◇范午英

“抽屜問(wèn)題”是一類與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題。我多次觀摩這一內(nèi)容的視頻或現(xiàn)場(chǎng)課，發(fā)現(xiàn)一些共性問(wèn)題：讓學(xué)生列式計(jì)算還可以，但很少能講出道理來(lái)；學(xué)生做“余數(shù)是1”的題目挺順利，一旦出現(xiàn)“余數(shù)不是1”的情況就經(jīng)常出錯(cuò)；“總有一個(gè)筆筒里至少放進(jìn)（ ）支鉛筆”漸成一種模式，學(xué)生從教師那里全盤接受下來(lái)，只需填數(shù)即可，但為什么要這么說(shuō)？還有其他說(shuō)法嗎？少有問(wèn)津。

先說(shuō)身邊的一件小事。我家的餐具中有兩種筷子，一長(zhǎng)一短，混裝在一起。每每急用，抽兩支卻不配套，換一支來(lái)還不配套，一起換兩支竟然也不是一雙。著急之余突然領(lǐng)悟，這不是抽屜原理嗎？此后我便每次直接抽三支，一定有兩支是一雙可用。誰(shuí)說(shuō)抽屜問(wèn)題沒(méi)有實(shí)用價(jià)值！這么樸素的知識(shí)為什么要講得那么深?yuàn)W？一定有更通俗易懂的方式讓學(xué)生理解。于是我便又一次開始了“越雷池”之路。（注：我在貴刊2015年第5期曾發(fā)文《教師要有“越雷池”的能力》）

一、活動(dòng)導(dǎo)入

師：我有一項(xiàng)小絕技。你在練習(xí)本上任意寫5個(gè)不同的自然數(shù)，我一定能很快找出兩個(gè)數(shù)，使它們的差是4的倍數(shù)。

（學(xué)生嘗試出題，教師迅速解決）

師：要想掌握這門絕技，需要學(xué)習(xí)三項(xiàng)本領(lǐng)：抽屜原理、同余原理、4的倍數(shù)特征。今天我們就來(lái)學(xué)習(xí)第一項(xiàng)。利用抽屜原理解決的問(wèn)題簡(jiǎn)稱抽屜問(wèn)題。

【思考】開篇安排這個(gè)活動(dòng)，有兩個(gè)原因。第一，能讓所有學(xué)生參與，便于操作且有神秘感。與搶凳子、抽撲克牌等看起來(lái)很熱鬧的活動(dòng)相比，思維含量高，更能引起六年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二，問(wèn)題表述簡(jiǎn)單明了，避開了難點(diǎn)詞語(yǔ)?！罢页鰞蓚€(gè)數(shù)，使它們的差是4的倍數(shù)”，只關(guān)注能否找出一組，不用考慮共有多少組。反觀搶凳子游戲，從來(lái)不會(huì)出現(xiàn)3個(gè)或更多學(xué)生共搶一個(gè)凳子的情況，因?yàn)槊看味际菍W(xué)生數(shù)比凳子數(shù)多1，得出“總有一個(gè)凳子上坐2人”的結(jié)論，與抽屜原理貌合神離。而抽撲克牌的活動(dòng)（如圖1），需要解釋“至少有2張牌是同花色”是什么含義，可能正好是2張同花色，也可能是3張、4張甚至5張同花色，這些概括起來(lái)用“至少”表示。要把“至少”的含義厘清，不是幾句導(dǎo)入語(yǔ)就能做到的，相當(dāng)于在例題前面又加一個(gè)例題，沒(méi)有必要。

圖1

二、新課教學(xué)

1．引入背景問(wèn)題。

（1）師：抽屜問(wèn)題到底是怎么回事？有沒(méi)有同學(xué)知道？

【思考】有的學(xué)生可能通過(guò)多種渠道了解過(guò)這一內(nèi)容，教師的提問(wèn)，既讓學(xué)生回顧這一內(nèi)容，教師也能從學(xué)生的回答中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。

（2）師：顧名思義，和抽屜有關(guān)，是研究抽屜里所放物體數(shù)量的一類問(wèn)題。舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，我手中有4個(gè)火柴盒，課前請(qǐng)一位老師放進(jìn)了11根火柴，具體怎么放的我不知道，只是確定一共放進(jìn)去11根。（板書：把11根火柴放進(jìn)4個(gè)火柴盒中）可能會(huì)有哪些結(jié)果？

