錢怡

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)需要關(guān)注學(xué)生的思維能力培養(yǎng)，思維能力的培養(yǎng)需要尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?！胺?jǐn)?shù)”作為小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有基于認(rèn)知規(guī)律研究學(xué)生思維能力培養(yǎng)的價(jià)值。在比較的過程中，在數(shù)學(xué)建模與數(shù)形的結(jié)合中，都可以找到思維能力培養(yǎng)的空間。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；思維能力；分?jǐn)?shù)

六年級(jí)學(xué)生將要進(jìn)入總復(fù)習(xí)階段，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編排上根據(jù)各年齡段學(xué)生的心理特征和認(rèn)知特征，在各個(gè)學(xué)年段分別對(duì)于數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率和實(shí)踐與綜合應(yīng)用等方面進(jìn)行了循序漸進(jìn)的編排，但是學(xué)生感覺數(shù)學(xué)知識(shí)是零散的。如何讓孩子有效掌握知識(shí)體系，把12本數(shù)學(xué)書讀薄，形成自我的知識(shí)體系，達(dá)到知識(shí)的“內(nèi)化”，是筆者與課題研究組的成員關(guān)注的重點(diǎn)。

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。課程基本理念還強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，要注意培養(yǎng)學(xué)生的良好數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。此文僅以分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)這一教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)劰P者對(duì)知識(shí)的整理與重組的一些思索，以方便他們對(duì)知識(shí)記憶、提取及思考。

一、基于比較思維的能力培養(yǎng)

（1）分?jǐn)?shù)概念的建立中的比較思維

分?jǐn)?shù)一般分為兩類，一類是表示具體數(shù)量的，如“1/3千克、2/5升”；還有一類是分率，表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，如男生人數(shù)是女生的3/4。剛開始接觸時(shí)，學(xué)生很容易混淆，建議學(xué)生觀察它們的特征。最明顯的特征：表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)后面可以加上單位名稱，而表示分率的分?jǐn)?shù)后面不可以添加單位名稱。

表示數(shù)量的分?jǐn)?shù)，和以往所學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)一樣，可以表示事物的長度、面積、運(yùn)行的速度等，而分?jǐn)?shù)區(qū)別于小數(shù)和整數(shù)的是，它以分率的形式存在，可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。要讓六年級(jí)的學(xué)生領(lǐng)悟到這跟低年級(jí)學(xué)習(xí)的“倍”有著類似的意義。

比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，在與低年段“倍”的知識(shí)比較中，學(xué)生領(lǐng)悟到兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系可以分為差的關(guān)系和倍的關(guān)系。以一個(gè)數(shù)為參照，另一個(gè)數(shù)比這個(gè)數(shù)大，就是這個(gè)數(shù)的幾倍，如果比這個(gè)數(shù)小，就是這個(gè)數(shù)的幾分之幾，而這個(gè)作為參照的數(shù)就是單位“1”的量，“幾分之幾”這個(gè)分?jǐn)?shù)就表示了這兩個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系的分率，另一個(gè)數(shù)就是比較量或分率的對(duì)應(yīng)量。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)作為一個(gè)數(shù)量，在解決問題時(shí)與整數(shù)、小數(shù)類似，所以本文著重研究分?jǐn)?shù)作為分率的問題。在比較中，學(xué)生了解了知識(shí)的形成過程，把握了知識(shí)的本質(zhì)及內(nèi)在規(guī)律。

（2）分?jǐn)?shù)、除法和比的聯(lián)系

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、除法和比之間有著密切的聯(lián)系，學(xué)生只有經(jīng)過系統(tǒng)地整理復(fù)習(xí)，學(xué)會(huì)知識(shí)的系統(tǒng)化、條理化，使其成為一個(gè)有機(jī)的整體，才能在解題時(shí)融會(huì)貫通、運(yùn)用自如。分?jǐn)?shù)的分子就相當(dāng)于除法的被除數(shù)、比的前項(xiàng)；分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除法的除號(hào)、比的比號(hào)；分?jǐn)?shù)的分母相當(dāng)于除法的除數(shù)、比的后項(xiàng)。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)以及商不變的規(guī)律都有著內(nèi)在的聯(lián)系。通過橫向比較，更能理解它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成自己的知識(shí)體系，在比較中嘗試抽象概括，實(shí)現(xiàn)感知的升華，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

