王煥杰，劉 禹，張召弟

(1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室，上海 201109)

0 引言

單框架控制力矩陀螺(SGCMG)作為一種角動量交換裝置，憑借其大力矩輸出特性，在航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1]。SGCMG在進行三維力矩輸出時，多以3個或3個以上成簇組成一定構(gòu)型。根據(jù)所選SGCMG個數(shù)及其安裝方式不同將其分為平行構(gòu)型和獨立構(gòu)型。常見的獨立構(gòu)型有雙平行構(gòu)型、三平行構(gòu)型；獨立構(gòu)型有金字塔構(gòu)型、五棱錐構(gòu)型等。文獻[2]介紹了各類構(gòu)型的分類。文獻[3]分析了SGCMGs構(gòu)型的幾何特性，并給出了各SGCMGs構(gòu)型奇異點的理論推導(dǎo)。

基于不同的SGCMGs構(gòu)型，學(xué)者們設(shè)計了不同的操縱律，當前操縱律的設(shè)計問題主要集中在對雅克比矩陣求逆上。其中最簡單的是偽逆操縱律[4]，此操縱律雖然能得到精確解，但卻無奇異規(guī)避能力。帶零運動的偽逆操縱律[5]和魯棒偽逆操縱律[6]是對偽逆操縱律的改進，都在不同程度上實現(xiàn)了對奇異狀態(tài)的回避。帶零運動的偽逆操縱律能有效避免構(gòu)型的內(nèi)部隱奇異點，但無法解決內(nèi)部顯奇異問題；魯棒偽逆操縱律在進行奇異規(guī)避的同時會引入誤差項，降低控制精度。以上提到的操縱律都是針對某類構(gòu)型而言，不具備研究的一般化特性。

五棱錐構(gòu)型由于其內(nèi)部顯奇異點靠近包絡(luò)，已成功應(yīng)用于“和平號”空間站[7]，但其所采用的帶有零運動的偽逆操縱律具有較強的針對性，對內(nèi)部奇異復(fù)雜的構(gòu)型并不適用。五棱錐SGCMGs單只失效后，內(nèi)部奇異點分布情況復(fù)雜，具備研究的一般化特性。針對此類奇異點的復(fù)雜構(gòu)型，多采用引入擾動的方法進行奇異規(guī)避。文獻[8]采用一種變系數(shù)的魯棒偽逆操縱律，文獻[9-10]采用一種引入附加框架加速度的方法，都實現(xiàn)了對奇異的規(guī)避，但均未對構(gòu)型內(nèi)部的顯奇異點和隱奇異點加以區(qū)分。如何在有效規(guī)避奇異的基礎(chǔ)上盡量實現(xiàn)指令力矩的精確輸出，是SGCMGs使用研究的重點。從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，往往通過引入一定的攝動來保證SGCMGs的有效規(guī)避，這就意味著SGCMGs輸出了指令力矩之外的干擾力矩。隨著航天器高精度姿態(tài)控制要求的提高，這些干擾力矩需要盡量減小甚至避免。

本文以五棱錐構(gòu)型為例進行構(gòu)型分析，對單只陀螺完全失效后構(gòu)型的內(nèi)部奇異情況進行了研究，重點對失效前后顯奇異點、隱奇異點的分布進行了分析及量化對比。同時針對單只陀螺失效后，構(gòu)型具備的一般化奇異特性，綜合零運動規(guī)避隱奇異和魯棒偽逆規(guī)避顯奇異的優(yōu)點進行了操縱律設(shè)計，在保證奇異規(guī)避的基礎(chǔ)上有效減小了干擾力矩。最后，采用單只陀螺失效后的五棱錐SGCMGs構(gòu)型，以三軸姿態(tài)機動任務(wù)為例，對所設(shè)計的操縱律和傳統(tǒng)的魯棒偽逆操縱律進行了仿真。

