徐華鋒

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生自主經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題情境中探索隱含的數(shù)學(xué)模型，然后嘗試去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)量關(guān)系是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要載體，對(duì)學(xué)生理解和進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)問(wèn)題具有至關(guān)重要的作用。教師應(yīng)從“借助情境，強(qiáng)化體驗(yàn)”“數(shù)形結(jié)合，有效聯(lián)合”“有效讀題，正確解答”等方面入手，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)量意識(shí)，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的最近發(fā)展區(qū)，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

[關(guān)鍵詞]情境；數(shù)量意識(shí)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)形結(jié)合；問(wèn)題解決

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）20-0056-03

學(xué)生數(shù)學(xué)能力“缺失”的重要原因是缺乏思維的方法，缺乏解決問(wèn)題的策略。教學(xué)中，教師要采取有效策略，對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題本身的內(nèi)在邏輯關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）入手，厘清解題的思路，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的原點(diǎn)，從而有效培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。那么，如何做到“春種一粒粟，秋收萬(wàn)顆子”呢？

【策略一】“借東風(fēng)”——借助情境，強(qiáng)化體驗(yàn)

1.從情境中體驗(yàn)數(shù)量關(guān)系

與問(wèn)題解決有關(guān)的題目一般都是由情境和數(shù)量關(guān)系兩方面組成的，其中數(shù)量關(guān)系是問(wèn)題求解的關(guān)鍵，情境是指條件和問(wèn)題的表達(dá)方式，是影響學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的重要因素。問(wèn)題的解決，在于透過(guò)情境把握數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而確定算法。問(wèn)題解決的教學(xué)，要使學(xué)生經(jīng)歷掌握數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，經(jīng)歷對(duì)較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析綜合、抽象概括和判斷推理的過(guò)程。

如三年級(jí)上冊(cè)的“解決問(wèn)題”：小明的媽媽在統(tǒng)計(jì)自己的手機(jī)流量，她發(fā)現(xiàn)上周用了386兆流量，這周用的流量是上周的2倍。小明的媽媽兩周一共用了多少兆流量？

教師可引導(dǎo)學(xué)生按下列步驟解決問(wèn)題：

（1）分析數(shù)量關(guān)系：上周用的流量+這周用的流量=兩周一共用的流量，列出算式：386+386×2=386+772=1158（兆）。

（2）如果把上周用的流量看作1份，那么這周用的流量則是2份，列式：386×（1+2）=386×3=1158（兆）。

（3）想一想：我們是怎樣解決問(wèn)題的？（使學(xué)生在這樣的情境中感悟上周用的流量、這周用的流量與兩周一共用的流量三者之間的關(guān)系）

實(shí)際教學(xué)顯示，在良好的教學(xué)情境下，學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)不是把問(wèn)題和類型相聯(lián)系，而是將情境中的問(wèn)題與運(yùn)算相聯(lián)系。因此，教師不必在語(yǔ)言上做太多的強(qiáng)化，而是應(yīng)該為學(xué)生提供真實(shí)又熟悉的情境，讓學(xué)生在情境中自主探索和體驗(yàn)問(wèn)題里的數(shù)量關(guān)系。

2.從體驗(yàn)中概括數(shù)量關(guān)系

生活和工作中隨處都有數(shù)量關(guān)系，人們常常利用數(shù)量關(guān)系去認(rèn)識(shí)事物、分析事物，用數(shù)量關(guān)系去解決問(wèn)題。因此，數(shù)量關(guān)系的概括是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備技能。教師要有目的地進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系式，如“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”“速度×?xí)r間=路程”等，學(xué)生對(duì)這些數(shù)量關(guān)系比較熟悉，在充分體驗(yàn)和感悟的基礎(chǔ)上能夠自主概括出來(lái)，從而留下深刻印象。

例如，教學(xué)“單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)”時(shí)，我先用課件出示一個(gè)花店的情境圖，然后引導(dǎo)學(xué)生依次解決以下問(wèn)題：