（3）“倍”、按比例分配與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

對(duì)于畢業(yè)班的學(xué)生來說，“倍”與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題以及按比例分配應(yīng)用題等解決問題，不僅僅是求出問題的結(jié)果，最有價(jià)值的學(xué)習(xí)是找出各種解題方法之間的關(guān)系。

這類應(yīng)用題中都會(huì)有一個(gè)介紹兩個(gè)數(shù)量之間倍數(shù)關(guān)系的句子，我們稱之為關(guān)鍵句，每次解題之前都要求學(xué)生先通過分析關(guān)鍵句來了解數(shù)量之間的關(guān)系。首先要找到單位“1”的量，有的可以在關(guān)鍵句中直接找到單位“1”的量，如“女生占全班人數(shù)的5/9”，其中全班人數(shù)就是單位“1”的量。在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生在“全班人數(shù)”下面畫兩條橫線，“女生”下面畫三角形符號(hào)。分清數(shù)量關(guān)系后，依據(jù)單位“1”的量×分率=分率的對(duì)應(yīng)量（單位“1”的量×倍數(shù)=比較量）來解決問題，問題即可迎刃而解。若單位“1”是已知的，我們可以直接用這個(gè)數(shù)量關(guān)系式求得對(duì)應(yīng)量；若單位“1”是未知的，我們則可以用方程來解決，當(dāng)然也可以用分率的對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)的分率，得到單位“1”的量。

如果關(guān)鍵句出現(xiàn)在問題中，即此題就是要求兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系是什么，我們一般用“分率的對(duì)應(yīng)量÷單位1的量=分率”。為了便于孩子記憶，上課時(shí)我們經(jīng)常說成A占B的幾分之幾（或百分之幾），用A除以B（如果分率的對(duì)應(yīng)量與單位“1”是部分與整體的關(guān)系，我們就說A占B的幾分之幾，或者A是B的幾分之幾；如果A與B是兩個(gè)數(shù)量，那么我們就說A相當(dāng)于B的幾分之幾或百分之幾，如男生相當(dāng)于女生的五分之四，男生占全班的九分之四）。

我們還把重點(diǎn)放在關(guān)鍵句上，仍以“男生人數(shù)相當(dāng)于女生的4/5”為例，依據(jù)上面所述的方法，我們可以找到其中女生人數(shù)為單位“1”的量，而男生人數(shù)就為分率4/5的對(duì)應(yīng)量。4/5是指把單位“1”的量平均分成5份，表示這樣的4份的量，我們來理解一下，這就相當(dāng)于把單位“1”的量平均分成了5份，而對(duì)應(yīng)量就有這樣的4份，由此還能推出男生人數(shù)：女生人數(shù)=4∶5。有些學(xué)生慢慢發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)分率中，分?jǐn)?shù)線表示平均分，分率中的分母就表示單位“1”的量平均分的份數(shù)，而分子表示分率的對(duì)應(yīng)量平均分的份數(shù)。知道了這點(diǎn)后，學(xué)生就可以從一個(gè)分率或百分率看出兩個(gè)數(shù)量之間比的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化成“倍”與按比例分配的問題來解決。課堂上，當(dāng)筆者引導(dǎo)學(xué)生自己觀察、發(fā)現(xiàn)、比較，進(jìn)一步抽象、概括出分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中數(shù)量之間的這層關(guān)系后，學(xué)生的眼睛都亮了，迫不及待想要獲取新知，說出自己的解題思路。這種情感體驗(yàn)是孩子們愛上數(shù)學(xué)的原動(dòng)力，能促使他們積極主動(dòng)地選擇自己喜歡的方法來解決問題。

