狄理磊

[摘 要] 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)，而起始課又影響著學(xué)生對(duì)本章的認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)的熱情，如何在起始課中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)將對(duì)整章的后續(xù)發(fā)展起著重要的作用. 筆者在《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》的教學(xué)實(shí)踐基礎(chǔ)上對(duì)此進(jìn)行了若干思考以求教于同仁.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；數(shù)列；起始課

問題的提出

核心素養(yǎng)已經(jīng)成為當(dāng)今教育領(lǐng)域的一個(gè)熱門話題，那么什么是核心素養(yǎng)？《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》中指出：“核心素養(yǎng)是指學(xué)生接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中，逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力……”它的獲得是后天的、可教可學(xué)的. 那數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)又是什么？王尚志教授在解讀核心素養(yǎng)的報(bào)告中提到：“高中數(shù)學(xué)要發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”

而教材每個(gè)章節(jié)的起始課又影響著學(xué)生對(duì)本章的認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)的熱情，如何在起始課中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)將對(duì)整章的后續(xù)發(fā)展起著重要的作用.筆者在一師一優(yōu)課中剛好上了一節(jié)《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》，在備課與上課的過程中產(chǎn)生了幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，以求教于同仁.

實(shí)踐片段摘錄

本課圍繞“為什么要研究數(shù)列？”“什么是數(shù)列？”“怎么研究？”這三個(gè)問題展開，摘錄幾個(gè)片段如下：

片段1：從生活所見中引出課題，激發(fā)學(xué)生的研究熱情

放映PPT（根據(jù)章前語中的內(nèi)容搜集的與斐波那契數(shù)有關(guān)的樹與花，含背景音樂制作的PPT），約1分鐘.

師：在如此美麗的自然美景中，大家看到了什么？

生：樹、花、草地……

師（微笑）：你們看到了樹，我也看到了“數(shù)”. （板書《數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法》這個(gè)課題的第一個(gè)字“數(shù)”）

學(xué)生先是一愣，然后會(huì)心地笑了.

師（指著PPT中的圖片）：這幾棵樹的分杈數(shù)都是由1枝分成2枝，再分成3枝，再分成5枝，再看看這些花的花瓣數(shù).

生1：都是5瓣的.

師：不錯(cuò)，那這些數(shù)的背后是否有著什么規(guī)律呢？這就是我們這一章將要接觸到的內(nèi)容——數(shù)列.

師：數(shù)列不只是在自然界中有它的身影，在現(xiàn)實(shí)生活中也有著它的用處（從自然界研究與生活需要的角度回答為什么研究數(shù)列），今后我們將不斷地揭開它神秘的面紗，那么什么是數(shù)列呢？讓我們繼續(xù)用數(shù)學(xué)眼光來看下面兩個(gè)情境：

情境一：樹木的分枝有著一定的規(guī)律，圖1是一棵樹從小樹苗開始到大樹的分枝情況，我們從數(shù)學(xué)的角度來看，你看到了哪些數(shù)？（延續(xù)引入時(shí)的話題，得出斐波那契數(shù)列，既作為這節(jié)課的一個(gè)實(shí)例，也為下節(jié)課的遞推公式埋下伏筆）

情境二：認(rèn)為“萬物皆數(shù)”的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派很注意對(duì)數(shù)的研究，他們常用鵝卵石擺成的圖形來表達(dá)數(shù)，并把數(shù)分成三角形數(shù)、正方形數(shù)等，如圖2所示，這些圖形依次對(duì)應(yīng)了哪些數(shù)呢？（除了引出數(shù)列，還作為本節(jié)課穿插數(shù)學(xué)史教學(xué)的一個(gè)載體）

學(xué)生很容易抽象出相應(yīng)的數(shù)列（老師板書）：

1，1，2，3，5…

1，3，6，10，…

1，4，9，16，…

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是由畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立，他們認(rèn)為數(shù)是宇宙萬物的本源，事物的性質(zhì)是由某種數(shù)量關(guān)系決定的，他們最早研究了數(shù)與音樂的關(guān)系，我們熟悉的勾股定理、黃金分割、無理數(shù)都與他們有關(guān)，而無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)又給了他們致命的一擊，從而引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，有興趣的同學(xué)可以在課外查找相關(guān)資料并閱讀. （介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派時(shí)故意不說明他們的萬物皆數(shù)是指有理數(shù)，使學(xué)生在聽到給他們致命一擊時(shí)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引起研究興趣，而音樂與數(shù)的關(guān)系以及為下面舉例時(shí)打下伏筆）

師（指著學(xué)生寫出來的數(shù)）：你能寫出它們接下去一項(xiàng)嗎？

生2：分別是8，15，25.

