王義成，肖海箭，龔麗亞

（安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601）

奇點指數(shù)是微分方程定性理論中用于刻畫奇點拓?fù)湫再|(zhì)的一個標(biāo)量，是一個整數(shù)。文獻(xiàn)[1]證明了著名的Poincaré指數(shù)定理，文獻(xiàn)[2]給出了經(jīng)典的Bendixson環(huán)域公式

奇點指數(shù)計算公式大多是基于一般的Cauchy指標(biāo)計算方法[3-6]。本文依據(jù)互素多項式中的一個基本代數(shù)定理[7-8]，巧妙地構(gòu)造了一個特殊的齊次多項式，并運用指數(shù)的幾何意義，得到了一種新的計算指數(shù)的簡單方法，它不同于Cauchy指標(biāo)計算方式，比Cauchy指標(biāo)計算法更加簡單有效。

定義1[1]設(shè)

若C為R2上若爾當(dāng)閉曲線，且曲線C上不存在奇點，定義此曲線指數(shù)為正整數(shù)，即

注 如果任意若爾當(dāng)曲線C僅僅包含單奇點M0，則IM0(, C )與M0的指數(shù)是相同的，因此去掉標(biāo)記C，并記IM0()是該奇點M0的指數(shù)。不失一般性，假定這個單奇點是原點O(0 ,0)。

現(xiàn)介紹與本文相關(guān)的幾個重要引理和命題。

引理1[1]如果原點是(1)式的孤立奇點，則對任意的a≠0，有IO(a P,Q ) =sgna·IO(P ,Q)。

引理2[2]如果原點是(1)式的一個孤立奇點，則IO(P ,Q ) =-IO(Q ,P)。

引理3[2]如果原點是(1)式的一個孤立奇點，則IO(P +Q,Q ) =IO(P ,Q)。

引理4[6]設(shè)→∈ C1(R2)，原點O( 0 ,0)是這兩個系統(tǒng)的孤立奇點，如果對于一個若爾當(dāng)曲線C?U( O )，其中U( O )是原點的一個鄰域，在f→與g→相反的方向，并沒有曲線C上的點，則=IO(→ )。

引理5[9]設(shè)f和g分別是階數(shù)為m和n的實多項式，如果f和g是互素的，則存在兩個多項式u和v，使得

其中多項式u和v的階數(shù)分別為?u和?v，且?u＜n和?v＜m。

引理6[10]對于若爾當(dāng)曲線C?U( O )，其中U( O )是原點的一個鄰域。在曲線C上，如果p是的倍數(shù)，p的變化范圍為( + ∞,-∞ )，且其倍數(shù)的變化范圍為(+ ∞,-∞ )，則有

命 題 1 設(shè) ai,bi∈R,i=1,2，如 果sgn( a1b2-a2b1)≠0，

則

證明 僅證明a1a2b1b2≠0的情形，其余情形類似。

由引理1、2和引理3，可以得到

證明 由定義1計算得

對于實平面自治微分系統(tǒng)

如果原點是（2）式和（3）式的孤立奇點，則由引理 4 可得 IO(f→)=IO(g→ )。下面給出本文的主要結(jié)論。

定理 1 設(shè)mn=1，如果det Dg→( )0,0 ≠0，則

證明 由定理1的假設(shè)可知原點是（2）式和（3）式的孤立奇點，因此IO()=IO(→ )。 應(yīng)用命

題1，則 有 IO() =sgn(d et D( 0 ,0 ) )IO(x ,y ) =sgn(d et D(0 ,0 ) )。

定理2設(shè)mn＞1，同上如果原點是（2）式和（3）式的孤立奇點，則通過有限次迭代，可求得IO(g → )的值。

證明 由引理5可知，存在兩個多項式u(t)和 v(t) ，其 中 ?u＜n 和 ?v＜m ，使 得u(t) P(t ,1 ) +v(t) Q( t ,1 ) =1。設(shè)

且

在命題2中，可以證明IO(U ,V ) =IO( U1,V1)+IO( U2,V2)。IO( U ,V)可以直接計算出來，因為U=ym+?u是一個特殊的齊次多項式，從P2( t ,1 ) +Q2( t ,1 ) ≠0得到V( ± a,0 ) ≠0，其中a＞0,a→0。令C是條二次曲線，在點x=±a,y=±a，起于點( a ,a)并繞向正方向，由引理6可以得到如表1所示結(jié)果。

表1 當(dāng)m+?u分別為偶數(shù)、奇數(shù)時奇點的指數(shù)

作為定理的應(yīng)用，給出以下例題加以說明。

例 計算如下系統(tǒng)的奇點指數(shù)

解 顯然原點是該系統(tǒng)的孤立奇點，設(shè)

顯然U2和V2可由表示。由m+?u=5和V( a ,0 ) =-a5≠0知，對于任意a＞0,a～0有IO(U ,V ) =1。不失一般性，假設(shè)由m+?u=3和V( a ,0 ) =a3≠0知，對于任意a＞0,a～0有IO(U ,V ) =-1。同時，由定理1可知，IO(U2,V2)=1，因此，綜上可知IO(x3-3xy2,3x2y-y3)=3。