王旭東, 呂長(zhǎng)青, 趙海旭

(1.廣西師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，廣西 南寧 530299；2. 棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

乘性噪聲廣泛存在于合成孔徑雷達(dá)、航空遙感、醫(yī)學(xué)影像(如光學(xué)相干斷層掃描技術(shù)，Optical Coherence Tomography (OCT))等相干成像系統(tǒng)領(lǐng)域.乘性噪聲形成原因是成像目標(biāo)散射點(diǎn)的相干回波疊加形成相干斑，相干斑在圖像上顯示為隨機(jī)散布的小斑點(diǎn).乘性噪聲也因此被稱為斑點(diǎn)噪聲.乘性噪聲極大地降低了圖像的質(zhì)量，導(dǎo)致圖像的自動(dòng)分割、定量分析、目標(biāo)檢測(cè)以及其它有用信息的提取受到嚴(yán)重影響，進(jìn)而影響圖像的分割，識(shí)別等后續(xù)工作[1].

從質(zhì)量較差的數(shù)字影像獲得高質(zhì)量的數(shù)字影像一直是人們努力的目標(biāo).在國(guó)防軍事領(lǐng)域，從戰(zhàn)場(chǎng)獲得的低質(zhì)量圖像中恢復(fù)出清晰、高質(zhì)量的圖像可為戰(zhàn)爭(zhēng)指揮提供更可靠的信息；在航空航天領(lǐng)域，從低質(zhì)量的航空遙感圖像中恢復(fù)出高清晰的目標(biāo)影像是目標(biāo)精確定位、分析的重要保證；在人命關(guān)天的醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，從獲取的低質(zhì)量醫(yī)學(xué)圖像中還原出清晰、細(xì)致的圖像細(xì)節(jié)可以輔助醫(yī)生進(jìn)行診斷.因此，圖像乘性噪聲去除問(wèn)題的研究具有重要的應(yīng)用意義.

1 國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及發(fā)展動(dòng)態(tài)分析

乘性噪聲的模型為

f=u

(1)

這里f是含乘性噪聲的圖像，u是要恢復(fù)的真實(shí)圖像，是乘性噪聲，一般認(rèn)為噪聲各個(gè)點(diǎn)的值是相互獨(dú)立的并且與圖像像素值不相關(guān).假設(shè)乘性噪聲服從Gamma分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

g

(2)

乘性噪聲去除問(wèn)題是逆問(wèn)題，其目的是從觀測(cè)到的噪聲圖像估計(jì)出真實(shí)圖像.為了使該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型具有良性可解性，我們需要對(duì)該問(wèn)題的解空間施加一些限制，即利用自然圖像的先驗(yàn)信息對(duì)待恢復(fù)圖像進(jìn)行約束.在圖像恢復(fù)領(lǐng)域，采用何種約束(正則化或者懲罰)對(duì)恢復(fù)的效果具有決定性意義.

研究表明，數(shù)字圖像一般具有局部平穩(wěn)的統(tǒng)計(jì)特性，傳統(tǒng)的乘性噪聲去除模型假定數(shù)字圖像具有一定概率統(tǒng)計(jì)特征的先驗(yàn)分布，如廣義高斯，Gibbs分布等.利用貝葉斯(Bayesian)統(tǒng)計(jì)概率模型和變分法，圖像的先驗(yàn)概率模型轉(zhuǎn)換成圖像的正則化模型，正則項(xiàng)來(lái)衡量自然圖像的光滑特性.含乘性噪聲圖像恢復(fù)模型可以表示成能量最小化的優(yōu)化問(wèn)題.

(3)

其中第一項(xiàng)是正則項(xiàng)，保證恢復(fù)的圖像具有一定連續(xù)性，并起到保護(hù)圖像邊緣的作用；第二項(xiàng)是數(shù)據(jù)項(xiàng)，也稱為保真項(xiàng).λ為平衡數(shù)據(jù)項(xiàng)和正則項(xiàng)的全局正則參數(shù).

在(3)式中，當(dāng)φ(u(x))=|▽u(x)|時(shí)，就是Aubert和Aujol利用最大后驗(yàn)概率建立的去除乘性Gamma噪聲的非凸模型[2,3](即經(jīng)典的AA模型).AA模型的建立是去除圖像乘性噪聲的一個(gè)突破性進(jìn)展，但是AA模型是非凸的，其解不一定是最優(yōu)解，而且解還依賴于初始化[4].為了改變模型的非凸性，利用對(duì)數(shù)變換z(x)=logu(x)，通過(guò)保留AA模型中的保真項(xiàng)，并用|▽logu|代替AA模型中的|▽u|，JianingShi與YumeiHuang分別提出了嚴(yán)格凸的變分模型[5]和凸模型的分裂形式[6].