師：很好，我們?cè)賮砜吹谝涣袛?shù)，我們預(yù)測(cè)出了它的后一項(xiàng)，也就是說我們預(yù)測(cè)了第六年的情況，如果我對(duì)調(diào)一下它們的位置，即1，1，2，5，3，你還能得到剛才的預(yù)測(cè)嗎？（PPT演示效果）

生：不能了.

師：那我們剛才的預(yù)測(cè)是依賴于這幾列數(shù)的——？

生：順序.

師板書定義，然后通過三個(gè)追問使學(xué)生加深對(duì)數(shù)列的理解. （過程略）

片段2：根據(jù)數(shù)列的定義，發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)列

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了數(shù)列的定義，你能再舉一些與我們生活相關(guān)的數(shù)列嗎？

學(xué)生討論舉例了有關(guān)成績、身高、體重的例子.

師：大家的例子都很不錯(cuò)，我再補(bǔ)充兩個(gè)，開始時(shí)的背景音樂《漫步神秘園》的第一句簡(jiǎn)譜中對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3， 2，1，2.（同時(shí)唱出）

學(xué)生表現(xiàn)得非常有興趣.

師：還有介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派時(shí)提到的無理數(shù)，它雖然不是有理數(shù)，但我們可以用有理數(shù)來估算，其中一種方法就是用兩個(gè)數(shù)列來估算. （此時(shí)再補(bǔ)充教材中用于估算的兩列數(shù)，然后再利用得到的例子對(duì)數(shù)列進(jìn)行分類，過程略）

片段3：通過研究數(shù)列本質(zhì)，了解數(shù)列的研究方法

師：剛才有同學(xué)說數(shù)列的通項(xiàng)公式和函數(shù)解析式差不多，那么，數(shù)列是不是函數(shù)呢？請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這個(gè)問題分組討論，然后你們?cè)偻扑]一位同學(xué)代表發(fā)言.

全班共分成了6組，經(jīng)過一番討論后各組都發(fā)表了觀點(diǎn)，整理如下：

組1觀點(diǎn)：數(shù)列是函數(shù).他們從函數(shù)的定義分析，認(rèn)為數(shù)列是符合函數(shù)定義的，可惜的是發(fā)言的同學(xué)表達(dá)得不太清晰，所以沒有影響到后面幾組同學(xué)的觀點(diǎn).

組2觀點(diǎn)：數(shù)列不是函數(shù).學(xué)生原意：“數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，與函數(shù)定義中有且只有一個(gè)y與x對(duì)應(yīng)有矛盾.”但她的話剛說完，就遭到其他組同學(xué)的反駁.

組3的觀點(diǎn)恰好是支持組2的.他們是從解析式角度說明，學(xué)生原意如下：“在剛才舉過的數(shù)列中，我們知道有些數(shù)列是沒有解析式的，而函數(shù)是有解析式的，所以數(shù)列不是函數(shù).”

組4從圖像的角度說明數(shù)列是滿足函數(shù)定義的.

組5認(rèn)為數(shù)列是定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù).

組6認(rèn)為是函數(shù).發(fā)言的同學(xué)對(duì)組3的發(fā)言進(jìn)行了反駁，學(xué)生原意：“雖然有些數(shù)列得不到通項(xiàng)公式，但可以在一定范圍內(nèi)得到通項(xiàng)公式，可以是分段函數(shù).”

之后筆者進(jìn)行了總結(jié)，把學(xué)生表達(dá)不清的地方重新進(jìn)行了修改，并引導(dǎo)學(xué)生從定義域、圖像、研究重點(diǎn)、函數(shù)模型這四個(gè)方面理解數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，最后得出結(jié)論. 定義域：正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，…，n}）；圖像：一群孤立點(diǎn)；研究重點(diǎn)：以自變量從小到大的順序排列的函數(shù)值；函數(shù)模型：描述離散型問題的一類模型.