1 構(gòu)型分析

五棱錐構(gòu)型[11]采用6個SGCMG進行獨立型方式安裝，其中5個被分別安裝在正五棱錐體相鄰的5個側(cè)面，另一個沿五棱錐的中軸線方向安裝，任意相鄰兩面的夾角為116.51°。各陀螺的框架軸對稱分布，分別垂直于其所在側(cè)面，錐面與地面夾角為β=63.4°。系統(tǒng)構(gòu)型如圖1所示。

圖1 五棱錐構(gòu)型示意圖Fig.1 FPC configuration diagram

各框架軸的安裝方向分別為

(1)

根據(jù)SGCMG單元的力矩輸出特性，其角動量hi、輸出力矩ci與框架軸安裝方向gi兩兩垂直。在確定框架軸安裝方向后，對應(yīng)不同的SGCMG框架轉(zhuǎn)角可求得每個SGCMG的角動量，進而可求得SGCMGs構(gòu)型的角動量

(2)

(3)

(4)

(5)

總的奇異角動量

(6)

由此可得構(gòu)型的角動量奇異面，如圖2所示。該奇異面包含顯奇異點和隱奇異點，針對每個奇異點，判斷其有無零運動存在[12]。1個奇異點若存在零運動，為隱奇異點，如圖3所示；反之則為顯奇異點，如圖4所示。圖中的Hx、Hy、Hz分別表示角動量在x、y、z軸的分量。

圖2 五棱錐構(gòu)型奇異面Fig.2 FPC singular surface

圖3 五棱錐構(gòu)型隱奇異面Fig.3 FPC passable singular surface

圖4 五棱錐構(gòu)型顯奇異面Fig.4 FPC impassable singular surface

考慮到五棱錐構(gòu)型的強對稱性，單只陀螺失效情況以CMG1和CMG6失效為例進行分析，本文只對CMG1失效后構(gòu)型的奇異面、隱奇異面、顯奇異面進行超曲面輸出，如圖5～7所示。

圖5 CMG1失效后奇異面Fig.5 Singular surface after CMG1 is invalid

圖6 CMG1失效后隱奇異面Fig.6 Passable singular surface after CMG1 is invalid

圖7 CMG1失效后顯奇異面Fig.7 Impassable singular surface after CMG1 is invalid

通過比較得到單只陀螺失效前后構(gòu)型奇異面的幾何特性，見表1。

表1 失效前后構(gòu)型角動量情況

用文獻[13]中的4個性能參數(shù)表示構(gòu)型特性，如下所示：

1) 構(gòu)型效益。SGCMGs角動量包絡(luò)面上的最小值與SGCMGs角動量代數(shù)和之比，表征了單個SGCMG對整個構(gòu)型貢獻的大小。值越大表明單個SGCMG發(fā)揮的作用越大。

2) 構(gòu)型效率。角動量體包絡(luò)面上的最小值與最大值之比，值越大表明構(gòu)型的角動量體越接近球狀，構(gòu)型在各方向能夠提供的力矩輸出能力越均衡，對工作環(huán)境的適應(yīng)能力也越強。

3) 可控效益。SGCMGs構(gòu)型最小顯奇異點角動量與SGCMGs角動量的代數(shù)和之比。以最小顯奇異點為半徑的開球所表示的角動量體內(nèi)不會遭遇顯奇異問題，而隱奇異可通過零運動脫離，所以值越大表明系統(tǒng)規(guī)避奇異的能力越強，控制能力越強。

4) 奇異點損失率。構(gòu)型效益與可控效益的差值，值越小表明構(gòu)型顯奇異點越接近包絡(luò)面附近，構(gòu)型的可控角動量球也就越大。

失效前后構(gòu)型性能參數(shù)匯總見表2。

表2 失效前后構(gòu)型性能參數(shù)

通過比較發(fā)現(xiàn)，CMG1和CMG6失效后構(gòu)型變化情況相同，如下所示：

1) 構(gòu)型角動量體包絡(luò)減小，構(gòu)型效益下降，表明角動量體減小，最大輸出能力下降。

2) 包絡(luò)最大角動量與包絡(luò)最小角動量相差增大，構(gòu)型效率下降，表明角動量體偏離球形，構(gòu)型在三軸方向的力矩輸出能力均衡度變差。