以上模型使用全變差作為正則項(xiàng).就圖像來(lái)說(shuō)，邊緣是圖像的重要特征，因?yàn)槿儾钫齽t模型在去除圖像噪聲的同時(shí)具有良好的保持邊緣的性能，近年來(lái)全變差正則模型在圖像處理領(lǐng)域得到的了廣泛的應(yīng)用.盡管全變差模型有比較成熟的理論[7-9]和多種求解方法，然而，TV正則僅能有效地逼近分片常數(shù)函數(shù).全變差模型在去噪的同時(shí)常常導(dǎo)致逐段常數(shù)，在圖像的光滑區(qū)域形成虛假的邊緣，從而產(chǎn)生階梯效應(yīng).在紋理區(qū)域出現(xiàn)了一定程度的邊界過(guò)光滑現(xiàn)象.針對(duì)上述不足，文獻(xiàn)[10-14]分別對(duì)正則項(xiàng)進(jìn)行了改進(jìn).改進(jìn)的正則模型能有效抑制圖像中的乘性噪聲，并且能夠很好地保護(hù)圖像的邊緣信息，但是在恢復(fù)圖像的同時(shí)產(chǎn)生了人為痕跡，影響視覺(jué)效果.

后來(lái)學(xué)者針對(duì)全變差的缺陷提出了大量的改進(jìn)模型.通常來(lái)說(shuō)，對(duì)圖像處理研究產(chǎn)生較大影響的是廣義全變差(Total Generalized Variation，TGV)正則模型.TGV模型是Bredies等學(xué)者在2010年提出的[15,16]，在圖像處理中應(yīng)用較多的是二階TGV模型.TGV是對(duì)TV的改進(jìn).分片常數(shù)、分片仿射函數(shù)等多項(xiàng)式函數(shù)可以用TGV模型進(jìn)行有效地逼近.

TGV模型可以對(duì)分段常數(shù)圖像的各種特性進(jìn)行有效描述，TGV的二階導(dǎo)數(shù)衡量圖像平滑區(qū)域，TGV的一階導(dǎo)數(shù)衡量圖像邊緣的跳躍.和通常的TV相比，TGV不但能夠避免階梯效應(yīng)，而且還具有良好的保邊性能.TGV是TV的繼承和發(fā)展，對(duì)于圖像處理是有效的.由于TGV具有簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)表達(dá)形式并能夠?qū)D像特征進(jìn)行有效表達(dá)，二階TGV正則圖像處理模型引起了圖像處理界的廣泛注意[16].2014年，Wensen Feng等提出去除乘性噪聲的二階TGV正則的非凸模型和凸模型[17].

但是由于圖像的性質(zhì)，二階TGV正則模型具有以下不足.

(1)細(xì)節(jié)丟失.噪聲的存在使得平滑區(qū)域并不能很好的確定，弱邊緣會(huì)被淹沒(méi)在噪聲中，而在平滑過(guò)程中，正則項(xiàng)會(huì)把小的邊緣當(dāng)作噪聲進(jìn)行平滑，導(dǎo)致一些細(xì)節(jié)信息會(huì)被磨光.

(2)邊緣出現(xiàn)模糊現(xiàn)象.在方程的演化過(guò)程中，二階導(dǎo)數(shù)對(duì)邊緣也會(huì)起到磨光作用，也就導(dǎo)致圖像的邊緣模糊[18].

上述基于TV(TGV)正則去除乘性噪聲的模型中正則項(xiàng)的參數(shù)在各點(diǎn)處是相同的.目前國(guó)內(nèi)外大多數(shù)學(xué)者使用全局稀疏度控制參數(shù)，例如根據(jù)經(jīng)驗(yàn)手動(dòng)設(shè)置，或者根據(jù)圖像的噪聲強(qiáng)度計(jì)算一個(gè)L1全局的正則化參數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中，圖像各點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)不同，并不完全符合上述先驗(yàn)假定.

TGV正則的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的比例系數(shù)的選擇方法是依靠經(jīng)驗(yàn)調(diào)節(jié)的.實(shí)際情況是應(yīng)該根據(jù)圖像的不同結(jié)構(gòu)區(qū)域(例如邊緣和平滑區(qū)域)而選擇不同的比例系數(shù).

上述全變差模型、TGV正則模型及它們的改進(jìn)形式(如分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型)都屬于全局正則性先驗(yàn).全局正則性先驗(yàn)假定圖像屬于某個(gè)具有一定光滑性的函數(shù)空間(例如：TV空間和Besov空間)，并以定義在該空間上的范數(shù)或者半范數(shù)的全局正則來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行整體約束，這類模型的求解是在特定的函數(shù)空間內(nèi)進(jìn)行.這種先驗(yàn)由于具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論而在圖像處理界廣泛的應(yīng)用.但全局正則性先驗(yàn)只關(guān)注圖像的整體正則性，而沒(méi)有考慮圖像中非常多樣的局部結(jié)構(gòu).盡管全局正則性先驗(yàn)在一定程度上考慮了圖像像素直接的相關(guān)性，但是沒(méi)有充分利用圖像具有大量的相似結(jié)構(gòu)[19].

