鄧佳軍

[摘要]本文介紹了本福德定律（Benford's law）的內(nèi)涵及其在審計實務(wù)中的適用性，通過W公司采購業(yè)務(wù)內(nèi)部審計的真實案例，探討如何具體應(yīng)用此定律并總結(jié)了實踐中應(yīng)注意的問題 。

[關(guān)鍵詞]本福德定律 采購 內(nèi)部審計 數(shù)據(jù)分析 舞弊

一、本福德定律的內(nèi)涵及適用性

本福德定律描述的是在滿足特定條件情況下，大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中阿拉伯?dāng)?shù)字1-9在數(shù)據(jù)首位出現(xiàn)的概率分布規(guī)律。數(shù)學(xué)表述為：在b進(jìn)制中，以數(shù)n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為logb（n+1）-logb（n）。在十進(jìn)制中，首位數(shù)字出現(xiàn)的概率見表1，由此可知，數(shù)字越大，以該數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)概率就越低。

該定律適用范圍廣泛，如世界各國人口數(shù)量、各國國土面積、街道上的門牌號等數(shù)據(jù)，把來源不同的數(shù)字混合起來，或者進(jìn)行加、減、乘、除運算之后，多數(shù)財務(wù)數(shù)據(jù)符合本福德定律分布特點。我國審計工作發(fā)展規(guī)劃要求大力推廣先進(jìn)審計技術(shù)方法，積極探索信息化環(huán)境下的新方法，提高審計工作效率和質(zhì)量，因此，在我國內(nèi)部審計中研究應(yīng)用本福德定律具有重要意義。

二、本福德定律的應(yīng)用實例

以W公司的物料采購審計項目為例，使用本福德定律進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和審計風(fēng)險識別。

W公司技術(shù)領(lǐng)先，提供成套解決方案，擁有可靠的產(chǎn)品和技術(shù)，然而采購成本一直居高不下，采購團(tuán)隊人員流動性較大，采購經(jīng)理職位更換頻繁。為此，管理層要求進(jìn)行物料采購流程審計，評估采購職能是否存在舞弊。

根據(jù)審計方案要求，審計人員開始對供應(yīng)合同、采購訂單、采購計劃、 供應(yīng)商資料等進(jìn)行收集。W公司使用的是SAP系統(tǒng)，其中包括20萬行采購請求、600多家供應(yīng)商，如此巨大的數(shù)據(jù)量在短期內(nèi)全部審核是不可能完成的。因此，審計人員決定基于本福德定律確定數(shù)據(jù)偏差來快速獲取有效樣本。

第一步，審計人員通過系統(tǒng)查詢獲取公司開業(yè)至今的所有采購訂單，剔除空值或帶有刪除、取消標(biāo)識的訂單行，得到接近15萬份有效采購訂單。

第二步，將這些訂單數(shù)據(jù)加載到Excel表格中，針對采購金額一列，可使用left函數(shù)，將金額第一位數(shù)字取到單獨一列，這樣就得到各個采購訂單行金額對應(yīng)的首位數(shù)字。應(yīng)注意的是，對小于1元的采購訂單，需要取小數(shù)點后第一位的數(shù)字作為首位數(shù)。

第三步，制作數(shù)據(jù)透視表，以首位數(shù)為行向量，對采購訂單行計數(shù)，得到按照首位1-9排列的采購訂單行數(shù)量（見表2）。

第四步，進(jìn)行數(shù)據(jù)檢驗。要準(zhǔn)確判斷數(shù)據(jù)是否為自然生成，需要計算兩個指標(biāo)，分別為K-S值和截止值。K-S值是數(shù)據(jù)的實際概率值與期望概率值差異的最大值，使用Max函數(shù)計算；截止值是1.36除以數(shù)據(jù)條目數(shù)的平方根，使用SQRT函數(shù)計算。將兩個指標(biāo)值進(jìn)行對比，如果K-S值低于截止值，那么可以判定數(shù)據(jù)為自然生成，沒有經(jīng)過人為修飾，反之就有造假的風(fēng)險。

