一個先驗分布,同時,為了說明噪聲方差,需要定義另一個先驗分布,這2個超參數(shù)的先驗分布一般采用伽馬分布.

(2π)-(N+1)/2|Σ|-1/2×

(5)

該后驗概率的協(xié)方差和均值分別為

Σ=(σ-2ΦTΦ+A)-1,

(6)

μ=σ-2ΣΦTt,

(7)

其中,A=diag(α0,α1,…,αN).

由(6)和(7)式可知,為了求得權(quán)重的估計值就要計算出其后驗概率分布的均值μ,而μ由協(xié)方差Σ給出,則必須先求出超參數(shù)α和β(令β=σ-2)的最佳取值,又知超參數(shù)的先驗分布在對數(shù)尺度上具有一致性,因此,問題實際轉(zhuǎn)化為最大化p(t|α,σ2),

L(α)=logp(t|α,σ2)=

(8)

其中協(xié)方差C=σ2I+ΦA-1ΦT.

則RVM的模型學習轉(zhuǎn)化為邊緣似然函數(shù)的對數(shù)(8)式對α、σ2的最大值的求解,即αMP和σ2MP.

通過邊緣似然函數(shù)的快速最大化方法[15],進行循環(huán)迭代,當超參數(shù)估計收斂,α、σ2均為最大值,即αMP和σ2MP時,基于權(quán)重的后驗分布對于新樣本數(shù)據(jù)x*進行目標值t*的預測:

(9)

由于(9)式中等式右邊兩項均為高斯積分,則有

(10)

y*=μTφ(x*)，

(11)

(12)

由此可知,對于數(shù)據(jù)x*的目標值t*的預測均值即為y(x*;μ),其中,基函數(shù)權(quán)重的后驗概率均值矩陣μ中,有很多項為零,這也是RVM稀疏性的保證.對于數(shù)據(jù)x*的目標值t*的預測方差包含兩部分,一是噪聲估計中的方差,二是由于權(quán)重預測的不確定性造成的方差.

2 三元鋰離子電池SOC估計

本文采用的三元鋰離子電池的額定容量16.4 Ah,放電截止電壓2.8 V,充電截止電壓4.35 V.通過電池測試設備在三元鋰離子電池充放電過程中,進行包括充放電電壓、電流、容量和溫度以及時間等數(shù)據(jù)的采集.本文選擇三元鋰離子電池放電過程中的3 600組數(shù)據(jù)以供模型學習使用,選擇另外3 600組數(shù)據(jù)以供驗證模型的估算精度.

由于輸入各變量和輸出變量的量綱不一致以及變化范圍差別較大,為了加快收斂速度,因此需要對采集的數(shù)據(jù)進行歸一化處理,即將放電電壓、放電電流、溫度、時間以及放電容量等數(shù)據(jù)映射到[0,1]范圍內(nèi),則有

(13)

其中,Di為原始數(shù)據(jù),Dn為歸一化后數(shù)據(jù),Dmax為數(shù)據(jù)中最大值,Dmin為數(shù)據(jù)中最小值.

基于RVM算法的SOC估計的計算流程圖如圖1所示[12].

圖 1 基于RVM算法的SOC估計的計算流程圖

在RVM學習算法中,要選擇適當?shù)暮撕瘮?shù),以將輸入空間映射到高維空間,常用的核函數(shù)有Sigmoid核函數(shù)、多項式核函數(shù)、線性核函數(shù)、徑向基核函數(shù)以及復合核函數(shù)等,其中徑向基核函數(shù)中的高斯核函數(shù)具有較強的非線性、可分性和局部性的優(yōu)點[12],本文選擇高斯核函數(shù)作為RVM學習算法中的核函數(shù):

,(14)

其中,xc為核函數(shù)中心,b為核函數(shù)的帶寬,控制函數(shù)的徑向作用范圍.

當以三元鋰離子電池的放電電壓、放電電流和溫度作為輸入,SOC作為輸出,進行基于RVM模型的學習,其過程如圖2所示.

本文采用了一種改進的RVM算法,即循環(huán)相關(guān)向量機(RC-RVM),與常規(guī)RVM不同之處在于,RC-RVM將前一時刻的輸出反饋到輸入,和輸入共同進行輸出的預測,即模型的學習.基于RC-RVM的SOC估計,以三元鋰離子電池的放電電壓、放電電流、溫度和前一時刻的SOC作為輸入,SOC作為輸出,進行模型的學習,其過程如圖3所示.采用該方法的優(yōu)勢在于,估計出的SOC值不會發(fā)生突變,是一種閉環(huán)形式的反饋機制,以此來提高SOC的估計精度.

圖 2 基于RVM的SOC估計示意圖

圖 3 基于RC-RVM的SOC估計示意圖

本文采用的另一種改進的RVM算法,即自回歸相關(guān)向量機(AG-RVM),與常規(guī)RVM不同之處在于,AG-RVM將前一時刻的輸入和現(xiàn)時刻的輸入共同進行輸出的預測,即模型的學習.基于AG-RVM的SOC估計,以三元鋰離子電池前一時刻和現(xiàn)時刻的放電電壓、放電電流和溫度作為輸入,SOC作為輸出,進行模型的學習,其過程如圖4所示.

圖 4 基于AG-RVM的SOC估計示意圖

采用該方法的優(yōu)勢在于,同時考慮了之前時刻和現(xiàn)時刻的電池數(shù)據(jù)對于SOC的影響,通過降低基礎數(shù)據(jù)的突變對于SOC估計的影響,來提高估計精度.

