李丹楊 吳駿

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的重要組成部分，承載著建構(gòu)空間觀念、發(fā)展幾何直觀的重任。目前高中已將空間觀念和幾何直觀歸結(jié)為直觀想象，作為六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分之一進(jìn)行討論，義務(wù)教育初中階段亦沿用此方式。小學(xué)階段則將空間觀念作為核心素養(yǎng)，幾何直觀視為空間觀念的衍生素養(yǎng)進(jìn)行素養(yǎng)架構(gòu)。本文從空間觀念入手，以現(xiàn)有人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”內(nèi)容為例，進(jìn)行教材分析，并利用學(xué)科核心素養(yǎng)水平評(píng)價(jià)框架對(duì)其做出劃分。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的空間觀念

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，與空間觀念關(guān)系最為密切的內(nèi)容，當(dāng)屬“圖形與幾何”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，空間觀念主要包括以下幾個(gè)內(nèi)容：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形。依據(jù)該描述，可以把小學(xué)數(shù)學(xué)中的空間觀念簡述為四個(gè)方面：抽象圖形，描述物體；想象方位與位置關(guān)系；描述圖形運(yùn)動(dòng)變化；畫圖。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中涉及“圖形與幾何”的部分共25個(gè)單元，包括圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)以及圖形與位置四個(gè)方面的內(nèi)容。對(duì)人教版小學(xué)教材“圖形與幾何”內(nèi)容中的空間觀念梳理如表1所示。

由表1可見，“圖形與幾何”內(nèi)容中空間觀念的呈現(xiàn)具有以下特征：

第一，從二年級(jí)起，同一個(gè)部分的幾何內(nèi)容，往往承擔(dān)兩個(gè)或兩個(gè)以上的空間觀念素養(yǎng)要求的培養(yǎng)任務(wù)。例如，在《角的初步認(rèn)識(shí)》單元中，教材利用例1、例3、例5進(jìn)行“角的抽象、角的分類和角的大小比較”，體現(xiàn)了“抽象圖形，描述物體”的空間觀念要求；例2、例4和例6的“直尺和三角板畫角操作”，則體現(xiàn)了“畫圖”的空間觀念要求。

第二，“圖形與幾何”教材內(nèi)容中，空間觀念的各個(gè)方面均有所呈現(xiàn)，其中抽象圖形，描述物體，以及畫圖出現(xiàn)次數(shù)較多，分別為13次和11次；想象方位與位置關(guān)系描述，以及圖形運(yùn)動(dòng)變化出現(xiàn)次數(shù)較少，分別為6次和4次?？梢?，教材更注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，而難度較大的空間想象能力則較少。

第三，教材中空間觀念與幾何直觀的培養(yǎng)相伴而行。教材中涉及測(cè)量和圖形位置關(guān)系的單元，更多地是想借助數(shù)字進(jìn)行圖形的測(cè)量或者圖形位置的描述，這是一種幾何直觀要求的體現(xiàn)。從一到六年級(jí)來看，教材中幾何直觀的要求隨著空間觀念內(nèi)涵的豐富而越來越明確，最終形成數(shù)形結(jié)合的思想。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中空間觀念的形成方式

1.從生活實(shí)物到幾何圖形，再到生活運(yùn)用。分析教材中的例、習(xí)題可見，教材中空間觀念的形成，通常是通過我們生活的三維世界來認(rèn)識(shí)圖形（立體圖形），之后抽象簡化成平面基本圖形，分析圖形的結(jié)構(gòu)、位置、性質(zhì)、分類、測(cè)量、變換等數(shù)學(xué)特征，再還原運(yùn)用到三維世界的一個(gè)螺旋上升式的學(xué)習(xí)過程（如圖1）。例如，一年級(jí)上冊(cè)我們首先從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)生活中的立體圖形——“認(rèn)識(shí)圖形（一）”單元；之后在下冊(cè)中分解我們認(rèn)識(shí)到的立體圖形的各個(gè)側(cè)面，從而了解平面圖形——“認(rèn)識(shí)圖形（二）”單元，為二年級(jí)開始的平面圖形的深入學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備；最后到六年級(jí)又回歸到立體圖形的學(xué)習(xí)——“圓柱與圓錐”單元。

2.幾何發(fā)展史的邏輯沿襲。教材中，“圖形與幾何”的內(nèi)容順序與學(xué)習(xí)方式基本沿襲了數(shù)學(xué)中幾何發(fā)展的邏輯過程。內(nèi)容的順序方面，教材從基本的點(diǎn)、線、角圖形出發(fā)，再到三角形、圓這類基本平面圖形，最后認(rèn)識(shí)圓柱與圓錐等一些常見立體圖形。學(xué)習(xí)的方式方面，結(jié)合小學(xué)生學(xué)習(xí)特征，教材采用古人最初認(rèn)識(shí)幾何圖形的方式，以直觀幾何和經(jīng)驗(yàn)幾何的研究方法為主，多利用實(shí)驗(yàn)幾何方式形成空間觀念，僅在小學(xué)高段教材中，略微滲透一些演繹幾何內(nèi)容。