師：現(xiàn)在我們知道了數(shù)列是一種離散型的函數(shù). 之前我們學(xué)習(xí)的各種函數(shù)都是連續(xù)型的，它們可作為描述生活中的一些連續(xù)型問題的模型，而數(shù)列可以作為離散型的模型，這樣就使我們用數(shù)學(xué)描述生活問題的模型更加完善. （進(jìn)一步回答了為什么要研究數(shù)列）

師：既然數(shù)列是函數(shù)，那么今后我們就可以用研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列；同時(shí)它又有著“離散”的特殊性，今后我們還能體會(huì)到數(shù)列區(qū)別于連續(xù)函數(shù)的研究方法. （回答怎樣研究）

基于核心養(yǎng)的反思

1. 研究好章頭語，引領(lǐng)整章教學(xué)

各版教材都有章頭語與章頭圖，它來源于現(xiàn)實(shí)生活，回答了研究該章節(jié)的實(shí)際意義，介紹了本章的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，反映了這一章內(nèi)容的本質(zhì).用好章頭語可以在一定程度上使數(shù)學(xué)成為一門具有生活韻味的學(xué)科，使學(xué)生知道“為什么要學(xué)”，初步了解本章結(jié)構(gòu)，并體驗(yàn)從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象過程.

筆者對(duì)章頭語的處理分兩個(gè)部分，一部分是把數(shù)列章頭語中“大自然是懂?dāng)?shù)學(xué)的”這部分設(shè)計(jì)為章節(jié)引入，以回答“為什么要學(xué)”，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，通過“樹”與“數(shù)”諧音的巧合引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界；另一部分是把關(guān)于數(shù)列的本質(zhì)放在概念得出之后進(jìn)行討論研究.

對(duì)此筆者對(duì)章頭語的使用有一個(gè)想法，就是章頭語的應(yīng)用可分為明暗兩線，明線是指對(duì)生活實(shí)際部分，即回答“為什么要學(xué)”這一部分的處理. 這部分素材、內(nèi)容可加工成課堂導(dǎo)入，在讓學(xué)生了解“為什么要學(xué)”的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)又可滲透數(shù)學(xué)抽象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)；暗線是指關(guān)于本章結(jié)構(gòu)與本質(zhì)的內(nèi)容的處理，根據(jù)各章特點(diǎn)不一定在啟始課中呈現(xiàn)給學(xué)生，但研究好它，把它貫穿整章教學(xué)，將有助于我們教師在教學(xué)中抓住章節(jié)本質(zhì)，把握教學(xué)方向.

2. 密切聯(lián)系生活，擦亮數(shù)學(xué)之眼

數(shù)學(xué)是一門很有價(jià)值的學(xué)科，而為什么我們學(xué)生甚至很多教師都覺得數(shù)學(xué)沒有用呢？主要是我們沒有培養(yǎng)好學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光. 著名的哥尼斯堡七橋問題，歐拉以敏銳的、眼光強(qiáng)烈的數(shù)學(xué)意識(shí)以及高度的抽象能力，把它轉(zhuǎn)化為“一筆畫”問題；重慶師范大學(xué)黃翔教授曾用統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)《義勇軍進(jìn)行曲》的節(jié)拍進(jìn)行分析，解釋了國歌為什么能讓人如此慷慨激昂. 他們都有很好的數(shù)學(xué)眼光，很高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，令人羨慕不已.

“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界”是數(shù)學(xué)課程的最終目標(biāo)之一，它是后兩個(gè)目標(biāo)“用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的基礎(chǔ)，而實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)就需要在平時(shí)課堂上結(jié)合生活實(shí)際，通過提問、點(diǎn)撥、創(chuàng)設(shè)情境等方式引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去擦亮他們的數(shù)學(xué)之眼.

本節(jié)課中筆者嘗試通過章節(jié)引入、創(chuàng)設(shè)情境、學(xué)生討論舉出身邊的數(shù)列等環(huán)節(jié)讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，是可親近的；又通過補(bǔ)充舉例學(xué)生沒有意識(shí)到的例子，如音樂中的數(shù)列，到最后講解教材例1的兩個(gè)擺動(dòng)數(shù)列通項(xiàng)問題時(shí)提到了它們對(duì)應(yīng)的物理意義（有阻尼振動(dòng)與無阻尼振動(dòng)），使學(xué)生產(chǎn)生了一種數(shù)學(xué)無處不在的感覺，有助于啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去看世界.

