☉江蘇省泰興市西城初中 錢(qián) 洋

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），王梨潔老師以一節(jié)勾股定理應(yīng)用“青優(yōu)課”為例對(duì)“非數(shù)學(xué)本質(zhì)偽情境”的商榷引發(fā)筆者感慨和共鳴，一是在當(dāng)前不少教研活動(dòng)中的“點(diǎn)贊”式的教研氛圍下，能提出作者獨(dú)立觀(guān)點(diǎn)，并有理有據(jù)的商榷評(píng)課，值得敬佩；二是就很多“非數(shù)學(xué)本質(zhì)偽情境”來(lái)說(shuō)，確實(shí)應(yīng)該成為“過(guò)街之鼠”，影響了高品質(zhì)數(shù)學(xué)教學(xué)的追求.受到王老師的啟發(fā)，本文也從一節(jié)“青優(yōu)課”的教學(xué)情境說(shuō)起，對(duì)教學(xué)情境提出自己的一些實(shí)踐與思考，提供研討.

一、“直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系”的情境創(chuàng)設(shè)概述

直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0圖形 l O O O l公共點(diǎn)名稱(chēng) 交點(diǎn) 切點(diǎn)直線(xiàn)名稱(chēng) 割線(xiàn) 切線(xiàn)l

情景導(dǎo)入：欣賞博鰲美景和《海上日出》視頻，如果把太陽(yáng)看成一個(gè)圓，把地平線(xiàn)看成一條直線(xiàn)，太陽(yáng)升起的過(guò)程就體現(xiàn)了直線(xiàn)和圓幾種不同的位置關(guān)系，直線(xiàn)與圓到底有哪幾種位置關(guān)系呢？

教學(xué)組織：以欣賞視頻開(kāi)課，通過(guò)學(xué)生觀(guān)賞亞洲論壇、玉帶灘的美景和“海上日出”視頻，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，增強(qiáng)學(xué)生熱愛(ài)家鄉(xiāng)的情感.

構(gòu)建新知，提出問(wèn)題：①直線(xiàn)和圓有幾種位置關(guān)系？

②類(lèi)比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，思考“直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系可以用哪些量的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示”？

③怎樣判斷直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系？

教學(xué)組織：以設(shè)“問(wèn)”的方式讓學(xué)生自學(xué)，讓學(xué)生在自學(xué)過(guò)程中解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生的自學(xué)能力.在教師問(wèn)題引導(dǎo)之下學(xué)生應(yīng)該可以回答出直線(xiàn)和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系；進(jìn)而師生合作歸納出下表：

類(lèi)比探究：上面從“形”的角度表示了直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，那么，還可以用哪些量的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系呢？

引導(dǎo)問(wèn)題：想想點(diǎn)和圓有幾種位置關(guān)系？點(diǎn)和圓的位置關(guān)系對(duì)應(yīng)了怎樣的數(shù)量關(guān)系？

我們也可用圓心到直線(xiàn)的距離d和圓的半徑r的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示和對(duì)應(yīng)直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，

類(lèi)比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系中d與r的數(shù)量關(guān)系，為探究直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系中的數(shù)量關(guān)系做鋪墊.

師生活動(dòng)：請(qǐng)大家在直線(xiàn)和圓的三種位置關(guān)系的圖形中，畫(huà)出圓心到直線(xiàn)的距離，然后小組合作探究，當(dāng)直線(xiàn)和圓相交、相切、相離時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生探究后歸納（教師板書(shū)）：

直線(xiàn)和圓相交?d＜r；直線(xiàn)和圓相切?d=r；直線(xiàn)和圓相離?d＞r.

接著進(jìn)入驗(yàn)證、證明、例習(xí)題應(yīng)用與講評(píng)，不是后文關(guān)注的重點(diǎn)，限于篇幅，這里略去.

二、關(guān)于教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的一些思考

第一，基于數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯連貫的視角優(yōu)選“開(kāi)課情境”

以文1批判的“非數(shù)學(xué)本質(zhì)的偽情境”來(lái)看，本文所選課例中的開(kāi)課情境（播放視頻、欣賞風(fēng)景）也屬于一種非數(shù)學(xué)本質(zhì)的生活情境.從章建躍博士前幾年一直倡導(dǎo)的基于數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯連貫的視角來(lái)看，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系是承接點(diǎn)和圓的位置關(guān)系而來(lái)，開(kāi)課情境可優(yōu)選從點(diǎn)和圓的位置關(guān)系出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生研究直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系.更“上位”來(lái)看，涉及平面幾何所研究圖形的三個(gè)要素：形狀、大小和位置.從七年級(jí)幾何入門(mén)階段就研究了點(diǎn)和點(diǎn)的位置關(guān)系，點(diǎn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系，直線(xiàn)和直線(xiàn)的位置關(guān)系.舉例來(lái)說(shuō)，有些學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖中的過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)適應(yīng)性不好，究其根本，是對(duì)點(diǎn)與直線(xiàn)有兩種位置關(guān)系沒(méi)有辨明，所以當(dāng)提出過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)時(shí)，往往沒(méi)有先進(jìn)行分類(lèi)討論，想清有兩種不同的位置，而兩種不同的情形作垂線(xiàn)的作法步驟是有區(qū)別的.這樣來(lái)看，就直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系來(lái)看，也就屬于兩種圖形之間的位置關(guān)系，在這基礎(chǔ)上還可引導(dǎo)優(yōu)秀學(xué)生繼續(xù)拓展思考圓和圓的位置關(guān)系.

