劉 任， 李 琳

(新能源電力系統(tǒng)國家重點實驗室， 華北電力大學， 北京 102206)

1 引言

隨著高壓直流輸電與電力電子技術的快速發(fā)展，具有高頻損耗較低、飽和磁導率較高等優(yōu)良特性的磁性材料(如超薄硅鋼片、新型非晶及納米晶合金等)在整流器、逆變器及高頻變壓器等電力電子裝置中的應用越來越廣泛[1，2]。然而，隨著電力電子裝置工作頻率的提升，其內部磁心的功率損耗也會相應增高，由此而引發(fā)的工作性能下降、效率下降，以及制約高壓直流輸電技術發(fā)展等問題受到日益關注[3]。由于電力電子裝置內部磁心通過的激勵電壓波形往往不是正弦波，而是三角波、方波等非正弦電壓波形[4]，因此，提出一種精確且工程實用的非正弦激勵磁心損耗計算方法，已成為電力電子裝置內部磁心元件優(yōu)化設計的首要任務。

從當前研究來看，磁心損耗的計算方法主要分為三類[5]：①基于材料物理特性的磁滯損耗模型[6]； ②基于經驗的Steinmetz公式法[7]；③基于損耗統(tǒng)計理論的損耗分離法[8]。其中，磁滯模型主要有Preisach模型和Jiles-Atherton(J-A)模型。Preisach模型構建的基礎是磁偶極子在時間與空間的統(tǒng)計特性，而J-A模型是基于磁疇壁的移動規(guī)律與宏觀能量的平衡原理。雖然上述磁滯模型能較為準確地計算出磁心損耗，但該模型本身固有的復雜性造成了其模型參數的識別提取過程較繁瑣，且計算量較大，尤其在非正弦激勵工況下，難以滿足磁心元件優(yōu)化設計等領域對損耗模型提出的準確且實用的要求。

與磁滯模型形成鮮明對比，Steinmetz經驗公式法具有簡潔的損耗表達形式，且損耗系數只需通過實驗數據擬合即可得到[9，10]。針對原始Steinmetz公式只適用于正弦激勵的問題，后續(xù)提出了多種求解非正弦激勵損耗的改進Steinmetz公式[10]。需要指出的是，Steinmetz經驗公式法缺乏對磁性材料損耗產生機理的解釋，因而其所適用的頻率與磁感應強度范圍較窄，且損耗計算的精度較低[11]。

Bertotti[12]為解決上述Steinmetz公式法過于依賴經驗的問題，從磁性材料損耗產生的機理出發(fā)，提出了損耗分離理論，將損耗分解為磁滯損耗、渦流損耗和剩余損耗，并提出了相應的損耗計算公式，同時適用于正弦及非正弦激勵波形。在Bertotti提出損耗分離理論之后，Amar[13]、Boglietti[14]和Barbiso[15]在該理論的基礎上，分別提出了各自改進及擴展的非正弦激勵下的磁心損耗算法，以此滿足工程應用領域需準確快速求解磁心損耗的需求。雖然以上三位學者提出的損耗算法具有相似的理論基礎，但其構建的損耗分離方程及模型參數的辨識方法卻不盡相同，具有不同的求解精度和模型參數提取復雜度。

為此，本文以計算精度與模型參數提取復雜度為評價指標，對比分析了上述3種基于損耗分離理論的非正弦激勵磁心損耗算法，以此篩選出其中綜合性能最優(yōu)的算法。首先，從傅里葉分解、利用時域及頻域的觀點求解損耗等方面，對比分析了3種損耗算法；其次，探討了3種損耗算法模型參數提取的復雜程度，并對其進行了客觀評價；最后，通過測量硅鋼、非晶及納米晶3種磁心在三角波及方波激勵下的損耗，驗證了3種損耗算法的精度。

2 非正弦激勵下的磁心損耗計算方法

Bertotti[12,16]通過分析磁性材料損耗產生的微觀機理，提出了損耗分離的概念，并依此將損耗按產生原因的不同劃分為3部分：磁滯損耗、渦流損耗及剩余損耗。用公式表述為：

P=Ph+Pcl+Pex

(1)

式中，Ph、Pcl、Pex分別為磁滯損耗、渦流損耗和剩余損耗。其中，磁滯損耗與磁化頻率無關，故也稱之為靜態(tài)損耗；而渦流損耗、剩余損耗均與磁化頻率相關，稱作動態(tài)損耗。

