◇張 丹

提到應(yīng)用意識，我愿意首先提及美國國家研究委員會數(shù)學(xué)科學(xué)委員會2012年發(fā)布的報(bào)告“2025年的數(shù)學(xué)科學(xué)”。而在20世紀(jì)最后十幾年，這個(gè)委員會曾先后發(fā)布兩份重要報(bào)告：“人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來”“振興美國數(shù)學(xué)——90年代的計(jì)劃”。

早在1989年，報(bào)告“人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來”中就已經(jīng)提到了數(shù)學(xué)的驚人應(yīng)用：“數(shù)學(xué)的驚人應(yīng)用已在自然科學(xué)、行為科學(xué)和社會科學(xué)的全部領(lǐng)域出現(xiàn)，在現(xiàn)代科學(xué)的任何部分都已打上了抹不掉的數(shù)學(xué)印記，就像科學(xué)本身也推動了許多數(shù)學(xué)分支的發(fā)展一樣?！?/p>

23年之后，2012年的報(bào)告“2025年的數(shù)學(xué)科學(xué)”中指出：“每個(gè)人都應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)科學(xué)。數(shù)學(xué)不只是研究數(shù)字，數(shù)學(xué)還處理幾何圖形、邏輯模式、網(wǎng)絡(luò)、隨機(jī)性和不完整數(shù)據(jù)預(yù)測等。數(shù)學(xué)科學(xué)幾乎滲透到日常生活的各個(gè)方面?！睘榇?，報(bào)告中還列舉了美國的一個(gè)普通男人（鮑勃）和一個(gè)普通女人（愛麗絲）的日常生活中是如何與數(shù)學(xué)產(chǎn)生關(guān)系的：“無論他們知道與否，他們的生活都強(qiáng)烈地依賴于數(shù)學(xué)科學(xué)，他們被包裹在數(shù)學(xué)科學(xué)各分支領(lǐng)域編織的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中?！眻?bào)告明確給出了如下建議：“數(shù)學(xué)教育工作者應(yīng)當(dāng)向中小學(xué)生和本科生說明他們所教的數(shù)學(xué)科學(xué)主題的作用，以及有哪些職業(yè)會利用這些數(shù)學(xué)科學(xué)主題?！?/p>

正是基于這樣的共識，我們需要鼓勵(lì)學(xué)生帶著數(shù)學(xué)的眼光去觀察、去思考、去表達(dá)我們所生活的這個(gè)世界，發(fā)展他們的應(yīng)用意識應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育最重要的目標(biāo)之一。

一、應(yīng)用意識的內(nèi)涵

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》對“應(yīng)用意識”是這樣描述的：“認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)藏著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有廣泛的應(yīng)用；面對現(xiàn)實(shí)問題時(shí)，能主動嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識尋求解決問題的策略；面對新的數(shù)學(xué)知識時(shí)，能主動地尋找其現(xiàn)實(shí)背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值?！边@三個(gè)方面，不僅僅關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知方面，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感動機(jī)。換言之，希望學(xué)生能夠意識到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，能夠主動嘗試用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決一些問題。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，對“應(yīng)用意識”進(jìn)行了如下的刻畫：“一方面，有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題；另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中，都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，綜合實(shí)踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體?！笨梢院唵蔚卣f，這兩個(gè)方面就是有利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋生活現(xiàn)象和解決問題的意識。

比如，走進(jìn)一個(gè)教學(xué)研討的會場，我們發(fā)現(xiàn)第一排大約30人中，只有3位男老師，另外27位都是女老師。從數(shù)學(xué)的角度思考，我們會提出哪些問題呢？比如，為什么第一排的男老師比例這么低？是活動現(xiàn)場所有男老師的比例就這么低嗎？這是生活中的一個(gè)現(xiàn)象，我們可以使用哪些數(shù)學(xué)原理來解釋這個(gè)現(xiàn)象？是從小學(xué)教師性別比例去解釋，還是從不同性別的老師在選擇座位時(shí)的行為習(xí)慣來尋找原因？如果我們有意識地觀察，就會發(fā)現(xiàn)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，可以抽象成數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法來解決。

綜上，我認(rèn)為應(yīng)用意識具體體現(xiàn)在如下四個(gè)方面：①認(rèn)識到數(shù)學(xué)是有用的；②有意識地發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)信息和問題；③主動嘗試去解釋現(xiàn)象、解決實(shí)際問題；④積極尋找數(shù)學(xué)對象的實(shí)際背景。當(dāng)學(xué)生有“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”的愿望，并主動思考、積極行動時(shí)，就說他們具有了應(yīng)用意識，用一個(gè)等式可以簡潔地表示為：嘗試愿望+主動思考+積極行動=應(yīng)用意識。

二、努力讓學(xué)生與所學(xué)內(nèi)容有“第三類接觸”