近幾年，隨著壓縮感知[20,21]理論的突破，圖像處理與分析的稀疏表示理論已經(jīng)成為新的熱點(diǎn)研究問(wèn)題.為了避免 NP 難問(wèn)題，也常用L1范數(shù)來(lái)代替L0范數(shù).目前，大多數(shù)國(guó)內(nèi)外稀疏表示研究進(jìn)展集中在提出各種L1范數(shù)優(yōu)化求解算法，來(lái)提高圖像稀疏性表示以及優(yōu)化算法的效率.其中E. Candes等人提出了基于迭代重加權(quán)的L1范數(shù)的壓縮感知恢復(fù)算法[22]，他們使用加權(quán)L1范數(shù)來(lái)更好地逼近L0范數(shù)，并用實(shí)驗(yàn)證明了加權(quán)L1范數(shù)能夠獲得更高的稀疏度.在他們的方法中，用初始恢復(fù)的表示系數(shù)的倒數(shù)來(lái)控制每一個(gè)系數(shù)的稀疏性.

在文獻(xiàn)[5,6]的基礎(chǔ)上，基于最大后驗(yàn)概率(MAP)和EM算法，文獻(xiàn)[23]提出了迭代重加權(quán)全變差去噪模型，該文獻(xiàn)使用加權(quán)L1范數(shù)來(lái)更好地逼近L0范數(shù)，其權(quán)函數(shù)取值由最大期望值(Expectation Maximum, EM)算法得到.

假設(shè)圖像服從Gibbs類型的先驗(yàn)分布：

(4)

其中，c是規(guī)范化常數(shù)，φ(·)是非負(fù)函數(shù)，λ是先驗(yàn)分布參數(shù).利用最大后驗(yàn)概率(MAP)易得到文獻(xiàn)[2,3]的模型.

u的恢復(fù)模型先驗(yàn)是圖像各點(diǎn)服從Gibbs類型的分布，在各點(diǎn)具有相同的先驗(yàn)參數(shù).而圖像各點(diǎn)的結(jié)構(gòu)并不相同，在模型演化過(guò)程要求正則項(xiàng)自適應(yīng)的根據(jù)圖像結(jié)構(gòu)來(lái)處理，因此上述先驗(yàn)假定與圖像的屬性并不完全符合.我們可以通過(guò)進(jìn)一步假定圖像服從下述的先驗(yàn)分布：

(5)

利用最大后驗(yàn)概率估計(jì)(MAP)，我們提出如下泛函極小化問(wèn)題

(6)

利用對(duì)數(shù)變換z(x)=logu(x)，將(6)式改寫(xiě)為如下形式

(7)

采用EM算法確定(7)式中的最優(yōu)權(quán)函數(shù)λ(x)

(8)

上式表明：基于EM方法的λ(x)應(yīng)該取為φ(u)關(guān)于加權(quán)平均的倒數(shù).

文獻(xiàn)[24]把迭代重加權(quán)全變差去噪模型進(jìn)一步推廣為迭代重加權(quán)Hessian矩陣Frobenius范數(shù)(F-范數(shù))正則去噪模型.迭代重加權(quán)在有效去噪的同時(shí)，較好地保留了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息.圖1是Lena圖像的去噪效果比較.

圖1 Lena圖像的去噪實(shí)驗(yàn)效果比較

由前面的敘述可見(jiàn)，基于L1優(yōu)化的圖像去乘性噪聲問(wèn)題，特別是基于稀疏表示的去乘性噪聲問(wèn)題作為當(dāng)前圖像處理和應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的前沿技術(shù)問(wèn)題已經(jīng)在國(guó)際上展開(kāi)，但仍需進(jìn)一步完善.一般來(lái)說(shuō)，圖像在空域及變換域均具有平穩(wěn)性和結(jié)構(gòu)冗余性，也就是像素與像素之間存在相關(guān)關(guān)系，盡管全變差模型以及廣義全變差模型考慮到了像素點(diǎn)和周圍點(diǎn)的關(guān)系,但是這類模型不能有效地描述這種相關(guān)關(guān)系[19].

描述圖像的主要困難在于其具有超高的維數(shù)，一種有效的方法是采用“分而治之”的策略，也就是將圖像剖分成維數(shù)較低的小塊,并通過(guò)對(duì)每一塊的描述來(lái)間接描述整個(gè)圖像，這種思想類似于逼近論中對(duì)復(fù)雜未知函數(shù)作簡(jiǎn)單函數(shù)分段逼近.最近的去除乘性噪聲文獻(xiàn)充分利用圖像的自相似性，利用相似塊組整體結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)對(duì)圖像恢復(fù)模型進(jìn)行約束.例如，在K-SVD 算法[25-27]的基礎(chǔ)上Yumei Huang等提出了去除乘性噪聲的字典學(xué)習(xí)模型[28].HOSVD模型[29]綜合利用了圖像表示的稀疏性和自相似性，對(duì)圖像的相似塊在自適應(yīng)變換基下進(jìn)行有效稀疏表示.我們的最近研究[30]表明HOSVD正則模型去除乘性噪聲能夠取得很好的去噪效果.