針對硅鋼片等帶狀磁性材料，當疊片厚度小于電磁場在該材料中的趨膚深度時，Bertotti基于磁感應強度均勻分布的假設和磁疇結構的隨機統(tǒng)計分布特性，推導了瞬態(tài)渦流損耗及剩余損耗的解析表達式，得到帶狀磁性材料的瞬態(tài)損耗密度表達式：

(2)

式中，Ph(t)、Pcl(t)、Pex(t)分別為磁滯損耗、渦流損耗及剩余損耗；d為疊片厚度；σ為電導率；B為磁感應強度；S為疊片截面積；G為無量綱系數(G=0.1375)；V0為表征磁體局部磁場統(tǒng)計分布特性的參數[16]。

2.1 Amar算法

Amar[13]以Bertotti損耗分離法為物理基礎，通過引入傅里葉分解的思想和電壓波形系數的概念，提出了一種簡潔高效的磁心損耗計算方法。該算法將周期損耗W(f)表示為：

(3)

式中，f為激勵頻率；Wh、Wcl、Wex分別為一個周期的磁滯損耗、渦流損耗和剩余損耗，其中磁滯損耗Wh與激勵頻率f無關；P為功率損耗。

根據式(2)，可得周期渦流損耗Wcl與剩余損耗Wex的計算式分別為：

(4)

(5)

式中，T為激勵周期。

在參考正弦激勵下，周期磁心損耗計算式為：

(6)

式中，上標“sin”表示正弦激勵；f0為參考正弦激勵頻率；Bm為磁感應強度峰值。

在保持磁感應強度峰值Bm不變的情況下，任意激勵頻率f1對應的正弦激勵磁心損耗為：

(7)

為利用正弦激勵下的損耗求解非正弦激勵下的損耗，Amar基于傅里葉分解的思想，將非正弦電壓波分解成各階次正弦諧波，繼而通過各階次正弦諧波損耗疊加的方式求得磁心在非正弦激勵下的損耗。雖然推導出的損耗表達式[13]較為復雜，但Amar通過引入電壓波形系數Fc，得到了一個簡化的非正弦激勵磁心損耗計算式：

(8)

2.2 Boglietti算法

Boglietti[14]基于Steinmetz公式與Bertotti損耗分離法，并利用傅里葉分解的方法，提出了一種基于激勵電壓特征求解磁心損耗的算法。在正弦激勵下，該算法認為磁滯損耗Ph可用Steinmetz方程表示，從而避免了Amar算法需測量靜態(tài)磁滯回線的限制。磁滯損耗Ph表示為：

(9)

式中，a為磁滯損耗系數；x為Steinmetz系數。

渦流損耗Pcl與剩余損耗Pex則根據Bertotti損耗分離法中Pcl、Pex與頻率、磁感應強度的關系得出，可分別表示為：

(10)

(11)

式中，b、e分別為渦流損耗系數和剩余損耗系數。

因此，正弦激勵下的磁心損耗Psin可表示為：

(12)

為求解非正弦激勵下的磁心損耗，Boglietti運用傅里葉變換將非正弦電壓波分解成各次正弦諧波，由此基于各階次諧波損耗疊加得到非正弦激勵下的磁心損耗計算公式。Boglietti[14]認為剩余損耗Pex較小，利用渦流損耗計算式(10)即可同時考慮渦流損耗和剩余損耗，因此其將剩余損耗系數e置零，最終推導的非正弦激勵磁心損耗計算式為：

(13)

式中

η=Uav/U1,av

(14)

χ=Urms/U1,rms

(15)

P1,h、P1,cl分別為電壓基波對應的磁滯損耗和渦流損耗；B1,m為電壓基波對應的磁感應強度峰值；Uav、U1,av分別為電壓整流平均值和電壓基波整流平均值；Urms、U1,rms分別為電壓有效值和電壓基波有效值。

因此可知，該算法待提取的參數為損耗系數a、b、x。該損耗系數可通過正弦激勵下實測值與計算值之間的差值r取最小值而求得：

(16)