本文采用的最后一種改進的RVM算法,即自回歸循環(huán)相關(guān)向量機(AG-RC-RVM),與常規(guī)RVM不同之處在于,AG-RC-RVM將前一時刻的輸入和現(xiàn)時刻的輸入以及前一時刻的輸出共同作為輸入,進行輸出的預測.基于AG-RC-RVM的SOC估計,以三元鋰離子電池前一時刻和現(xiàn)時刻的放電電壓、放電電流、溫度以及前一時刻的SOC作為輸入,SOC作為輸出,進行模型的學習,其過程如圖5所示.

采用該方法的優(yōu)勢在于,可以綜合RC-RVM和AG-RVM的優(yōu)點,從而進一步提高估計精度.

圖 5 基于AG-RC-RVM的SOC估計示意圖

3 結(jié)果與分析

本文采用最大誤差(ME)和均方根誤差(RMSE)來評估RVM模型的擬合能力和泛化能力.ME和RMSE分別為

ME=maxi(|f(xi)-yi|),

(15)

(16)

取核函數(shù)的帶寬值b=0.25,分別通過常規(guī)RVM算法、RC-RVM算法、AG-RVM算法和AG-RC-RVM算法對3 600組訓練數(shù)據(jù)進行學習、建模,并對另外3 600組數(shù)據(jù)進行預測,將擬合ME、擬合RMSE、預測ME、預測RMSE、運行時間、迭代次數(shù)、支持向量數(shù)列表如表1所示.

表 1 4種算法的各項性能指標對比

由表1可知,RC-RVM算法、AG-RVM算法和AG-RC-RVM算法相比于常規(guī)RVM算法在預測精度方面均有較大提升,泛化能力增強,而運行時間則進一步縮短,其中,AG-RC-RVM算法表現(xiàn)最佳.

在RVM學習算法中,由于高斯核函數(shù)的帶寬對學習模型的稀疏性、擬合與泛化能力具有較大影響,因此帶寬選擇的不同會導致學習模型的各項性能指標千差萬別,本文通過選擇不同的帶寬,分別基于常規(guī)RVM、RC-RVM、AG-RVM和AG-RC-RVM進行了模型的學習,以擬合ME、擬合RMSE、預測ME、預測RMSE、迭代次數(shù)、支持向量數(shù)、運行時間為性能指標進行了試驗,結(jié)果如圖6所示.

通過分析圖6可知,隨著高斯核函數(shù)帶寬的從小到大,各種RVM所需支持向量數(shù)逐漸減少,即稀疏性越來越好;而擬合誤差逐漸增大,即擬合效果越來越差;估算誤差逐漸降低,到帶寬值為0.55左右后又呈現(xiàn)震蕩趨勢,即泛化能力越來越好,到帶寬值為0.55左右后又呈現(xiàn)不確定狀態(tài).由分析可知,帶寬對各種RVM算法的影響較為復雜,并不是嚴格意義上的線性相關(guān),但是通過分析對比可以得出,AG-RC-RVM相較于另外3種RVM算法,在各項性能指標方面均有較大提升,尤其在帶寬值為0.55時,擬合誤差、估算誤差均在1%以內(nèi),估算精度最高,而僅需9個支持向量,運行時間僅需0.67 s(如圖7所示).

圖 7 核函數(shù)帶寬為0.55時基于AG-RC-RVM的SOC估計的各項性能指標

綜上所述,可以得出核函數(shù)帶寬值為0.55時的基于AG-RC-RVM的SOC估計算法具有快速、高效、精度高和泛化能力強等特點.文獻[16]提出了基于最小二乘支持向量機(Least Square Support Vector Machine, LS-SVM)的SOC估計算法,驗證結(jié)果表明,該模型具有較高的預測精度,即便在有噪聲干擾的情況下也可以快速進行SOC估計.本文選擇LS-SVM與常規(guī)RVM以及本文提出的3種改進RVM算法進行各項性能指標的對比試驗.5種算法的擬合曲線、預測曲線、擬合誤差曲線和預測誤差曲線如圖8所示.

圖 8 5種學習算法的各項性能指標對比

5種算法的各項性能指標如表2所示.

表2 5種算法的各項性能指標

通過對比分析可知:

1) 在稀疏性方面,RC-RVM所需支持向量數(shù)最少,僅為9個,因此稀疏性最好,而LS-RVM需要26個支持向量,為另外4種算法的3倍左右,稀疏性較差.

2) 在擬合能力方面,通過對擬合ME和擬合RMSE的分析可知,AG-RC-RVM和LS-SVM的擬合誤差均在1%以內(nèi),擬合能力遠超其他3種算法.

3) 在預測性能即泛化能力方面,通過對預測ME和預測RMSE的分析可知,AG-RC-RVM和LS-SVM的預測誤差均在1%以內(nèi),泛化能力遠超其他3種算法.

4) 在運行速度方面,通過對比運行時間可以發(fā)現(xiàn),LS-SVM所需要的運行時間遠遠超過另外4種算法,運行速度較慢,這是由于SVM隨著訓練樣本的增加,會導致模型更加復雜,需要占用大量的計算資源和運行時間所致.

綜上分析,可以得出,基于AG-RC-RVM算法的SOC估計,是5種算法里綜合性能最佳的結(jié)論.

4 結(jié)論

本文將RVM算法運用到三元鋰離子電池的SOC估計之中,對比研究了改進后的RVM算法,即RC-RVM、AG-RVM和AG-RC-RVM算法,再與當前應用比較廣泛的LS-SVM算法進行比較后,綜合分析得出,AG-RC-RVM算法具有較好的稀疏性,通過數(shù)據(jù)學習所得模型較為簡單,所占用計算資源較少,所需計算時間較短,而且擬合誤差和預測誤差均在1%以內(nèi),具有非常好的擬合能力和泛化能力.從而得出,基于AG-RC-RVM算法的三元鋰離子電池的SOC估計方法,具有精度高、擬合與泛化能力強和運行速度快等優(yōu)點.