韓翔夏　蘇徽

摘要：通過模擬禽流感傳染后期出現(xiàn)人人傳染現(xiàn)象后的情況，建立適合的數(shù)學(xué)傳染病模型，并且對模型中的參數(shù)進行數(shù)值模擬，以研究出各參數(shù)對于模型的變化，即傳染病的后期傳播動向的影響，從而來為在禽流感突破人禽傳播途徑后期禽流感防治提供理論策略。

關(guān)鍵詞：SIS模型；數(shù)學(xué)建模；Matlab

中圖分類號：F24文獻標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2018.22.036

1模型引入

禽流感的傳染途徑，是經(jīng)由禽類攜帶，禽類種群間傳播，禽類傳播給人類。在2006年，在印尼發(fā)生了一件到目前為止歷史上最大規(guī)模以及范圍的禽流感人人傳播疫情，最開始是一名女子因感染到了H5N1病毒而死亡，接著共有七名家人出現(xiàn)感染現(xiàn)象，而經(jīng)過調(diào)查顯示，該家庭所住的地方并沒有出現(xiàn)已感染禽類。因此，在此我們假設(shè)在禽流感傳染后期，某地區(qū)禽流感疫情變得嚴(yán)重，大范圍出現(xiàn)的感染禽流感現(xiàn)象，已經(jīng)出現(xiàn)了人傳染人的傳染特性，此時我們引入后期禽流感感染的SIS傳染病模型。

2模型的假設(shè)

（1）假設(shè)在傳染病傳染期內(nèi)所考察地域的總?cè)巳簲?shù)N保持不變，并且在我們不考慮生死以及遷移的情況下，將人群分為易感者群體和感染者群體。

（2）假設(shè)每個感染者每天有效傳染率為，稱作日傳染率，且使被接觸的易感染者致病，當(dāng)感染者群體與易感染者發(fā)生接觸時，使易感染受感染轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊摺?/p>

（3）假設(shè)每天被成功治愈的人數(shù)與總病人數(shù)比例是常數(shù)，稱作日治愈率，它使易感染者轉(zhuǎn)變?yōu)橐赘腥菊?，但在治愈后依舊有可能繼續(xù)被感染，那么我們可以容易的知道，是禽流感的平均傳染期。

3符號說明

記t時刻的感染者總數(shù)與考察地區(qū)的人口總數(shù)的比例為I（t），假設(shè)I（t）連續(xù)、可微，且；t時刻易感者總數(shù)占考察地區(qū)人口總數(shù)比例為S（t），那么就有N（t）=I（t）+S（t）。

4模型的建立與求解

平均每個病人每天可以使人染病，就是病人人數(shù)的增加率，則考察地區(qū)每天有受到感染，而平均每天共有被治愈，那么就是每天的病人增加數(shù)，就是每天病人治愈數(shù)，我們通過考慮時刻病人增加人數(shù)以及病人的治愈數(shù)來計算。

5模型分析

根據(jù)上式可知，對于I（t），僅與λ，μ，有關(guān)下面研究，在其他因素保持不變的情況下，運用Matlab軟件，分別探究λ，μ，兩個因素對I（t）的影響，進而為禽流感的傳播發(fā)展?fàn)顩r提供有效依據(jù)。

5.1對于I（t）的參數(shù)影響

首先我們研究λ對于I（t）的影響，我們?nèi)≈斡师?=0.1，μ2=0.7，t0=0.001分別取λ1=0.2，λ2=0.4，λ3=0.6，經(jīng)過Matlab軟件計算分析可知，I（t）與λ正相關(guān)，λ作為傳染率，當(dāng)時λ>μ，地區(qū)傳染率大于治愈率，染病者開始增加，逐漸形成地方病，而當(dāng)λ<μ時，地區(qū)傳染病小于治愈率，染病者逐漸減少。

5.2對于I（t）的參數(shù)影響

接著我們研究對于I（t）的影響，我們?nèi)≈斡师?=0.1，λ2=0.5，t0=0.001，分別取μ1=0.2，μ2=0.3，μ3=0.4，經(jīng)過Matlab軟件計算分析可知，I（t）與μ負相關(guān)，λ作為傳染率，當(dāng)時λ>μ，地區(qū)治愈率大于染病率，染病者逐漸減少，而當(dāng)λ<μ時，地區(qū)治愈率小于染病率，染病者逐漸增多，并趨于穩(wěn)定。

5.3σ對于I（t）的參數(shù)影響

為了更深入研究I（t）關(guān)于λ，μ的關(guān)系，現(xiàn)我們定義：

σ=λμ

考慮到λ，μ的意義，我們可得知σ是關(guān)于禽流感傳染周期內(nèi)每個已感染病人的平均有效接觸率，我們稱之為有效接觸率。此時我們將公式（1）變形得：

dIdt=λI（t）I（t）-I-Iσ（3）

經(jīng)過Matlab軟件計算，當(dāng)σ≤1時，感染者變化率為負值，此時感染者占比在下降；而σ≥1當(dāng)，感染者變化率取決I于值的大小，當(dāng)I≤1-1σ時，變化率為正值，且當(dāng)I=11σ2時，變化率最大，當(dāng)I≥1-1σ時，變化率為負值，感染者占比下降。

關(guān)于接觸數(shù)σ=1是一個閾值.無論為何值，I都為i0以為起始點，逐漸趨于I-1σ，即：

limt→∞ I（t）=I-Iσ，σ>I0，σ

參考文獻

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