（1）自己提出問(wèn)題并嘗試解決，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感悟單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的含義。（如：小紅買3枝菊花，需要多少元錢？再買1枝百合花，一共需要多少元錢？）

（2）簡(jiǎn)要概括單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的關(guān)系。

（3）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)配花方案，用于布置國(guó)慶聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)，價(jià)格不超過(guò)80元。你會(huì)怎樣配？

通過(guò)實(shí)際體驗(yàn)，學(xué)生不但理解了單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的含義，而且感受到了運(yùn)用“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這個(gè)數(shù)量關(guān)系式的重要性。

【策略二】“聯(lián)縱橫”——數(shù)形結(jié)合，有機(jī)聯(lián)合

數(shù)形結(jié)合是通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、相互對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)與直觀的圖形相結(jié)合，或從直觀的圖形中概括抽象的數(shù)學(xué)。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微?！痹诮虒W(xué)數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以借助圖形的性質(zhì)，將數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，使抽象的概念和關(guān)系直觀化、形象化，幫助學(xué)生有效分析數(shù)量關(guān)系，提高問(wèn)題解決的正確率。

1.從“形”到“數(shù)”，逐步建立數(shù)學(xué)模型

由于年齡和心理發(fā)展的特點(diǎn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維需經(jīng)歷從形象直觀逐步走向抽象的過(guò)程，因此教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從直觀的圖形演示和對(duì)比中尋找數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，從而構(gòu)建問(wèn)題解決的基本模型。

如教學(xué)“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的應(yīng)用題時(shí)，我校一位教師是這樣設(shè)計(jì)的：

師（談話引入）：六一兒童節(jié)快到了，老師想和小朋友一起裝扮我們的教室。你們看老師準(zhǔn)備了什么？

（課件出示：紅花

藍(lán)花）

師：誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)這兩種花之間的關(guān)系？

生1（預(yù)設(shè)）：相差關(guān)系。紅花比藍(lán)花多4朵，藍(lán)花比紅花少4朵。

生2（預(yù)設(shè)）：相加關(guān)系。紅花和藍(lán)花一共有12朵。

生3（預(yù)設(shè)）：倍數(shù)關(guān)系。紅花的數(shù)量是藍(lán)花的2倍。

師：為什么說(shuō)紅花的數(shù)量是藍(lán)花的2倍呢？這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)倍數(shù)的有關(guān)知識(shí)。

生4（預(yù)設(shè)）：藍(lán)花有4朵，紅花有2個(gè)4朵，8÷4=2。

生5（預(yù)設(shè)）：把藍(lán)花的數(shù)量看成1份，紅花的數(shù)量則為2份，8÷4=2。

師（變一變）：藍(lán)花數(shù)量不變，紅花變成12朵，這時(shí)紅花的數(shù)量是藍(lán)花的幾倍？

師：生活中還有哪些現(xiàn)象也存在倍數(shù)關(guān)系？

生6（預(yù)設(shè)）：我得了9顆智慧星，王玲得了3顆，我得的智慧星數(shù)量是王玲得的3倍。

生7（預(yù)設(shè)）：我今年8歲，媽媽32歲，媽媽的年齡是我的4倍。

師：剛才大家列舉了生活中一些類似紅花和藍(lán)花倍數(shù)關(guān)系的現(xiàn)象，現(xiàn)在我們?cè)倏创笃聊弧?/p>

（課件出示：第一行紅花

師：把花朵放到長(zhǎng)方形里，我們很容易看出紅花的數(shù)量是藍(lán)花的2倍。想一想，除了紅花和藍(lán)花，把什么放到這些長(zhǎng)方形里，也能形成倍數(shù)關(guān)系？