3.螺旋上升式的單元內(nèi)容。相較于空間觀念中圖形抽象和畫圖部分的教材表述而言，教材對(duì)圖形位置和圖形變化的編排，更為結(jié)構(gòu)化，以顯而易見的螺旋上升的形式呈現(xiàn)內(nèi)容，但從該部分教材各年級(jí)分冊(cè)的單元命名情況來看，還需進(jìn)一步完善，例如一年級(jí)上冊(cè)和五年級(jí)上冊(cè)教材中均出現(xiàn)了“位置”單元，但其呈現(xiàn)的內(nèi)容顯然不同，但又相互聯(lián)系，是否可以考慮如三年級(jí)下冊(cè)和六年級(jí)上冊(cè)的命名方式，位置分為（一）、（二）兩部分進(jìn)行，從而更好地體現(xiàn)12冊(cè)書中知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。此外在圖形變化方面，教材擬通過“圖形的運(yùn)動(dòng)”這樣類似的單元，建立最基礎(chǔ)樸素的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)觀念，從低段的辨別三種基本變化，再到高年級(jí)段的借助畫圖等方式，感受變化當(dāng)中的規(guī)律和不變量，逐漸提升空間想象力。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教材中空間觀念的水平劃分

核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)離不開素養(yǎng)水平的劃分，空間觀念的要求均隨著年級(jí)和內(nèi)容理解深入的加深，而要求升級(jí)。借助學(xué)科核心素養(yǎng)水平分析框架，可將教材中的空間觀念素養(yǎng)水平分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)方面。其中知識(shí)理解指的是學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)的本質(zhì)、類屬以及與其他知識(shí)之間的種種聯(lián)系的理解；基本技能的形成和發(fā)展兩個(gè)方面。知識(shí)的遷移指知識(shí)在新情境中的應(yīng)用以及知識(shí)的綜合應(yīng)用兩方面。知識(shí)的創(chuàng)新包含兩層含義，一方面是：學(xué)習(xí)者能夠解決一些非常規(guī)開放性；或者產(chǎn)生超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識(shí)；或者對(duì)問題進(jìn)行推廣與變式得到一個(gè)新問題。另一方面是：學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思維看待和處理一些現(xiàn)實(shí)生活中的問題。以教材中“圖形與位置”的內(nèi)容為例，參考課程標(biāo)準(zhǔn)以及一線教師和人教版教材解讀資源對(duì)該內(nèi)容的陳述，可將其對(duì)應(yīng)的空間觀念按素養(yǎng)水平進(jìn)行分析，如下表2。

由表2可見，空間觀念的素養(yǎng)水平有如下特征：

首先，縱向上看，相同水平的知識(shí)素養(yǎng)要求隨著年級(jí)的遞增而呈螺旋上升的趨勢(shì)。以“知識(shí)理解”水平為例，描述位置的要求隨著年級(jí)的增加而越來越精確，從起初的簡單方位，到小學(xué)高段的會(huì)利用數(shù)對(duì)、距離和角度描述圖形位置，掌握描述位置的數(shù)學(xué)方法，提高空間想象的能力。

其次，橫向上看，相同年級(jí)“圖形與位置”的內(nèi)容要求，從知識(shí)理解、知識(shí)遷移到知識(shí)創(chuàng)新難度逐漸增加。例如，六年級(jí)上冊(cè)的“位置與方向（二）”單元中，要求在掌握確定位置的方法基礎(chǔ)上，還需繪制和描述簡單的線路圖，從中提升數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用能力，以形成可遷移、可應(yīng)用的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言精確描述和確定生活中的位置。

最后，雖然空間觀念素養(yǎng)的三個(gè)水平要求各有不同，但教材在實(shí)現(xiàn)水平較高的要求時(shí)（通常是知識(shí)遷移或知識(shí)創(chuàng)新方面），教材亦會(huì)先回歸到最初的知識(shí)理解水平內(nèi)容創(chuàng)造背景，先進(jìn)行消化和吸收，再逐步上升到較高水平，這樣便于學(xué)生學(xué)習(xí)和理解。例如，當(dāng)教材在遇到很難根據(jù)一個(gè)方位，推出其他方位時(shí)，教師便會(huì)引導(dǎo)學(xué)生折回至依據(jù)具體情境認(rèn)識(shí)八個(gè)方位，用詞描述方位的知識(shí)理解水平，強(qiáng)化認(rèn)知，再進(jìn)一步理解更難的內(nèi)容。

總之，空間觀念是數(shù)學(xué)臆測(cè)的載體，利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。教材對(duì)空間觀念的呈現(xiàn)體現(xiàn)了幾何思維水平從視覺、分析到非形式化演繹的過程?？臻g觀念的形成雖伴隨幾何教學(xué)，但不止于幾何教學(xué)，教材從生活中的數(shù)學(xué)出發(fā)，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)化的過程。