愛因斯坦曾經(jīng)說過：“教育應(yīng)該使提供的東西，讓學(xué)生作為一種寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務(wù)要他負(fù)擔(dān)?！睂?duì)于高年級(jí)的學(xué)生來說，創(chuàng)設(shè)情境固然能激起他們的學(xué)習(xí)興趣，但由自己的探索獲得的發(fā)現(xiàn)更能激起他們對(duì)于學(xué)習(xí)的積極體驗(yàn)，這種體驗(yàn)更是學(xué)生知識(shí)“內(nèi)化”的過程，能促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。很多現(xiàn)象顯示，數(shù)學(xué)思想方法清晰度高的學(xué)生，解題思路清晰，并且準(zhǔn)確率也高，反之則會(huì)大大降低學(xué)習(xí)效率。

二、基于數(shù)學(xué)建模的能力培養(yǎng)

正如上文提到的，在分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，我們?cè)诮鉀Q問題之前一定要理解數(shù)量之間的關(guān)系，根據(jù)單位“1”的量×分率=分率的對(duì)應(yīng)量，能很快列出數(shù)量關(guān)系式，同時(shí)知道以此引申出的兩個(gè)變式，這就是一種數(shù)學(xué)建模。我們?cè)谛W(xué)階段還會(huì)遇到很多行程問題、工程問題，作為高年級(jí)的學(xué)生，我們?cè)趯W(xué)習(xí)中逐漸形成了“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”“速度和×?xí)r間=路程”這樣的建模，并了解了它們?cè)谝欢l件下有著正、反比例關(guān)系，這就是我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)之一。

蘇教版數(shù)學(xué)教材在每學(xué)年教學(xué)內(nèi)容的編排上都安排了《解決問題的策略》這一重要內(nèi)容，其中轉(zhuǎn)化是一個(gè)重要思想，也是解決問題的重要策略，可以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，使解法更加靈活多變。

例如：上面所提到的“男生相當(dāng)于女生人數(shù)的4/5”這個(gè)關(guān)鍵句，當(dāng)我們分析清楚其中單位“1”的量及對(duì)應(yīng)量，把它轉(zhuǎn)化成男生人數(shù)∶女生人數(shù)=4∶5后，下面的問題就變得簡(jiǎn)單許多。

（1）女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？

（2）女生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

（3）男生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的幾分之幾？

（4）女生比男生多幾分之幾？

（5）男生比女生少幾分之幾？

無論問題如何變化，都可以轉(zhuǎn)化成“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，如果再加上一個(gè)已知條件，無論是知道男生人數(shù)、女生人數(shù)，還是知道男生、女生人數(shù)的和或者差，都可以很容易地求出其他的數(shù)量。

在解決較為復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想更能把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。通過轉(zhuǎn)化，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，得到更加靈活多變的解法。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)教材第11冊(cè)上有這樣一道思考題：

“某興趣小組原來的女生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的1/3，后又轉(zhuǎn)來6名女生，現(xiàn)在女生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的4/9，現(xiàn)在有女生多少人？”

出示題目后，有部分孩子舉手了，列出了算式“6÷（4/9-1/3）”，這樣的解法固然是錯(cuò)誤的，但錯(cuò)在哪里呢？4/9和1/3這兩個(gè)分率是不可以相加減的，在出現(xiàn)這個(gè)錯(cuò)誤時(shí)，教師沒有立刻指出，而是就錯(cuò)誤引申了分率作為一類數(shù)的特性。首先，分率只可以跟分率相加減，如“一棵高80厘米的小樹長高20%后，高多少厘米”中，我們不可以直接用“80+20%”，也就是說，分率只可以跟分率相加減。其次，分率之間如果要比較大小，得在單位“1”統(tǒng)一或相同的情況下比較。例如這樣一道判斷題：“小明完成了家庭作業(yè)的1/2，小亮完成了家庭作業(yè)的50%，他們完成的作業(yè)一樣多。”題目設(shè)置了“陷阱”，沒有說明小明和小亮是否是同一個(gè)班級(jí)的，即作業(yè)的總量是否相等，那就導(dǎo)致單位“1”不一定相等，也就無法通過兩個(gè)分率來比較作業(yè)完成量的多少。再次，既然單位“1”統(tǒng)一的情況下才可以通過分率比較兩個(gè)數(shù)量的大小，同理，單位“1”統(tǒng)一的情況下，兩個(gè)分率才可以相加減。所以，這道題中的分率“1/3和4/9”的單位“1”雖然都是總?cè)藬?shù)，但兩次的總?cè)藬?shù)是不相等的，也就是單位“1”不統(tǒng)一，所以我們不可以像這樣列式。