根據(jù)第一個(gè)學(xué)生的敘述，示范簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式，形如（a,b,c,d）。

接著，教師請(qǐng)3個(gè)學(xué)生仿照這種形式，在兩分鐘內(nèi)盡可能多地板書不同情況。

（3）師生對(duì)黑板上所列出的結(jié)果進(jìn)行檢查，看是否有錯(cuò)誤。對(duì)其中數(shù)據(jù)相同，但位置不同的情況進(jìn)行說(shuō)明：實(shí)際上屬于同一大種，細(xì)分的話算不同的小種。

師：寫完了嗎？實(shí)話告訴大家，如果按大種算共有27大種，如果按小種算共有364小種。沒(méi)寫完，怎么表示？（板書：……）

【思考】張奠宙教授說(shuō)：“學(xué)習(xí)抽屜原理的意義在于丟開窮舉檢驗(yàn)，訴諸邏輯證明?！薄艾F(xiàn)在有102個(gè)蘋果，要放進(jìn)100個(gè)抽屜里。試問(wèn)：是不是一定在某個(gè)抽屜里有2個(gè)以上的蘋果？來(lái)得及把所有的情況都擺出來(lái)嗎？怎樣論證？”張教授的觀點(diǎn)是正確的，不能指望窮舉法。這也正是我放棄教材例1（如圖2）的原因：“把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中。”學(xué)生把各種情況都擺出來(lái)了，如此得出的結(jié)論對(duì)其他題目顯然沒(méi)有說(shuō)服力。

圖2

筆者也沒(méi)有選擇例2（如圖3）。這是基于如下考慮:把7個(gè)物體放進(jìn)3個(gè)抽屜，情況也不多，共有8大種，學(xué)生一兩分鐘也能窮舉，前文中的數(shù)學(xué)思想仍無(wú)法實(shí)現(xiàn)；只改變物體數(shù)，不改變抽屜數(shù)，容易和有余數(shù)除法混淆，再理解“商加1”更困難。

因此，只有選擇短時(shí)間內(nèi)無(wú)法窮舉，又適于口算的題目為好。經(jīng)過(guò)反復(fù)斟酌，最終選定“把11個(gè)物體放進(jìn)4個(gè)抽屜”作為例題，用一個(gè)例題代替教材上兩個(gè)例題的作用。11÷4商2余3，涵蓋三種情況，極具代表性：商不是1；余數(shù)不是1；余數(shù)比商大。由于數(shù)據(jù)的增大，正好放棄適用于低年級(jí)的實(shí)際動(dòng)手操作，積極倡導(dǎo)形如（a,b,c,d）的簡(jiǎn)潔形式。既提高課堂效率，也增強(qiáng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

圖3

是否可以完全放棄窮舉法？我也做了嘗試。僅出示題目“把11根火柴放進(jìn)4個(gè)火柴盒中”，要求學(xué)生試著對(duì)火柴盒中的火柴數(shù)來(lái)一句打不破的“預(yù)言”。結(jié)果有兩種截然不同的情形：要么就是沒(méi)有人回答；要么就是提前學(xué)過(guò)的學(xué)生直接利用計(jì)算法得出結(jié)論，但說(shuō)不清道理。為什么會(huì)這樣？缺少抓手。學(xué)生需要以部分窮舉的結(jié)果作為抓手，幫助理解抽屜原理的含義。正因?yàn)楦F舉不完，才會(huì)用省略號(hào)表示，而接下來(lái)對(duì)省略號(hào)所含情況的分析推理正是本課的精華所在。

2．理解關(guān)鍵詞語(yǔ)。

（1）師：剛才我們研究的并不是抽屜問(wèn)題。其實(shí)，把364小種都寫出來(lái)，不僅難度大，而且沒(méi)多大意義。抽屜問(wèn)題對(duì)這個(gè)不感興趣！況且，這才4個(gè)火柴盒、11根火柴，如果有100根火柴放到28個(gè)火柴盒里呢？想著頭都大！

師：抽屜問(wèn)題到底關(guān)心什么呢？它關(guān)注的是每種情況里的“最大值”（板書）。

什么是最大值？讓學(xué)生舉例說(shuō)明。指出允許并列。請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生圈出黑板上寫出的每種情況的最大值。