式中，n為實驗采樣點個數；Pmea為實測損耗值；Pcal為利用式(12)計算所得的損耗值。

2.3 Barbiso算法

Barbiso[15]在Bertotti損耗分離法的基礎上，提出了適用于非正弦激勵的磁心損耗時域擴展算法。該算法直接對瞬態(tài)損耗，即式(2)進行積分，從而將非正弦激勵下磁心周期損耗表達為：

(17)

由式(17)可得正弦激勵下的磁心損耗為：

(18)

從式(17)可知，該算法待提取的參數為磁滯損耗Wh和分布特性參數V0，僅與磁感應強度峰值Bm有關，而與激勵波形及頻率f無關，大小可通過(Wsin-Wcl)與f1/2之間的線性函數關系式提取(Wsin、Wcl分別為正弦激勵下的總損耗實測值與渦流損耗計算值)。磁滯損耗Wh為該線性函數關系式在頻率f為0時的函數值，而分布特性參數V0可通過線性函數關系式的斜率得出。因此，Barbiso算法避開了Amar算法需測取靜態(tài)磁滯回線的難題，可直接基于上述線性關系提取磁滯損耗Wh。

顯然，Barbiso算法辨識磁滯損耗Wh和分布特性參數V0至少需要2個頻率下的損耗測量值。同時需要注意的是，當磁感應強度峰值Bm不同時，Wh和V0均需重新進行提取。

綜上所述，3種算法的磁心損耗計算式及參數提取所需實驗數據見表1。從表1中可以看出，3種算法在提取模型參數方面各有特點，復雜程度各不相同。其中，Amar算法需要通過測量磁心靜態(tài)磁滯回線的辦法求取磁滯損耗，故該過程較為繁瑣；而Barbiso與Boglietti算法的參數提取過程則相對簡單，均只需測量樣品在正弦激勵下的多個損耗值，因此這兩種算法的模型參數提取復雜程度相當。

3 三角波與方波激勵下的損耗公式推導

三角波與方波是電力電子裝置內部磁心元件通過的典型非正弦電壓激勵波形[17]。為此，本文推導了它們在3種損耗算法下的具體表達式。

表1 3種磁心損耗算法對比Tab.1 Comparison of three magnetic cores losses algorithms

3.1 Amar算法

三角波與方波電壓的波形系數分別為：

(19)

(20)

式中，Um為電壓的幅值。

三角波與方波電壓激勵下的磁心損耗表達式分別為：

(21)

(22)

3.2 Boglietti算法

三角波激勵及磁通波形如圖1所示。三角波電壓在一個周期內的表達式為：

(23)

圖1 三角波激勵及磁通波形Fig.1 Triangle wave and corresponding flux curve

對于三角波電壓有：

(24)

(25)

Um=8fNSBm

(26)

式中，N為線圈匝數。

因此，三角波電壓激勵下的磁心損耗計算式為：

(27)

方波激勵及磁通波形如圖2所示。方波電壓在一個周期內的表達式為：

(28)

圖2 方波激勵及磁通波形Fig.2 Square wave and corresponding flux curve

對于方波電壓有：

(29)

(30)

Um=4fNSBm

(31)

因此，方波電壓激勵下的磁心損耗計算式為：

(32)

3.3 Barbiso算法

在三角波電壓激勵下，由法拉第電磁感應定律可得：

(33)

因此，利用式(17)可得三角波激勵下的磁心損耗表達式為：

(34)

同理，在方波電壓激勵下有：

(35)

因此，利用式(17)可得方波電壓激勵下的磁心損耗表達式為：

(36)

4 實驗驗證與結果分析

基于CSW可編程電源的磁心損耗測量系統(tǒng)如圖3所示，對硅鋼、非晶及納米晶磁環(huán)模型進行高壓側空載實驗。其中，可編程電源可以輸出三角波、方波等各種非正弦波形，輸出頻率范圍為0.04～5kHz，輸出電壓峰值為312V。

圖3 磁心損耗測試系統(tǒng)Fig.3 Test system of core losses

根據數字示波器采集的原邊電流I1和副邊空載電壓U2，基于安培定律與法拉第電磁感應定律可分別得到磁心的磁場強度H與磁感應強度B：

(37)

(38)

式中，N1、N2分別為原邊和副邊線圈匝數；l為磁心等效磁路長度；Se為鐵心等效截面積。

在得到一個磁化周期的磁場強度H與磁感應強度B后，即可獲取磁心的磁滯回線，而該磁滯回線面積等于磁心的損耗值大小，如式(39)所示：

(39)

