董明曉,張 恩,梁立為,韓松君,楊傳寧

(山東建筑大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,濟(jì)南 250101)

塔式起重機(jī)是通過變幅機(jī)構(gòu)的運(yùn)動來完成貨物運(yùn)輸工作過程,生產(chǎn)廠家為了提高起重機(jī)的工作效率,而不斷地提高起重機(jī)的額定運(yùn)行速度和額定起重量.隨著這一參數(shù)的增加,機(jī)構(gòu)的運(yùn)動可能引起起重機(jī)結(jié)構(gòu)更大的振動,振動產(chǎn)生的交變載荷降低了起重機(jī)的性能.目前,國內(nèi)外學(xué)者對起重機(jī)結(jié)構(gòu)振動進(jìn)行了大量研究.Vlada等[1]采用有限元方法將貨物等效為移動共振器,分析了橋式起重機(jī)的動態(tài)響應(yīng);Jaafar等[2]基于Lagrange方程建立了門式起重機(jī)的非線性動力學(xué)方程,仿真分析了小車的運(yùn)動特性和貨物的擺動特性;周磊[3]基于Euler-Bernoulli梁理論,分析了變幅小車位置對耦合振動系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律;李心爽等[4]計算分析貨物和橋式起重機(jī)耦合振動系統(tǒng)的前3階固有頻率和動態(tài)響應(yīng).本文以小起升高度或附著式結(jié)構(gòu)的塔式起重機(jī)為研究對象,將起重機(jī)等效為懸臂梁,貨物、吊鉤和變幅小車等效為移動質(zhì)量,從而構(gòu)成了移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),研究起重機(jī)變幅運(yùn)動和起重量對起重臂振動特性的影響規(guī)律.

1 貨物-起重臂系統(tǒng)振動微分方程

對于小起升高度或附著式結(jié)構(gòu)的塔式起重機(jī),塔身在外界干擾和貨物重力的作用下，產(chǎn)生的彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形相對于起重臂的彎曲變形較小,根據(jù)塔式起重機(jī)振動模態(tài)分析,變幅運(yùn)動和起升運(yùn)動主要激勵起重臂在鉛垂面內(nèi)振動[5].本文是研究變幅小車在運(yùn)輸貨物過程中對起重臂振動特性的影響規(guī)律.因此,本文忽略塔身的變形,將起重機(jī)等效為懸臂梁,貨物、吊鉤和變幅小車等效為移動質(zhì)量,從而構(gòu)成了移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),如圖1所示.以懸臂梁軸線方向?yàn)閤軸,以垂直于懸臂梁軸線的方向?yàn)閥軸,以懸臂梁的固定端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立xOy直角坐標(biāo)系,ma為移動質(zhì)量的質(zhì)量,v為移動質(zhì)量的速度,xa為移動質(zhì)量在懸臂梁上的位置,L為懸臂梁的長度,E為懸臂梁的彈性模量,Ih為懸臂梁截面的等效慣性矩,m為懸臂梁的單位長度質(zhì)量,在t時刻懸臂梁上x處的撓度為y(x,t).

圖1 移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the moving mass and cantilever beam system

基于Euler-Bernoulli梁理論,不計梁的橫向剪切變形的影響和阻尼的作用,在外力F(x,t)的作用下,梁的振動微分方程[6]為

(1)

由于移動質(zhì)量沿著懸臂梁運(yùn)動的同時,也隨著懸臂梁上下振動,所以在動力學(xué)方程中應(yīng)考慮移動質(zhì)量的慣性力.移動質(zhì)量對懸臂梁的作用力F(x,t)為

(2)

將式(2)代入式(1)中,得

(3)

移動質(zhì)量在x處沿著y方向的振動速度為

(4)

從式(4)中可以看出：右邊第1項(xiàng)為移動質(zhì)量沿著懸臂梁運(yùn)動的速度在y方向上的分量；第2項(xiàng)為移動質(zhì)量隨著懸臂梁上下振動的速度.

對式(4)進(jìn)一步求導(dǎo),可得移動質(zhì)量在x處沿著y方向的振動加速度,即

(5)

從式(5)中可以看出:右邊的第1項(xiàng)為移動質(zhì)量沿著懸臂梁運(yùn)動的加速度在y方向上的分量;第2項(xiàng)為移動質(zhì)量隨著懸臂梁上下振動在y方向上的加速度;第3項(xiàng)為移動質(zhì)量在隨著懸臂梁上下振動產(chǎn)生的離心加速度;第4項(xiàng)為移動質(zhì)量在隨著懸臂梁上下振動的同時沿著懸臂梁運(yùn)動產(chǎn)生的科氏加速度.如果移動質(zhì)量為勻速運(yùn)動,則第1項(xiàng)為零.