師：沒(méi)寫出的情況有沒(méi)有最大值？

（2）師：這么多最大值，有看見(jiàn)的，有看不見(jiàn)的，有多的，有少的。是不是想有多大就有多大？想有多小就有多??？有沒(méi)有一個(gè)范圍？

學(xué)生很容易找到上限，在（11,0,0,0）中。

師：最多只能是11根，我們稱之為這些最大值的“上限”。這些最大值的下限（板書）會(huì)是幾呢？

（3）師：你找的下限能否代表那些沒(méi)有寫出的結(jié)果？為什么一定不會(huì)比3根再少呢？引出反證法。

∵如果最大值是2根，那么4個(gè)火柴盒最多放 2×4=8（根）＜11 根，沒(méi)有放完。

∴最大值的下限不可能是2根，只能是3根，如（3,3,3,2）。

（4）小結(jié)：把11根火柴放進(jìn)4個(gè)火柴盒中，最大值的上限是11根，下限是3根。

打開火柴盒驗(yàn)證（比如最大值是5）。

“為什么不是3根？”“在我們判斷的范圍內(nèi)嗎？”

【思考】抽屜原理的結(jié)論本身只能說(shuō)明一個(gè)抽屜的情況，但不能特指，教材也就不敢明說(shuō)?！翱傆幸粋€(gè)抽屜”常常導(dǎo)致學(xué)生盯著不是最大值的那個(gè)抽屜發(fā)呆：“你又沒(méi)說(shuō)是哪個(gè)抽屜？這個(gè)抽屜好像更少？”抽屜原理暗指的那個(gè)抽屜真的就沒(méi)有特征嗎？筆者以為就是“放物體最多的那個(gè)抽屜”，它里面放的物體數(shù)簡(jiǎn)稱“最大值”。抽屜原理結(jié)論中的數(shù)就是所有最大值的下限，這個(gè)下限只是所有最大值中的一種情況，所以至少有3根，并不是一定有3根的意思。能“明說(shuō)”底氣就足了，借助最大值、上限、下限這幾個(gè)名詞，反證法也就容易理解了。反證法不是教材規(guī)定的步驟，但作為演繹推理的反證法克服了窮舉的弊端，推理清楚，說(shuō)服力強(qiáng)，在簡(jiǎn)單抽屜問(wèn)題中比較適用。而出示書面語(yǔ)言讓學(xué)生學(xué)習(xí)，主要是考慮到中小學(xué)銜接。

3．原創(chuàng)碰撞教材。

（1）師：咱們課本上并不是這么說(shuō)的，對(duì)于“把11根火柴放進(jìn)4個(gè)火柴盒中”，給出的結(jié)論是：總有一個(gè)火柴盒里至少放3根火柴。對(duì)比這兩種說(shuō)法，你能解釋課本上的結(jié)論是什么意思嗎？

（2）學(xué)生思考后發(fā)言。

生：“總有”表達(dá)一種肯定的語(yǔ)氣。

生：“一個(gè)抽屜”就是指最大值?！?/p>

生：“至少放3根”就是最大值的下限。

師：它怎么沒(méi)提上限的事？

生：過(guò)于簡(jiǎn)單，地球人都知道，所以沒(méi)提。

師：原來(lái)這兩種說(shuō)法是一回事，都可以使用。

（3）師：“至少放3根”，能不能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示這個(gè)意思？（板書≥3）

【思考】有段時(shí)間，筆者一直把兩種說(shuō)法割裂開來(lái)，推崇原創(chuàng)的同時(shí)放棄了教材上的結(jié)論。隨著思考的深入，逐漸感覺(jué)兩者是統(tǒng)一的——原創(chuàng)的說(shuō)法更好理解，但教材上的結(jié)論很嚴(yán)謹(jǐn)。學(xué)生以后看到更多的是類似教材上的結(jié)論，若溝通不好，就弄巧成拙了。數(shù)學(xué)符號(hào)“≥”雖然超出了小學(xué)教學(xué)內(nèi)容的范圍，但學(xué)生并不難理解，筆者認(rèn)為還是應(yīng)該以學(xué)生實(shí)際的理解能力為教學(xué)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。