由表2可見，計算出的K-S值和截止值分別為0.3%和0.4%，說明表中所示的首位數(shù)分布和本福德定律的標(biāo)準(zhǔn)比率基本吻合，差異很小，采購訂單金額分布屬于正常情況，K-S值小于截止值的驗證，說明數(shù)據(jù)屬于自然生成，從整體上看沒有經(jīng)過人為修飾。但整體符合并不意味著個體符合，仍然需要對整體數(shù)據(jù)進(jìn)行分層，如從物料類型、供應(yīng)商等角度。下面以采購額前十大供應(yīng)商的首位數(shù)分布情況（見表3）為例，來判斷各主要供應(yīng)商個體是否存在數(shù)據(jù)異常情況。

如果按照供應(yīng)商代碼來分層統(tǒng)計，可見供應(yīng)商明顯出現(xiàn)了分化。盡管多數(shù)供應(yīng)商能夠較好地符合本福德比率，但供應(yīng)商112511首位為2的比率占到22%，為該組數(shù)據(jù)最高；供應(yīng)商102336首位為5和6的比率明顯偏高；尤其是供應(yīng)商190274，幾乎沒有一個比率符合本福德定律的規(guī)律。于是，審計人員決定針對供應(yīng)商190274的數(shù)據(jù)單獨進(jìn)行深入分析，尋找差異原因，其分布結(jié)果見表4。

通過進(jìn)一步計算，可以看到K-S值是截止值的3倍多。因此，可以判斷該供應(yīng)商的訂單金額有人為修飾的可能，需要進(jìn)一步進(jìn)行檢查。根據(jù)采購訂單記錄，審計人員發(fā)現(xiàn)該供應(yīng)商主要提供金屬鑄件，每一個物料都是為不同項目采購的，從不同物料價格分析比對似乎看不到什么問題，且涉及的采購訂單也有1500多行。但其中首位為1和3的比率差異最大（分別為10.4%和9%），故選擇以此為突破口展開分析。從鑄件的成本驅(qū)動因素考慮，采購金額取決于材料的品種、標(biāo)號、重量。審計人員選擇了采購日期最近的一批物料，按照基礎(chǔ)材料進(jìn)行歸類，與公司工程部門核實物料的尺寸、重量和材料標(biāo)號等屬性信息，然后根據(jù)采購價格計算出基礎(chǔ)材料單價，使數(shù)據(jù)信息具有可比性，將其整理后見表5。結(jié)果是顯而易見的，基礎(chǔ)材料為GGG-40.3的物料，公斤單價為32元、15元、46元不等；基礎(chǔ)材料為WP53 106的物料，價格也是忽高忽低，顯然存在采購價格管理問題。針對這個發(fā)現(xiàn)，需要核對采購合同關(guān)于原材料價格的協(xié)定，復(fù)核其準(zhǔn)確性、合理性。

三、本福德定律的應(yīng)用結(jié)論與建議

W公司采購流程審計體現(xiàn)了本福德定律用于內(nèi)部審計數(shù)據(jù)分析的有效性，極大地提高了審計效率。因此，在審計領(lǐng)域引入本福德定律，是對常規(guī)審計數(shù)據(jù)分析方法的補(bǔ)充，可以完善和豐富現(xiàn)有方法，提高舞弊發(fā)現(xiàn)能力。必須指出的是，出現(xiàn)不符合本福德定律的情況時，只能判斷數(shù)據(jù)可能存在人為修飾，或者看到舞弊行為的預(yù)警信號，但不能直接下結(jié)論，還需進(jìn)一步調(diào)查并找到充足審計證據(jù)才能判斷流程問題甚至舞弊行為的存在。同時，在應(yīng)用本福德定律時要注意以下方面：第一，數(shù)據(jù)量需要足夠大，必須跨越多個數(shù)量級才能產(chǎn)生效果。第二，有人為規(guī)則的數(shù)據(jù)就不滿足該定律，比如訂單編號、發(fā)票編號等數(shù)據(jù)。在實務(wù)中，審計人員還要注意選取滿足本福德定律分布的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗證，才能做到有的放矢。

（作者單位：南京大學(xué)，郵政編碼：210093，

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