第二，從“數(shù)形結(jié)合”的觀(guān)點(diǎn)看直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系

我們知道，中學(xué)數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)相比有很多不同的學(xué)段特點(diǎn)，比如小學(xué)更多的是常量數(shù)學(xué)，而初中開(kāi)始有變量參與，突出體現(xiàn)在代數(shù)、方程、函數(shù)這些知識(shí)領(lǐng)域；還有，以函數(shù)為例，突出體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，這是中學(xué)數(shù)學(xué)最具學(xué)段特征的數(shù)學(xué)思想方法，將原來(lái)的方程、方程組、不等式或不等式組都在平面直角坐標(biāo)系中以函數(shù)圖像得到高觀(guān)點(diǎn)的理解.從“數(shù)形結(jié)合”的觀(guān)點(diǎn)來(lái)深刻理解點(diǎn)和圓和位置關(guān)系、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系以及圓和圓的位置關(guān)系，就能獲得一個(gè)更高觀(guān)點(diǎn)的概念理解.因?yàn)閷W(xué)生在高中階段還會(huì)繼續(xù)研究圓的解析式，將圓放置在平面直角坐標(biāo)系中，從“數(shù)”（圓的方程）的角度進(jìn)行研究.從這個(gè)角度來(lái)看，雖然是在平面幾何的體系下研究圓，但教學(xué)時(shí)要十分重視“以數(shù)馭形”的數(shù)學(xué)思想的滲透.

第三，從“開(kāi)課情境”的創(chuàng)設(shè)走向“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的研究

南京大學(xué)哲學(xué)系鄭毓信教授新近在文4中指出：“問(wèn)題引領(lǐng)”與“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”應(yīng)當(dāng)被看成“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)”十分重要的一個(gè)方面，更為廣大一線(xiàn)教師改進(jìn)教學(xué)指明了努力方向.從這個(gè)角度來(lái)看，很多初任教師把教研精力都過(guò)多的放在所謂“開(kāi)課情境”的設(shè)計(jì)上，結(jié)果像上文課例中一樣以一些視頻或圖文引入新課，看是“有趣”、活躍了課堂的氛圍，吸引了學(xué)生的眼球和興趣，但是卻弱化了與本課教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，有些視頻的內(nèi)容甚至?xí)?duì)學(xué)生“靜心”于本課所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生干擾作用，比如有些視頻中有一些優(yōu)美、激昂的音樂(lè)，有些有一些故事情節(jié)夾雜情境之中，學(xué)生沒(méi)有能隨著老師的眼光抽象出本課需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念，卻還沉浸、陶醉于視頻其他內(nèi)容之中，這就適得其反了.我們的建議是，認(rèn)真傾聽(tīng)鄭毓信教授關(guān)于“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)研究，即精心選取那些能夠驅(qū)動(dòng)全課教學(xué)進(jìn)程的問(wèn)題情境，具體來(lái)說(shuō)，以直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系為例，返樸歸真的問(wèn)題情境可以這樣設(shè)計(jì)：課前先在黑板上畫(huà)出三個(gè)圓，開(kāi)課階段安排學(xué)生復(fù)習(xí)點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并讓學(xué)生到黑板上畫(huà)出示意圖以及點(diǎn)到圓心的距離與點(diǎn)和圓的位置關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生思考從點(diǎn)到線(xiàn)，自主探究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，再安排學(xué)生類(lèi)比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系“數(shù)形結(jié)合”的進(jìn)行小結(jié)歸納.

值得一提的是，“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”并不是一個(gè)新的理念，恰恰相反，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)在我國(guó)數(shù)學(xué)教育課例實(shí)踐研究中已有很多比較成熟的做法，這里不妨列舉兩個(gè)典型的研究方向：其一，全國(guó)著名特級(jí)教師、南通市啟秀中學(xué)李庾南老師及其團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)的“單元教學(xué)”，往往也是以一個(gè)典型問(wèn)題驅(qū)動(dòng)新課，實(shí)施“先見(jiàn)森林、再見(jiàn)樹(shù)木”的單元教學(xué)；其二，華東師范大學(xué)汪曉勤教授及其團(tuán)隊(duì)倡導(dǎo)的HPM課例研究，也是基于數(shù)學(xué)史的考證研究，精選歷史上一些數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)或典型問(wèn)題的歷史源流，恰當(dāng)改編融入到數(shù)學(xué)教學(xué)之中，成為驅(qū)動(dòng)整節(jié)課或某個(gè)單元數(shù)學(xué)知識(shí)的有效背景與載體.

三、寫(xiě)在后面

教學(xué)情境是一個(gè)很大的話(huà)題，我們從一個(gè)具體的直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的“開(kāi)課情境”說(shuō)起，闡釋了一些個(gè)性化認(rèn)識(shí)，既不一定準(zhǔn)確，更不一定正確，只是想表明，在情境創(chuàng)設(shè)這個(gè)大話(huà)題面前，我們還有很多值得思考的視角，包括一些知名數(shù)學(xué)教育學(xué)者的觀(guān)點(diǎn)值得我們借鑒和踐行.