《為未知而教，為未來而學(xué)》一書的作者戴維·珀金斯是美國著名教育心理學(xué)家，哈佛大學(xué)資深教授，從事教育心理研究多年。珀金斯在這部作品中強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)，一點(diǎn)是知識的生活價(jià)值，另一點(diǎn)是激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心。書中提到了所謂的“第三類接觸”，也就是讓更多的知識在生活中具有價(jià)值。

《第三類接觸》是美國的一部科幻電影，1977年正式上映。影片講述的是世界各地發(fā)生神秘事件，之后一批外星人來到地球，和地球人做心靈溝通的故事。實(shí)際上，地球人和外星人的接觸分為三類：一是只看到了外星人的飛船；二是發(fā)現(xiàn)了外星人遺留在周圍環(huán)境中的證據(jù)；三是直接看見了外星人，并且與外星人有面對面的交流。

小學(xué)階段大量的內(nèi)容在生活中有著廣泛的應(yīng)用，每位教師都需要叩問自己：實(shí)際教學(xué)中，我是否為孩子和這些內(nèi)容提供了真正進(jìn)行第三類接觸的機(jī)會？正如“2025年的數(shù)學(xué)科學(xué)”所舉的鮑勃和愛麗絲在生活中遇到的事情一樣，數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子幾乎與我們形影不離。下面列舉兩例。

生活中，我們用的杯子基本上都做成圓柱或圓臺的樣子（如圖1），但機(jī)場的一次性水杯有不少是圓錐形的（如圖2）。為什么要把紙杯做成圓錐形的？這個(gè)水杯的底面半徑與高的比是如何確定的？紙杯的容積是如何確定的？與普通人喝一大口水的量是什么關(guān)系？

圖1

圖2

我們乘火車或飛機(jī)，都要對行李進(jìn)行掃描以進(jìn)行安全檢查，安檢儀掃描出的圖像如圖3所示，安檢員要通過觀察這樣的圖像，判斷其中是否有危及公共安全的物品。他們是如何將圖像與實(shí)物建立聯(lián)系的呢？如何由圖還原為實(shí)物呢？

圖3

其實(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中有不少根據(jù)圖還原實(shí)物的活動，如觀察物體的內(nèi)容。我曾經(jīng)聽過這樣一節(jié)課，學(xué)習(xí)觀察物體后，一名學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“用教材中的方法，不能確定圖4中間是否有凹槽。”（此案例來自北京大學(xué)附屬小學(xué)四年級的學(xué)生。學(xué)生的意思是，圖4上面一層中間是否有小方塊，用教材中畫三視圖的方法不能確定）

圖4

帶著對這個(gè)問題的好奇，學(xué)生“創(chuàng)造”了很多方法來確定這里到底有沒有凹槽。比如，對于圖5左上角的幾何體，學(xué)生想到了不同的方法：可以用陰影表明凹凸，可以一層一層表示，還可以畫對鉤表示。

圖5

數(shù)學(xué)科學(xué)其實(shí)離我們并不遙遠(yuǎn)，幾乎所有的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容都能在生活中找到生長點(diǎn)。要讓學(xué)生和數(shù)學(xué)發(fā)生第三類接觸，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，最關(guān)鍵的是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程中關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用，讓學(xué)生的應(yīng)用意識在潤物細(xì)無聲中萌芽、成長。基于這樣的認(rèn)識，北師大版教材（以下簡稱“教材”）確立了“問題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”的基本敘述方式，希望從一年級到六年級，都是從學(xué)生喜聞樂見的一個(gè)或一組與課程內(nèi)容有內(nèi)在聯(lián)系的特定情境出發(fā)，展開一組問題，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下理解情境、解決問題，而這個(gè)過程，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程，也是應(yīng)用意識發(fā)生和發(fā)展的過程。

三、發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的建議

如何發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識呢？以下給出六個(gè)方面的建議，供大家參考。

1.創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，體現(xiàn)知識的形成和應(yīng)用過程。

這里的實(shí)際情境，應(yīng)該是有趣的、現(xiàn)實(shí)的、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)意義的、富有一定挑戰(zhàn)性的，既能引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，體會知識的形成和應(yīng)用過程。

一些重要數(shù)學(xué)概念的形成，往往要經(jīng)歷一個(gè)漫長的過程，雖然我們無法讓學(xué)生完整地還原整個(gè)過程，但一個(gè)真實(shí)可感、富含意義、令人著迷的情境設(shè)計(jì)，可以幫助學(xué)生體驗(yàn)這個(gè)過程。