硅鋼、非晶及納米晶3種磁環(huán)的參數見表2。在試驗過程中，采用調節(jié)激勵電壓幅值的方法來控制磁心工作于采樣磁感應強度。

表2 硅鋼、非晶及納米晶磁環(huán)參數Tab.2 Parameters of silicon steel, amorphous and nanocrystalline magnetic core

在三角波與方波激勵下，3種磁環(huán)選擇的磁感應強度峰值Bm測試點分別為0.13T、0.24T、0.33T、0.40T、0.46T、0.53T和0.66T，頻率測試點f為2000Hz。

4.1 參數提取

利用實驗室的軟磁交流測試系統(tǒng)，分別測量正弦波激勵下，硅鋼、非晶及納米晶3種磁環(huán)在0.1～0.8T(步長0.1T)磁感應強度峰值點，以及100Hz、200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1000Hz、1200Hz、1500Hz、2000Hz、2500Hz頻率點處的損耗值。

基于以上不同磁感應強度峰值及頻率點的損耗值，提取出的Boglietti算法的損耗系數見表3。

表3 三種材料的損耗系數Tab.3 Loss coefficients of three magnetic cores

根據Barbiso算法參數的提取特點，其應選擇的正弦激勵磁感應強度峰值Bm測試點應與非正弦激勵對應，即Bm分別為0.13T、0.24T、0.33T、0.40T、0.46T、0.53T和0.66T。

(40)

當Bm=0.66T時，(W-Wcl)與f1/2的線性回歸方程如圖4所示。易得，此時硅鋼磁環(huán)對應的磁滯損耗Wh和系數k分別為：

Wh=5.519 mJ/kg，k=0.10534 mJ/(kgT1.5Hz0.5)

圖4 Bm=0.66T時，硅鋼磁環(huán)總損耗與渦流損耗的差值與頻率1/2次冪的線性回歸方程Fig.4 Linear regression equation of total loss and eddy current loss difference versus f1/2 with Bm=0.66T in silicon steel ring

由于利用k已可方便求解任意激勵下的磁心損耗，因此不需要再將其轉化為V0。在Barbiso算法中，硅鋼磁環(huán)的損耗相關系數見表4。

在Amar算法中，硅鋼磁環(huán)在給定參考頻率f0=1000Hz下的損耗相關系數見表5。

4.2 實驗與計算結果

為了對3種損耗算法的誤差進行分析，本文引入全局平均相對誤差的概念。全局平均相對誤差計算式為：

(41)

式中，Pi,cal、Pi,mea分別為第i個計算值和測量值。

表4 硅鋼磁環(huán)的損耗相關系數Tab.4 Loss coefficients of silicon steel ring

表5 1000Hz頻率下硅鋼的損耗系數Tab.5 Loss coefficients of silicon steel ring at 1000Hz

在三角波及方波激勵下，硅鋼、非晶及納米晶磁心的測量值與基于三種損耗算法的計算值之間的對比結果如圖5～圖10所示，全局相對誤差見表6。

圖5 2000Hz三角波激勵下硅鋼磁環(huán)損耗結果對比Fig.5 Comparison results of triangle wave excitation at 2000Hz in silicon steel ring

圖6 2000Hz方波激勵下硅鋼磁環(huán)損耗結果對比Fig.6 Comparison results of square wave excitation at 2000Hz in silicon steel ring

圖7 2000Hz三角波激勵下非晶磁環(huán)損耗結果對比Fig.7 Comparison results of triangle wave excitation at 2000Hz in armorphous ring

圖8 2000Hz方波激勵下非晶磁環(huán)損耗結果對比Fig.8 Comparison results of square wave excitation at 2000Hz in armorphous ring

圖9 2000Hz三角波激勵下納米晶磁環(huán)損耗結果對比Fig.9 Comparison results of triangle wave excitation at 2000Hz in nanocrystalline ring

從表6中可以看出：

(1)硅鋼、非晶及納米晶3種磁心在三角波、方波非正弦激勵下，采用Barbiso算法求解損耗的精度均最高，最大誤差僅為2.42%；其次是Amar算法，最大誤差為6.16%；最后是Boglietti算法，最大誤差高達13.37%。