既然如此，我們就不能把總?cè)藬?shù)看作“參照物”，也就是單位“1”，那么該把什么看成單位“1”呢？此時(shí)我們就可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，抓住其中一個(gè)不變的量——男生人數(shù)，作為單位“1”，把所知道的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化成“女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的1/2，又轉(zhuǎn)來6個(gè)女生后，女生人數(shù)相當(dāng)于男生人數(shù)的4/5”，這樣就找到了所知數(shù)量“6個(gè)女生”相對(duì)于“男生人數(shù)”的分率是“4/5-1/3”的差，那么題目也就迎刃而解了。

同理，這道題還可以轉(zhuǎn)化成“比”來解決問題。當(dāng)然，還是要抓住這其中不變的量——男生人數(shù)，通過轉(zhuǎn)化，我們不難發(fā)現(xiàn)，原先“男生人數(shù)∶女生人數(shù)=2∶1”，后又轉(zhuǎn)來6個(gè)女生，這時(shí)“男生人數(shù)∶女生人數(shù)=5∶4”，根據(jù)比的基本性質(zhì)，我們把不變的量，即男生人數(shù)這個(gè)數(shù)量在兩個(gè)比中的數(shù)化成相同的數(shù)，則前一個(gè)比為“男生人數(shù)∶女生人數(shù)=10∶5”，女生增加后，“男生人數(shù)∶女生人數(shù)=10∶8”。很明顯，女生人數(shù)增加了3份，這三份對(duì)應(yīng)的數(shù)量就是6個(gè)女生，最后的問題還可以結(jié)合按比例分配一步求出。

在解決問題的過程中，學(xué)生是否能主動(dòng)積極地運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，不固守于題目的闡述，是解決類似問題的突破口。

三、基于數(shù)形結(jié)合的能力培養(yǎng)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)在教材編排中揭示有關(guān)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)這種比較抽象的概念時(shí)，都聯(lián)系了圖形，對(duì)應(yīng)的圖形從一個(gè)整體圖形到幾個(gè)圖形為一個(gè)整體，從具體的物體圖到抽象的幾何圖，進(jìn)而再抽象到線段圖，這種數(shù)形結(jié)合的方法循序漸進(jìn)地培養(yǎng)了孩子的思維能力，貼合孩子的認(rèn)知發(fā)展。所以，對(duì)于簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，我們拼接數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)孩子快速解決問題的能力，而對(duì)于稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，當(dāng)孩子在思考中產(chǎn)生疑惑或者困難時(shí)，數(shù)形結(jié)合的方法讓我們更直觀地看出各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。

例如：一本書，小軍第一天看了1/5，第二天看了余下的1/4，哪一天看得多？

首先要比多少，我們只知道兩天各自看的相對(duì)的分率，并不知道具體的數(shù)量，依據(jù)前面我們提到的，單位“1”不統(tǒng)一的分率是不能直接比較大小的，很多孩子都束手無策。如何解決問題呢？根據(jù)前面所提到的，我們應(yīng)該運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想統(tǒng)一單位“1”，因?yàn)榈谝惶炜春笥嘞铝巳珪?/5，所以余下的1/4，就是全書4/5的1/4，也就是全書的1/5，因此可以看出，這個(gè)量和第一天所看的量是相等的。但這樣的方法并不適用于所有學(xué)生，有部分學(xué)生對(duì)于余下的1/4為什么就是全書的1/5，仍然疑惑不解，這時(shí)如果我們引導(dǎo)孩子自己用數(shù)形結(jié)合的方法，就能借助直觀的圖形，慢慢形成自己的抽象思維。

通過循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)以及各種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生將把小學(xué)階段12本數(shù)學(xué)書上的知識(shí)通過各種數(shù)學(xué)方法建構(gòu)起知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成自己的知識(shí)體系，把12本數(shù)學(xué)書讀厚。