將式(5)帶入式(3)中,將式(3)化為

(6)

由于懸臂梁的振動撓度y(x,t)對時間和空間是分離的,所以對式(6)采用分離變量法求解[7],令

(7)

式中:φi(t)為懸臂梁第i階振型函數(shù);qi(t)為懸臂梁第i階模態(tài)坐標(biāo)函數(shù).

將式(7)帶入式(6)中,得

(8)

式中:用撇表示φi(x)對x求導(dǎo);用點(diǎn)表示qi(t)對時間t求導(dǎo).

(9)

式(9)為移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng)的振動微分方程,將式(9)寫成矩陣的形式,即

(10)

本文利用Matlab通過式(10)計算出每一階振動的模態(tài)坐標(biāo)qi(t),將求得的每一階模態(tài)坐標(biāo)qi(t)和每一階懸臂梁振型函數(shù)φi(x)代入式(7)中,可得到任意時刻懸臂梁上任意一點(diǎn)的撓度y(x,t).

2 起重臂截面慣性矩的等效

塔式起重機(jī)是由塔身、起重臂、平衡臂和底架等結(jié)構(gòu)組成,屬于格構(gòu)式結(jié)構(gòu).格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)量較多,并且連接處的結(jié)構(gòu)復(fù)雜,起重臂的截面慣性矩難以計算.因此,本文將格構(gòu)式起重臂結(jié)構(gòu)等效為實(shí)腹式結(jié)構(gòu),計算起重臂截面的等效慣性矩.

將復(fù)雜的格構(gòu)式結(jié)構(gòu)等效為實(shí)腹式結(jié)構(gòu),通常是由實(shí)腹式結(jié)構(gòu)的歐拉臨界力方程進(jìn)行等效.等效方法有2種:① 利用格構(gòu)式結(jié)構(gòu)某個截面的慣性矩,求解格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的等效長度;② 在保證結(jié)構(gòu)整體幾何尺寸不變的情況下,計算結(jié)構(gòu)的等效慣性矩.第1種方法改變了結(jié)構(gòu)的整體尺寸,適用于一個構(gòu)件的計算分析,不適用于多個構(gòu)件組合結(jié)構(gòu)的計算分析.因此,本文采用等效慣性矩的方法將格構(gòu)式結(jié)構(gòu)等效為實(shí)腹式結(jié)構(gòu).

由文獻(xiàn)[8]可知,一般采用等效長細(xì)比的方法來計算等效慣性矩,將等效慣性矩表示為

(11)

式中:λh為等效長細(xì)比;μ為長度系數(shù);A為構(gòu)件橫截面所截各弦桿毛面積之和.

塔式起重機(jī)的起重臂結(jié)構(gòu)如圖2所示,起重臂的橫截面如圖3所示.h為上弦桿中心線到下弦桿中心線的垂直距離,b為兩個下弦桿中心線之間的距離,h2下弦桿的高度,b2下弦桿的寬度.

圖2 塔式起重機(jī)起重臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structure of the tower crane jib

圖3 塔式起重機(jī)起重臂橫截面示意圖Fig.3 Schematic diagram of the cross section of the tower crane jib

由于起重臂為三肢格構(gòu)式結(jié)構(gòu),三肢格構(gòu)式結(jié)構(gòu)對z-z軸的等效長細(xì)比[8]為

(12)

式中:λ為長細(xì)比;A1為橫截面所截各腹桿的面積之和;θ為腹桿所在平面與y軸的夾角.

將式(12)代入式(11)中,得橫截面對z-z軸的等效慣性矩為

(13)

式中:I為各弦桿橫截面對z-z軸的慣性矩之和.

將塔式起重機(jī)的起重臂參數(shù)代入式(13)中,可求得格構(gòu)式起重臂結(jié)構(gòu)的等效慣性矩.

3 變幅運(yùn)動對起重臂振動特性的影響

為了研究塔式起重機(jī)運(yùn)行機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性,課題組將TCICES1.0型號的塔式起重機(jī)以1∶6的比例,設(shè)計制造了塔式起重機(jī)實(shí)驗(yàn)臺.實(shí)驗(yàn)臺采用Q345號鋼制造,彈性模量為2×1011Pa,起重臂長度為3.6 m,單位長度質(zhì)量為11 kg/m,貨物質(zhì)量為10 kg.

據(jù)式(13)計算起重臂截面對z-z軸的等效慣性矩為8.776×10-6m4;然后根據(jù)式(7)仿真計算變幅機(jī)構(gòu)的運(yùn)動速度分別為0.5,1.0和2.0 m/s時起重臂端點(diǎn)的振動特性,振動曲線如圖4所示.

由圖4可知,變幅速度分別為0.5,1.0和2.0 m/s時,起重臂端點(diǎn)振動的曲線均趨向于一條曲線,因此,變幅速度對起重臂端點(diǎn)振動撓度的影響很小.