生8（預(yù)設(shè)）：第一行的兩個(gè)長(zhǎng)方形里可以各放4個(gè)蘋果，第二行的長(zhǎng)方形里放4個(gè)梨。

師：蘋果的個(gè)數(shù)是梨的幾倍？列出算式。（8÷4=2）

師：物品的種類和數(shù)量還可以怎樣變呢？

生9（預(yù)設(shè)）：在第一行的每個(gè)長(zhǎng)方形里放6元錢，一共12元，在第二行的長(zhǎng)方形里放6元錢。

師：第一行的錢是第二行的幾倍？（12÷6=2）

師：剛才不管大家怎么改變數(shù)量或物品的種類，算出的倍數(shù)都是2，這是怎么回事？（都是把第二行看成一份，第一行有這樣的2份，所以它們總是存在2倍的關(guān)系）

師：第二行的藍(lán)花數(shù)量不變，第一行變成這樣的4份（如下圖）。現(xiàn)在紅花的數(shù)量是藍(lán)花的幾倍？列出算式。（16÷4=4）

師：第一行還可以怎樣變？（長(zhǎng)方形的數(shù)量可以變，每個(gè)長(zhǎng)方形里的花朵的數(shù)量也可以變）

師（小結(jié)）：我們剛才研究的都是兩個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，而且都是把其中一個(gè)數(shù)看成1份，另一個(gè)數(shù)有這樣的幾份，就是幾倍，即找到比較的兩個(gè)數(shù)→明確把哪個(gè)數(shù)看成1份→看另一個(gè)數(shù)中含有這樣的幾份，可以用除法來(lái)計(jì)算（求出倍數(shù)）。

該教學(xué)設(shè)計(jì)層層深入，能引導(dǎo)學(xué)生在圖形的變化與比較中深刻理解倍數(shù)關(guān)系，從而有效構(gòu)建“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”的思維原型，即“一個(gè)數(shù)÷另一個(gè)數(shù)”。

2.從“數(shù)”到“形”，有效激發(fā)學(xué)生思維

研究表明，低年級(jí)學(xué)生主要是憑借事物的具體形象來(lái)進(jìn)行直觀思維活動(dòng)的，而在解決問(wèn)題時(shí)所明確的數(shù)量關(guān)系通常需要通過(guò)抽象思維來(lái)理解。這是解決問(wèn)題教學(xué)中的一個(gè)突出矛盾，若能把抽象的數(shù)量關(guān)系用恰當(dāng)?shù)?、形象的圖形表示出來(lái)，就可以解決這一矛盾，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

如，題目：一桶油，連桶共重20千克，吃掉一半油后，剩下的油連桶重11千克。吃掉了多少千克油？原來(lái)一桶油重多少千克？

從條件來(lái)分析：桶和油之間到底存在什么樣的數(shù)量關(guān)系？吃掉一半油后，桶和油之間又是一種什么樣的數(shù)量關(guān)系？低年級(jí)學(xué)生大都感覺(jué)此類數(shù)量關(guān)系抽象，但在我改用圖形（如下圖）表示它們之間的數(shù)量關(guān)系后，學(xué)生馬上就明白了桶和油之間的關(guān)系，然后巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題。

可以發(fā)現(xiàn)，在解決問(wèn)題的教學(xué)中充分滲透數(shù)形結(jié)合的思想，把抽象的數(shù)量關(guān)系用恰當(dāng)?shù)膱D形直觀地表示出來(lái)，有助于提高學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，事半功倍。

又如，題目：醫(yī)院包扎用的三角巾是底和高都為9分米的等腰直角三角形?，F(xiàn)在有一塊長(zhǎng)75分米、寬18分米的白布，最多可以做這樣的三角巾多少塊？

學(xué)生往往會(huì)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)“總面積÷一塊的面積”，列出算式75×18÷（9×9÷2），但這并不符合實(shí)際情況。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解“密鋪”問(wèn)題的解題思路，我引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖進(jìn)行模擬操作：

由圖可知，可以將這塊白布沿寬平均分成兩份，每份可以做16塊三角巾，因此這塊白布一共能做這樣的三角巾16×2=32（塊）。如此，學(xué)生很容易就理解和掌握了“密鋪”的數(shù)學(xué)思想方法。