通過這個(gè)嘗試，筆者認(rèn)為如果今后在備課中認(rèn)真研究教材，發(fā)掘教材中蘊(yùn)含的與生活相關(guān)的內(nèi)容，然后融合到課堂教學(xué)中，慢慢滲透到學(xué)生的思想中，是否能夠幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)眼光去看世界的意識(shí)？

3. 開展交流討論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)表達(dá)

王尚志教授在解讀核心素養(yǎng)的報(bào)告中提到，每個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的闡述，都會(huì)涉及思維與表達(dá)、交流與反思.筆者的理解是，學(xué)生要表達(dá)自己對(duì)某個(gè)問題的想法，需要對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等處理，而在聽取他人的表達(dá)時(shí)又需要理解別人的表達(dá)并進(jìn)行分析. 根據(jù)布魯姆認(rèn)知目標(biāo)分類的七個(gè)層次“知道——領(lǐng)會(huì)——應(yīng)用——分析——綜合——評(píng)價(jià)”，學(xué)生在交流過程中，思維層次可以上升到后三個(gè)層次，所以這個(gè)過程可以很好地反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培養(yǎng)與提高.

本節(jié)課的難點(diǎn)在于數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，所以這是一個(gè)要花時(shí)間的地方. 為了讓學(xué)生更好地理解這一本質(zhì)，筆者在這一環(huán)節(jié)開展了分組討論，通過學(xué)生的發(fā)言，既可以暴露出學(xué)生存在的問題（例如語言表達(dá)不清晰、函數(shù)概念掌握上存在偏差），又可以展現(xiàn)想法上的一些亮點(diǎn)（如從圖像上進(jìn)行對(duì)比）. 在學(xué)生充分表達(dá)后，教師對(duì)學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行總結(jié)，對(duì)存在問題的地方進(jìn)行修正，對(duì)好的發(fā)言進(jìn)行肯定. 這樣學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)又可以得到培養(yǎng).

在起始課中根據(jù)教材實(shí)際，對(duì)重點(diǎn)知識(shí)或者難點(diǎn)知識(shí)開展討論，既可使學(xué)生理解、掌握這些知識(shí)，又能讓學(xué)生的核心素養(yǎng)得到培養(yǎng).

4. 適時(shí)聊數(shù)學(xué)史，了解數(shù)學(xué)發(fā)展

古語云：“以史為鑒，可以知興替.”而數(shù)學(xué)史同樣有著“鏡子”的作用. 陳省身先生在為李文林先生的《數(shù)學(xué)史概論》題詞中寫道：“了解歷史的變化是了解這門科學(xué)的一個(gè)步驟.”學(xué)生通過了解數(shù)學(xué)史可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的精神，了解所學(xué)知識(shí)的來龍去脈，有助于從更高的角度理解所學(xué)的知識(shí). 數(shù)學(xué)史還為學(xué)生提供了領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的臺(tái)階，因此，數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展有著積極作用.

問題是教學(xué)內(nèi)容的多與教學(xué)時(shí)間的少，以至于我們常常忽視了數(shù)學(xué)史的教學(xué)，就像本節(jié)課中涉及的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這本是學(xué)生在初中就應(yīng)了解的知識(shí)，但到了高中仍是知之甚少（通過課前了解，大多學(xué)生只知道畢達(dá)哥拉斯定理，而不清楚該學(xué)派及第一次數(shù)學(xué)危機(jī)）. 筆者以為是否可以根據(jù)每節(jié)課的實(shí)際情況，或是通過課堂介紹與課后作業(yè)相結(jié)合，或是把實(shí)例在堂上進(jìn)行分析討論等方法進(jìn)行數(shù)學(xué)史教學(xué). 本節(jié)課是利用教材的情境，適時(shí)介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派及第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，但并沒有鋪開講，用了留懸念的方式，引起學(xué)生的興趣，產(chǎn)生動(dòng)力后通過作業(yè)的形式讓學(xué)生進(jìn)一步去了解.