圖4 在不同變幅速度情況下起重臂 端點(diǎn)的振動曲線Fig.4 The vibration curve of the jib’s top with different moving speed

為了研究變幅速度對起重臂端點(diǎn)振動的振幅和頻率的影響規(guī)律,將圖4局部放大,圖5(a)表示變幅小車以不同的速度運(yùn)動到起重臂0.200～0.206 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點(diǎn)振動情況.從圖5(a)中可以計算出:變幅速度為0.5 m/s時,起重臂端點(diǎn)振動周期為0.003 23 s,振幅為1.39×10-7m;變幅速度為1.0 m/s時,起重臂端點(diǎn)振動周期為0.003 28 s,振幅為0.70×10-7m;變幅速度為2.0 m/s時,起重臂端點(diǎn)振動周期為0.003 3 s,振幅為0.60×10-7m.因此,隨著變幅速度的增大,起重臂端點(diǎn)處的振幅越來越小,振動周期越來越大.

為了研究變幅小車的運(yùn)動位置對起重臂端點(diǎn)的振動幅值和頻率的影響規(guī)律,將圖4中變幅小車運(yùn)動到起重臂1.800～1.806 m和3.500～3.506 m區(qū)間內(nèi)的圖像局部放大,如圖5(b)和圖5(c)所示.通過計算比較圖5(b)和圖5(c),貨物以0.5 m/s的速度運(yùn)動到起重臂1.800～1.806 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點(diǎn)振動周期為0.003 3 s,振幅為4.8×10-7m;貨物以相同速度運(yùn)動到起重臂3.500～3.506 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點(diǎn)振動周期為0.003 6 s,振幅為2.9×10-7m.因此,當(dāng)變幅小車以恒定速度運(yùn)動時,起重臂端點(diǎn)處的振動周期越來越大,振幅先增大后減小.

圖5 在不同變幅速度情況下起重臂 端點(diǎn)的振動曲線放大圖Fig.5 Enlargement of vibration curve of the jib’s top with different moving speed

4 起重量對起重臂振動特性的影響

為了研究起重量對起重臂端點(diǎn)振動特性的影響規(guī)律,分別仿真計算了在變幅小車以1.0 m/s的速度運(yùn)輸10,20和30 kg的貨物的情況下,起重臂端點(diǎn)的振動響應(yīng),仿真曲線如圖6所示(其他參數(shù)同圖3).由圖6可以計算出:10 kg的貨物勻速運(yùn)動到起重臂端點(diǎn)時,起重臂端點(diǎn)振動的撓度為0.867×10-3m;20 kg的貨物引起起重臂端點(diǎn)振動的撓度為1.734×10-3m;30 kg的貨物引起起重臂端點(diǎn)振動的撓度為2.601×10-3m.因此,隨著起重量的增大,起重臂端點(diǎn)振動的撓度越來越大.

為了研究起重量對起重臂端點(diǎn)振動幅值和頻率的影響規(guī)律,將圖6在0.200～0.216 m區(qū)間內(nèi)的圖像局部放大,如圖7所示.由圖7可以計算出：10 kg的貨物勻速運(yùn)動到起重臂0.200～0.216 m區(qū)間內(nèi),起重臂端點(diǎn)的振動周期為0.003 28 s,振幅為0.7×10-7m;20 kg的貨物引起起重臂端點(diǎn)振動的周期為0.003 45 s,振幅為0.75×10-7m;30 kg的貨物引起起重臂端點(diǎn)振動的周期為0.0036 0 s,振幅為1.4×10-7m.因此,隨著起重量的增大,起重臂端點(diǎn)振動的周期越來越大,振幅越來越大.

圖6 在不同起重量的情況下起重臂端點(diǎn)的振動曲線Fig.6 The vibration curve of the jib’s top with different payload

圖7 在不同起重量的情況下起重臂 端點(diǎn)的振動曲線放大圖Fig.7 Enlargement of vibration curve of the jib’s top with different payload

5 結(jié)論

將小起升高度或附著式塔式起重機(jī)等效為建立移動質(zhì)量-懸臂梁系統(tǒng),基于Euler-Bernoulli梁理論建立塔式起重機(jī)振動微分方程,通過仿真研究變幅運(yùn)動和起重量對起重臂端點(diǎn)振動特性的影響規(guī)律.仿真計算結(jié)果表明:隨著變幅速度的增大,起重臂端點(diǎn)處的振幅變小,振動周期變大,對起重臂端點(diǎn)的撓度影響很小;變幅小車以恒定速度運(yùn)動時,起重臂端點(diǎn)的振動周期變大,振動幅值先增大后減小;起重臂端點(diǎn)振動的撓度、振幅和振動的周期隨起重量的增大而變大.