朱潔芬

摘 要：對于筆算教學來說，其程序性、機械性常常引發(fā)教師對教學的簡單理解。如何讓筆算教學走出功利性地掌握“算術”的局限，走向數學能力與素養(yǎng)提升的境界，需要握好“四理”：即認知之心理、法則之算理、應用之情理、多法之原理。多維視角下的“四理”教學，能有效推動兒童對筆算學習的監(jiān)控、理解和運用。

關鍵詞：四理；心理；算理；情理；原理

所謂筆算，一般指豎式計算。在計算機（器）尚未誕生的時代，以紙筆為計算工具的筆算對數學發(fā)展具有重要價值。其程序化處理讓人類得以從復雜的計算中解放出來，走進更高層面的思維創(chuàng)造。然而，對于筆算教學來說，其程序性、機械性似乎也引發(fā)了教師對教學的簡單理解。如何讓筆算教學走出功利性地掌握某種“算術”的局限，走向數學能力與素養(yǎng)提升的境界，筆者認為，在教學過程中要握好“四理”：即認知之心理、法則之算理、應用之情理、多法之原理。下面以“筆算兩、三位數乘一位數（連續(xù)進位）”一課為例做簡要分析。

一、認知之心理

筆算兩、三位數乘一位數（連續(xù)進位）是筆算乘法的一個難點。如果立足學生的視角，聯系認知心理學分析，可以發(fā)現：每次都要進位，學生頭腦中工作記憶的容量陡然增加了。因而該內容的學習在學生那里遠沒有成人那么容易。或許，這也是蘇教版將該內容從二年級調整到三年級的一個重要原因。近幾年，在使用修訂版教材的過程中筆者發(fā)現，雖然該內容后移了一個學段，而且經由不進位乘到不連續(xù)進位乘等充分準備后學習，其即時檢測和延時檢測的效果仍然不理想。

其實，如果進一步研究學生的錯誤可以發(fā)現，學生主要是對其中反復實施的一種兩步口算——邊乘邊加，理不清、算不準，尤其在相加又出現進位時更容易出錯。再深究每一步的認知策略和認知負荷可以發(fā)現，先要借助乘法口訣直接提取得數，相加時一方面要存儲相乘的得數，另一方面還要運算兩位數加一位數，這樣就需要較大的心理容量作支持；如果這種進位連續(xù)發(fā)生，后續(xù)進位時對記憶容量的要求會更高。

這樣看來，要改善這種連續(xù)進位乘的教學效果，就需要引導學生對每一步運算進行具體分析，聚焦認知負荷較大的環(huán)節(jié)，實施有效監(jiān)控。所以在學生會用豎式計算48×4，372×9等算式后，不能就此收手，應引導學生對計算過程進行反思：連續(xù)兩次或三次進位時，最有可能在第幾次進位時出錯？為什么？引導學生關注后續(xù)進位，關注關鍵節(jié)點——乘加口算，如圖1和圖2。對于圖2這種連續(xù)三次以上進位的，要進一步引導學生比較：在后面的連續(xù)兩次進位中，哪一次更容易出錯？為什么？引導學生聚焦認知負荷最大的一步——邊乘邊加后又要進位的，從而學會合理分配頭腦中有限的認知容量。

二、法則之算理

由于加法在標準化筆算乘法中處于隱藏狀態(tài)，再加上不少教師在不進位乘和不連續(xù)進位乘教學中算理分析的蜻蜓點水和分步算法的快速簡化，使得學生對乘法筆算中為什么要有加法的參與并未真正理解，印象也就不太深刻。隨著練習量加大，技能自動化，筆算乘法與加法的聯系漸趨弱化，最終在某些學生的頭腦中必不可少的加法演化成了一種可有可無的操作程序。其實，無論是進位數的忘加或錯加，本質上都是對筆算乘法中加法的忽視，是對部分積損失的無視。缺失了算理分析的法則教學，引導學生漸漸走向了盲目追求程序化、自動化的誤區(qū)，最終喪失了對法則的概念性理解。

修正上述錯誤，除對關鍵程序實施針對性監(jiān)控和強化外，弄清算法程序背后的“理”是一條根本途徑。當然，對于已有一定算理基礎的兩三位數乘一位數連續(xù)進位筆算教學，不必花費很多力氣刻意介入。不妨結合錯例講評，引導學生自主展開分析過程。如有學生忘記加進位數（如圖3），可以通過提問觸發(fā)對算理的思考：表面上看是第二次相乘以后忘記加進位數3，其實丟失的是第幾次相乘的結果？（第一次）丟失了多少？（30）相機將圖3展開為圖4，進而修正為圖5。正本清源的算理分析讓乘法筆算中隱蔽的加法得以顯現，讓進位數與其所在部分積的聯系得以展現，更讓進位數漏加的嚴重后果得以震撼呈現。

此外，還有一種錯誤（如圖6），本質上也是算理不清，不理解“16”和“3”的計數單位是相同的，兩者本應合并。此類錯誤不少教師曾嘗試讓學生通過估算去監(jiān)控，如估算積大約是多少或者積是幾位數，使學生認識到錯誤。顯然，對于這樣的錯誤，如果不從算理上分析，還是不能從根本上得到修正。

三、應用之情理

要改善此類盲目使用筆算的狀況，需要教師突破頭腦中固有的筆算中心主義，嘗試給筆算建立一個開闊的、整體的視野（如圖7，美國NCTM1989年《學校數學課程與評價標準》）。把筆算放到一個相對完整的問題解決系統(tǒng)之中，避免為算而算；將筆算定位為解決問題的一種工具，而非唯一工具；想方設法打破筆算“技壓群芳”的局面，感悟各種計算方法的價值，促進筆算與口算、用計算器算、估算等方法的有機整合，最終學會依據具體情境合理選擇和使用筆算。

由此看來，對于連續(xù)進位乘的練習設計來說，應該展現出一種開闊的、多角度的視野。如：面對23×7，6×34，517×8，8×642等，計算前不宜簡單地拋給學生，而要引導學生先著眼整體去思考“怎樣算，又對又好？”，從而激發(fā)算法優(yōu)選的意識。講評時讓學生明確這里“好”的標準是：能口算的要優(yōu)先使用口算。

四、多法之原理

其實，對于筆算來說，方法一般不止一種。如今的標準化算法是歷經上千年的歷史演變而成的。除了標準算法，還有許多曾經被淘汰的替代性算法。這些替代性算法對于數學的發(fā)展來說也許已沒有太多意義，但對于兒童的數學認知發(fā)展來說意義重大。研究表明，兒童精致協調的認知結構的形成都離不開這些相對自然、原始、笨拙的替代性策略的使用。同時，替代性算法的介入，還能打破標準算法“一枝獨秀”的局面，引發(fā)筆算系統(tǒng)的深層構建，引導學生走進算法研究的更深處，洞悉其中相融共通的數學原理。

教學實踐表明，多樣化的算法徹底打破了學生對筆算的僵化思考，不少學生甚至能自主創(chuàng)造一些跟上面不同的算法，比如先兩邊后中間，或者先中間后兩邊等，并為自己創(chuàng)造的算法找到了可靠的驗證方法：只要求出的是9個2、9個70與9個300這三個部分的和，這種算法就是正確的。顯然，這種多樣化探究引發(fā)了學生對內在數學原理——乘法分配律的自然感悟。

總之，筆算教學中，以多維視角把握好認知之心理、法則之算理、應用之情理、多法之原理等，能有效推動兒童對筆算學習的監(jiān)控、理解和運用，全面提升數學能力與素養(yǎng)。