以“比的認(rèn)識”為例。比是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，史寧中教授指出“比是兩個(gè)數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達(dá)或度量”[1]，這種倍數(shù)關(guān)系，能夠幫助我們對現(xiàn)實(shí)生活問題進(jìn)行表達(dá)，而且這種關(guān)系能夠讓我們度量現(xiàn)實(shí)生活中的問題。為此，教材創(chuàng)設(shè)了“圖片像不像”這樣一個(gè)與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系密切的情境，如圖6所示。

圖6

為了使這個(gè)情境更加“真實(shí)可感”，北京市海淀區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)在教材情境的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了在電腦上拉動照片的活動。由于拉動方式的不同導(dǎo)致圖片的形狀發(fā)生了變化。那么，幾幅圖片中，哪些沒有變形？學(xué)生在操作和思考中，體會到必須結(jié)合長方形的長和寬兩個(gè)要素，才能表達(dá)圖片像不像，有沒有變形，而這種表達(dá)，需要借助除法，借助倍數(shù)的關(guān)系。

在此，或許有學(xué)生會產(chǎn)生這樣的疑問：有了除法和分?jǐn)?shù)，我們?yōu)槭裁催€要學(xué)習(xí)比呢？這是學(xué)生自然生發(fā)的問題，我們需要面對，讓學(xué)生體會比表達(dá)了兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系。我曾經(jīng)和一名學(xué)生有過這樣的討論：

師：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)比？比如，1份甘蔗汁2份水，你是愿意寫成，還是愿意寫成1∶2呢？

生：我愿意寫成 1∶2。

師：為什么？

生：1∶2 就像一個(gè)模子，你有了 1∶2 以后，“1”可以裝很多東西，“2”也可以裝很多東西，1∶2 這種關(guān)系看得更清楚。要是寫成，我還要想一想。

師：比如，金龍魚調(diào)和油，1∶1∶1……

生：這好像就很難寫成分?jǐn)?shù)或除法了。

正是為了幫助孩子理解“比”這種數(shù)量之間關(guān)系的表達(dá)，教材在“比的認(rèn)識”一課的“試一試”中，設(shè)計(jì)了如圖7所示的情境，借助“甘蔗汁”“樹高和影長”的素材，幫助學(xué)生理解。

圖7

那么，如何理解“度量”呢？我們?nèi)匀豢梢曰氐缴钪小τ诒容^，學(xué)生有很多經(jīng)驗(yàn)，比高矮，比大小，那么，如果要比較糖水甜不甜，應(yīng)該怎么辦呢？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，只看糖的多少不行，還要看水的多少，要把糖和水的關(guān)系刻畫出來，這就是關(guān)于甜不甜的一種度量。由此，比既是“模子”，你只要知道1∶2，那么只要滿足1份和2份的關(guān)系即可；比又是一把隱性的“尺子”，可以量一杯水甜不甜，量一個(gè)人走得快還是慢，量這個(gè)商品的價(jià)格貴還是便宜，量斜坡陡不陡……

當(dāng)然，除了教材中提供的素材，生活中其實(shí)還有很多類似的例子。比如，“螞蟻和大象誰是大力士”，要判斷是不是大力士，除了跟它舉起來的物體的質(zhì)量有關(guān)，還跟其自身的質(zhì)量有關(guān)，那么，就可以用這兩個(gè)量的比來刻畫。再如，一個(gè)人的胖瘦不僅和體重有關(guān)，還和身高有關(guān)，所以用體重（千克）比身高（米），就可以得到一個(gè)定義胖瘦的比。那么，這個(gè)比是否合適呢？就要看其是否更好地反映客觀現(xiàn)實(shí)。人們經(jīng)過調(diào)整發(fā)現(xiàn)，其實(shí)體重（千克）比身高（米）的平方（其比值即BMI指數(shù)），刻畫得更好。

在《小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的比及其教學(xué)》一文中，史寧中教授還列舉了“夏普比”“信噪比”“優(yōu)度比”等例子，并進(jìn)一步闡述道：“如果要對一個(gè)事物的優(yōu)劣進(jìn)行度量，可以探尋影響優(yōu)劣的關(guān)鍵要素，然后基于關(guān)鍵要素之比構(gòu)建度量指標(biāo)?；谶@個(gè)思路，可以根據(jù)生活中的經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動，讓學(xué)生在這樣的活動中感悟數(shù)學(xué)是如何利用兩個(gè)數(shù)量的比合理地分析和解決問題的，并且讓學(xué)生逐漸建立這樣的理念：可以人為地建立各種度量指標(biāo)，判斷度量指標(biāo)好壞的標(biāo)準(zhǔn)就是是否更好地反映客觀現(xiàn)實(shí)?！痹诂F(xiàn)實(shí)生活中，如果我們要度量一個(gè)事物，可以探尋影響事物的關(guān)鍵要素，然后找到各關(guān)鍵要素之間的關(guān)系，這種關(guān)系如果恰好是倍數(shù)關(guān)系，那就建立了一個(gè)比，這就是比的現(xiàn)實(shí)來源和數(shù)學(xué)本質(zhì)。當(dāng)然，這些例子小學(xué)生不一定能夠全部理解和接受，但我們希望學(xué)生可以學(xué)會這樣思考，并以此去觀察和解釋生活中的現(xiàn)象。我們希望學(xué)生能夠在生活中尋找到這樣的例子，能夠真正感受到與“比”的第三類接觸。