3) 最小顯奇異點遠離包絡(luò)，可控效益大幅下降，奇異點損失率大幅上升，表明顯奇異點內(nèi)切球(球內(nèi)無顯奇異點)半徑大幅減小，可適用零運動的角動量球縮小。

2 操縱律設(shè)

五棱錐構(gòu)型中，半徑為4.27h0的角動量球內(nèi)只有隱奇異點存在。針對隱奇異點可通過零運動規(guī)避的特性，文獻[11]采用“偽逆+零運動”操縱律，這一操縱律對此類顯奇異點內(nèi)切球較大的構(gòu)型具有明顯的適用性，具體描述如下：

(7)

單只陀螺失效后帶來的最明顯變化是五棱錐構(gòu)型內(nèi)部奇異點組成的復(fù)雜化，失效后該半徑迅速下降至1.889h0。若仍舊采用“偽逆+零運動”操縱律，則將工作空間限制在該內(nèi)切球內(nèi)，一旦超出該球范圍極有可能遭遇顯奇異點，而“偽逆+零運動”顯然不具備規(guī)避顯奇異點的能力。對于這類顯奇異點深入角動量體內(nèi)部的構(gòu)型，文獻[6]設(shè)計了攝動魯棒偽逆操縱律，如下所示：

(8)

式中：λ為正誤差項系數(shù)；I3×3為單位陣；E3×3為攝動矩陣,其中

(9)

式中：εj為適當選取的小量，εj=0.01sin(0.5πt+φj)(j=1，2，3)。相位差分別為φ1=0，φ2=0.5π，φ3=π。

該操縱律通過引入誤差攝動項進行奇異規(guī)避，對顯、隱奇異點均適用，但由于引入誤差項會帶來額外的誤差力矩輸出，不利于高精度的姿態(tài)控制。

基于以上2種操縱律的優(yōu)缺點，本文設(shè)計了一種帶零運動的魯棒偽逆操縱律。設(shè)計的基本思路為：在角動量向奇異點逼近的過程中，優(yōu)先將此奇異點作為隱奇異點處理，引入零運動進行規(guī)避，若奇異狀態(tài)未惡化至閾值狀態(tài)(σ≥σ1)時，仍將此點作為隱奇異點處理；當奇異情況進一步惡化，奇異值低于閾值(σ<σ1)時，表明零運動效果不佳，此時將奇異點作為顯奇異點處理，引入攝動項進行規(guī)避。具體形式為

(10)

系數(shù)λ，α選取規(guī)則為

(11)

當構(gòu)型大于奇異度量閾值σ1時，優(yōu)先對內(nèi)部隱奇異點進行規(guī)避，此時求解準確，不引入誤差項；當構(gòu)型奇異度量小于σ1時，表明零運動作用不大，此時引入攝動項，為避免指令框架角速度過大，將零運動項置零。這樣能在充分利用內(nèi)部隱奇異點的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對顯奇異點的規(guī)避。選取閾值σ1時不宜過大，閾值越大表明零運動作用的區(qū)間越小，攝動工作區(qū)間越大。閾值選取原則為：在盡量擴大零運動作用區(qū)間的同時，保證攝動能及時規(guī)避顯奇異點。

3 平臺動力學(xué)建模

為驗證操縱律的控制效果，建立以SGCMGs為執(zhí)行機構(gòu)的衛(wèi)星姿態(tài)動力學(xué)模型，有

(12)

式中：J為包含SGCMGs在內(nèi)的整星慣量陣，J=Jb+JCMG；h為SGCMGs構(gòu)型角動量；ω為衛(wèi)星本體相對慣性系的角速度；Tc為SGCMGs輸出力矩；Te為外部力矩[14]。

采用四元數(shù)描述衛(wèi)星的運動學(xué)方程，有

(13)