數(shù)形結(jié)合的方法能夠很好地促進(jìn)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，靈活解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)能有效地防止學(xué)生生搬硬套，開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。教師要有效利用數(shù)形結(jié)合的方法，不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)牟牧?，引?dǎo)學(xué)生將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把抽象的解題思路形象化。這樣不僅有利于學(xué)生順利、高效地學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，還有助于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)能力的增強(qiáng)，最為關(guān)鍵的是能夠幫助學(xué)生有效構(gòu)建基本的數(shù)學(xué)思維模型。

【策略三】“慎讀之”——有效讀題，正確解答

解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)中，除了“情境體驗(yàn)”和“數(shù)形結(jié)合”這兩種有效的訓(xùn)練方式以外，有效讀題，正確理解題意，也是提高學(xué)生問(wèn)題解決能力的一種有效方法。

1.據(jù)題目情境，尋找對(duì)應(yīng)模型

例如，對(duì)于題目“一輛汽車從甲地開(kāi)往乙地，開(kāi)了2.5小時(shí)，已知該車每小時(shí)行駛52千米，甲、乙兩地相距多少千米？”，我這樣引導(dǎo)：

（1）想一想，這是關(guān)于什么問(wèn)題的應(yīng)用題？（行程問(wèn)題）

（2）行程問(wèn)題有什么數(shù)量關(guān)系？（速度×?xí)r間=路程）

（3）題目要求的是哪個(gè)量？（路程）要求這個(gè)量，需要知道哪些條件？（速度、時(shí)間）

（4）嘗試根據(jù)找到的相關(guān)“量”的數(shù)據(jù)，列式解答。

2.從關(guān)鍵字詞入手，建立等量關(guān)系

應(yīng)用題中往往隱含著一定的數(shù)量關(guān)系，而一些關(guān)鍵字詞，如是、等于、相當(dāng)于之類的字詞，則有助于學(xué)生正確把握題目中的數(shù)量關(guān)系。因而在教學(xué)中，教師應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生將這些關(guān)鍵字詞用數(shù)學(xué)特有的形式（數(shù)量關(guān)系式）表示出來(lái)。

例如，對(duì)于題目“小軍爸爸今年36歲，是小軍年齡的2倍，小軍今年幾歲？”，我這樣引導(dǎo)：

（1）找出題目中表明兩者關(guān)系的字詞。（是）

（2）聯(lián)系前后，找出小軍爸爸的年齡和小軍的年齡的關(guān)系。

（3）列式解答。

3.順應(yīng)邏輯順序，找準(zhǔn)數(shù)量間的關(guān)系

學(xué)生在讀題時(shí)，準(zhǔn)確捕捉數(shù)量間的關(guān)系是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。教師要引導(dǎo)學(xué)生在讀題時(shí)從中提煉出已知條件和所求問(wèn)題，厘清各個(gè)量之間的關(guān)系，然后用式子表示出來(lái)。

如，解答“第一車重1650千克，比第二車重1/10，第三車比第二車輕1/12，第三車重多少千克？”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生邊讀題邊順著題意思考，讀完之后，再捋一捋解題思路：要求“第三車”，得先求出“第二車”；分析前兩個(gè)已知條件，發(fā)現(xiàn)單位“1”未知，需要用除法解決。一來(lái)二去，反復(fù)推敲，數(shù)量關(guān)系就會(huì)慢慢浮現(xiàn)出來(lái)了。

在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，數(shù)量關(guān)系是激發(fā)學(xué)生思維的基點(diǎn)，只有把“數(shù)量關(guān)系”厘清，才能有效培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決的能力。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要正確解讀教材，揚(yáng)長(zhǎng)避短、博采眾長(zhǎng)，滲透數(shù)學(xué)思想，既要避免一味地對(duì)過(guò)去全盤否定，又要避免“穿新鞋走老路”，只有強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)量意識(shí)，有效構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，才能真正促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的提高，也才能促進(jìn)學(xué)生達(dá)到“稻花香里說(shuō)豐年，聽(tīng)取蛙聲一片”的境界。

（責(zé)編 吳美玲）