聯(lián)想到發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，那么，數(shù)學(xué)教育的投入和回報(bào)是否也是一種比呢？在這些比中，哪些是正向的（起促進(jìn)作用）？哪些是負(fù)向的（起阻礙作用）？或許每個(gè)人心中都會有一個(gè)公式。不過我想，應(yīng)用意識一定是在正向的位置上。

2.鼓勵(lì)學(xué)生從生活中發(fā)現(xiàn)和提出問題。

兒童是充滿好奇心的，他們的學(xué)習(xí)過程就是一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。正如一名兒童這樣描述自己對學(xué)習(xí)的理解：“學(xué)習(xí)就是你帶著很多很多問題，然后嘗試去解決它們，接著又產(chǎn)生了很多很多新的問題，再去解決，如此反復(fù)的過程?！睂W(xué)生的很多問題來自于他們的現(xiàn)實(shí)生活，而學(xué)習(xí)的源頭就可以是他們在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出的問題。

老師們可能都有這樣的經(jīng)歷，二年級學(xué)習(xí)乘法口訣時(shí)，學(xué)生往往興致不高，不少學(xué)生已經(jīng)會背口訣了，缺乏學(xué)習(xí)的需要。一位老師在教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)生活，并聚焦在購物時(shí)物品的包裝上（本案例由北京教科院豐臺實(shí)驗(yàn)小學(xué)提供，圖略）。

2個(gè)一包、3個(gè)一包、4個(gè)一包……不同的物品，一包中物品的數(shù)量不同，學(xué)生在認(rèn)真觀察后，提出了很多有意思的問題，基本上可以分為兩類。一類是跟乘法相關(guān)的，如“一盒a個(gè)，買了b盒，一共有多少個(gè)”“一排x個(gè)，有y排，一共有多少個(gè)”“一盒m元，買n盒，一共多少元”。其實(shí)，學(xué)生共同把這些問題解決了，也就學(xué)習(xí)了乘法口訣。另一類則是其他問題，如“為什么會設(shè)計(jì)那么多包裝”“同樣的筆，為什么有的筆要包成4支一包，有的筆要包成6支一包”“為什么酸奶2個(gè)一行，但雞蛋要擺成3個(gè)一行”“是不是7個(gè)一包的會少一些呢”“每盒口香糖中的數(shù)量一樣嗎”“東西買走后，超市是否還會有這種東西呢”。這些問題來源于他們的日常經(jīng)驗(yàn)和好奇心。正是因?yàn)橛辛碎_放的情境和豐富的素材，學(xué)生才有了在生活中發(fā)現(xiàn)和提出問題的意愿，應(yīng)用意識自然生長。

在北京市海淀區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，在教學(xué)“比的認(rèn)識”和“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生能夠真正發(fā)現(xiàn)和提出自己感興趣的實(shí)際問題，教師通過精心設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)際體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等。學(xué)生發(fā)現(xiàn)拉伸照片時(shí)，要刻畫照片變形不變形，需要數(shù)學(xué)，水結(jié)成冰后體積變大了，怎么描述變大的情況，需要數(shù)學(xué)，甚至有孩子提出來：“是清水變成冰后體積變大的效力大，還是糖水變成冰后體積變大的效力大？”在兩個(gè)單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師對這個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了一次訪談，詢問：“這兩個(gè)單元中你認(rèn)為學(xué)習(xí)的最重要的事情是什么？”39名學(xué)生中有23名都表達(dá)出，最重要的是學(xué)會了“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”。學(xué)生的語言質(zhì)樸卻打動人心：“生活中很多東西都可以用數(shù)學(xué)來表達(dá)，我們學(xué)到了觀察生活中很多看似平常的事，可以深入思考為什么，怎么它就變成這樣，這樣做有什么依據(jù)嗎……”

在這樣的活動中，學(xué)生親身體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)問題，他們真正感受到生活中有數(shù)學(xué)，學(xué)會了用數(shù)學(xué)的眼光看世界，當(dāng)然也感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。有一個(gè)學(xué)生這樣說：“太有意思了，我學(xué)會了怎么去思考。原來我們在學(xué)習(xí)過程中，A就是A，B就是B，沒有任何聯(lián)想?，F(xiàn)在讓我去聯(lián)想，我也有了探索的精神……”由此可見，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，是發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識很好的手段之一。