4 仿真分析

設(shè)飛行器相對質(zhì)心坐標系的慣量為

Jb=diag(4 000 3 000 3 000)kg·m2

單個SGCMG的角動量h0=25 N·m·s，最大力矩輸出為10 N·m。衛(wèi)星初始三軸慣性姿態(tài)角均為1°，三軸角速度均為0.1 (°)/s，三軸外部干擾力矩為1 mN·m。采用5次多項式法設(shè)計一種三軸姿態(tài)機動標準軌跡，軌跡時長80 s，機動角度0°。噴氣卸載觸發(fā)條件為

(14)

以CMG1失效為例，分別采用魯棒偽逆操縱律和帶零運動的魯棒偽逆操縱律進行仿真。

圖8～10分別為三軸跟蹤標準軌跡進行姿態(tài)機動的姿態(tài)角曲線，可以發(fā)現(xiàn)在40 s左右采用魯棒偽逆操縱律得到的三軸機動曲線明顯偏離標準軌跡，偏差為2°以上。結(jié)合圖11可知，這是由于噴氣卸載干擾造成的，卸載結(jié)束后，曲線逐漸收斂。而采用帶有零運動的魯棒偽逆操縱律機動效果明顯優(yōu)于前者，實時跟蹤精度能達到0.01°以上。

圖8 滾動角機動曲線Fig.8 Roll angle maneuvering trajectory

圖9 俯仰角機動曲線Fig.9 Pitch angle maneuvering trajectory

圖10 偏航角機動曲線Fig.10 Yaw angle maneuvering trajectory

圖11 噴氣卸載力矩Fig.11 Jet unloading torque

結(jié)合噴氣卸載力矩、構(gòu)型角動量及構(gòu)型奇異度量，可以得出：采用魯棒偽逆操縱律在機動過程中雖然避免了內(nèi)部的奇異狀況，但由于攝動的影響造成額外的力矩輸出，在40 s前后角動量約為80 N·m·s，且奇異度量在接近0.2時觸發(fā)噴氣卸載，造成跟蹤誤差增大。而采用帶有零運動的魯棒偽逆操縱律充分利用了角動量體內(nèi)部的隱奇異點，奇異度量始終保持在0.5以上，表明構(gòu)型始終遠離奇異狀態(tài)。

圖12 構(gòu)型角動量曲線Fig.12 Configuration angular momentum curve

圖13 構(gòu)型奇異度量曲線Fig.13 Singularity index curve

5 結(jié)束語

本文針對五棱錐SGCMGs構(gòu)型及單只陀螺失效情況下的內(nèi)部奇異狀況進行了幾何分析，并計算得到了一系列的性能參數(shù)?；趩沃煌勇菔Ш髢?nèi)部奇異的復(fù)雜情況，在前人研究的基礎(chǔ)上設(shè)計了一種適用于顯奇異點深入角動量體SGCMGs構(gòu)型的綜合操縱律，在規(guī)避顯奇異點的基礎(chǔ)上充分利用內(nèi)部的隱奇異點。通過仿真比較發(fā)現(xiàn)，本文設(shè)計的綜合操縱律控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)的魯棒偽逆操縱律。該設(shè)計的操縱律結(jié)合了魯棒偽逆和帶零運動的偽逆操縱律的優(yōu)點，對于內(nèi)部顯奇異點進行攝動規(guī)避，隱奇異點進行零運動規(guī)避，在規(guī)避奇異方面具有一定通用性，同樣適用于金字塔型、雙平型等多種SGCMGs構(gòu)型，在工程上具有一定的實用性。

本文通過閾值的選取將角動量工作空間劃分兩部分(σ<σ1和σ≥σ1)，未考慮兩者間的過渡區(qū)域。后續(xù)可在考慮SGCMG最大框架角速度的前提下，增加σ1的過渡部分，通過優(yōu)化參數(shù)配置實現(xiàn)零運動的偽逆操縱律向魯棒偽逆操縱律的小擾動過渡。