(2)3種損耗算法在非晶及納米晶兩種新型磁性材料的計算誤差與硅鋼類似；同時，在相同磁感應強度及頻率的工況下，非晶的損耗小于硅鋼，而納米晶的損耗卻遠小于其他兩種材料。

圖10 2000Hz方波激勵下納米晶磁環(huán)損耗結果對比Fig.10 Comparison results of square wave excitation at 2000Hz in nanocrystalline ring

材料Amar算法Barbiso算法Boglietti算法三角波方波三角波方波三角波方波硅鋼5.855.362.102.4211.5711.20非晶6.164.982.272.1611.7912.98納米晶5.785.272.132.0512.013.37

4.3 誤差分析

4.3.1 實驗誤差

首先，磁心損耗測試實驗不可避免地會存在誤差。例如，可編程電源無法產生完全理想的三角波與方波激勵電壓；同時，數字示波器本身存在測量誤差，從而使輸出的電壓、電流波形產生誤差，進而導致最終通過實驗測量得到的磁心損耗出現一定的誤差。

4.3.2 理論誤差

Amar算法與Boglietti算法均是從頻域的角度求解非正弦激勵下的磁心損耗，運用傅里葉變換將非正弦激勵轉化為各階次正弦諧波，再運用線性疊加的方式得到非正弦激勵下的磁心損耗。然而，硅鋼、非晶及納米晶等磁性材料均具有復雜的非線性，通過簡單線性疊加的方法必然會導致其與實際測量結果不符，從而使損耗計算產生較大的誤差。

運用頻域的方法求解磁性材料損耗，其損耗系數應為頻率與磁感應強度的函數，不然則求解精度較低[17-19]。但是，要獲取這種函數必須進行大量的實驗，以此得到較大頻率及磁感應強度范圍內的損耗數據，繼而基于多項式擬合的方法得到該函數。顯然，這種做法并不能從磁心損耗產生的物理意義出發(fā)，僅通過大量實驗數據擬合損耗系數的方式提高頻域損耗算法的求解進度，因此并不實用，使用者較少，無法滿足磁心優(yōu)化設計等領域損耗“快速”求解的需求。

與此同時，Amar算法與Boglietti算法在推導過程中，為將復雜的損耗計算公式進行簡化，均進行了近似處理。其中，Boglietti算法忽略剩余損耗分量[14]，而Amar算法將非線性相關項用波形系數進行了近似替代[13]。這些處理方式同樣會降低損耗算法的求解精度。

與Amar算法及Boglietti算法不同，Barbisio算法從時域的角度求解磁心損耗，保留了非正弦電壓激勵波形的原始時域變化特征，同時考慮了磁性材料的非線性特性，并且該算法考慮了Bertotti損耗統(tǒng)計理論中的剩余損耗，同時也未進行近似處理。因此，從表6中可以看出，Barbisio算法的求解精度明顯高于其他兩種算法。

通過上述分析可知，在計算精度方面，Barbisio算法明顯高于Amar算法和Boglietti算法；而在模型參數提取復雜程度上，Amar算法最高，而Barbisio算法與Boglietti算法則相對較低，復雜程度相當。因此綜上所述，可得如下結論：Barbisio時域損耗算法在準確性與實用性兩方面具有最優(yōu)的綜合性能，建議在磁心優(yōu)化設計等領域采用該算法求解磁性材料在非正弦激勵下的損耗。

5 結論

(1)硅鋼、非晶及納米晶3種材料在三角波及方波激勵下，基于Barbiso算法求解損耗的精度均最高，其次是Amar算法與Boglietti算法；而在模型參數提取復雜程度上，Amar算法最高，其他兩種算法較低，復雜程度類似。因此，在非正弦激勵下，Barbiso算法是綜合性能最優(yōu)的非正弦激勵磁心損耗計算方法，建議在電力電子裝置內部磁心元件的優(yōu)化設計等工程應用領域，優(yōu)先選擇Barbiso算法求解非正弦激勵下的磁心損耗。

(2)首次將上述3種算法運用于非晶及納米晶中，并進行了實驗驗證，發(fā)現其在非晶及納米晶的求解精度類似硅鋼。因此，3種算法在不同程度上同樣適用于非晶及納米晶的損耗求解，但Barbiso算法求解精度最高，綜合性能最好。