鄢正清，武 凱，宋 坤，孫 宇

（南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094）

1 引言

自堆式螺旋速凍機(jī)以其生產(chǎn)效率高、自動(dòng)化程度高、占地面積小、衛(wèi)生條件好等優(yōu)點(diǎn)引領(lǐng)了未來新型食品速凍裝備的發(fā)展趨勢，目前眾多速凍食品進(jìn)口國專門要求進(jìn)口的速凍食品必須從這類自堆式螺旋速凍裝置加工生產(chǎn)。我國作為速凍食品的出口大國，研究自堆式螺旋速凍機(jī)對于促進(jìn)我國速凍食品工業(yè)的快速健康發(fā)展具有重要意義。

在螺旋自堆式機(jī)械系統(tǒng)中，螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌對于螺旋塔的支撐和傳動(dòng)起著重要作用，是自堆式螺旋速凍機(jī)的重要功能部件。在螺旋塔堆疊區(qū)，兩根同心的環(huán)形驅(qū)動(dòng)鏈條分別定位在架空的兩根同心螺旋線軌道上，并在軌道上運(yùn)行，該螺旋軌道具有一定的升角并只有一個(gè)導(dǎo)程，使驅(qū)動(dòng)鏈條形成一個(gè)導(dǎo)程的螺旋線軌跡。螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌作為重要的傳動(dòng)部件與支撐部件，其結(jié)構(gòu)布局對于自堆積螺旋塔的穩(wěn)定形成和結(jié)構(gòu)緊湊性有重要作用，其性能極大地影響著自堆式螺旋速凍機(jī)的運(yùn)行速度、運(yùn)行穩(wěn)定性和噪聲控制。接觸剛度作為螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的性能指標(biāo)之一，具有重要的研究意義。

2 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)布局

內(nèi)、外側(cè)螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌示意圖，如圖1所示。在外側(cè)導(dǎo)軌中，驅(qū)動(dòng)輪側(cè)水平于地面且高度與交叉處A點(diǎn)的高度相同，AM、、NN′段水平于地面，AA′的垂直距離為h+Δh，式中：h—輸送

帶支撐擋邊的高度；Δh—防止干涉的間隙；從動(dòng)輪與水平面呈一定夾角γ，ON′、PA′段靠近從動(dòng)輪部分平行于從動(dòng)輪，并通過弧線分別與負(fù)載段和驅(qū)動(dòng)段平緩銜接；圖中C點(diǎn)和Q點(diǎn)為驅(qū)動(dòng)鏈條負(fù)載段和驅(qū)動(dòng)段脫離重合的點(diǎn)，張緊導(dǎo)向?qū)к壍陌惭b長度為L。

由于驅(qū)動(dòng)段驅(qū)動(dòng)部分和從動(dòng)部分銜接處的弧線平緩，故將其近似為直線，于是從動(dòng)輪與水平面所呈夾角γ與驅(qū)動(dòng)鏈條位置滿足關(guān)系：

考慮到輸送帶自堆積的順利驅(qū)動(dòng)與鏈條的合理布置，應(yīng)滿足：

考慮到驅(qū)動(dòng)鏈條位置結(jié)構(gòu)的緊湊性，應(yīng)滿足：

圖1 內(nèi)、外側(cè)螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌示意圖Fig.1 The Diagram of Inner and Outer Spiral Rolling Guide

在內(nèi)側(cè)導(dǎo)軌中，驅(qū)動(dòng)輪側(cè)水平于地面且高度與交叉處G點(diǎn)的高度相同，E′E、ED、DG段水平于地面，GG′的垂直距離為h+Δh；從動(dòng)輪與水平面夾角為，IH、JE′段靠近從動(dòng)輪部分平行于從動(dòng)輪，并通過弧線分別與負(fù)載段和驅(qū)動(dòng)段平緩銜接；圖中：F點(diǎn)—驅(qū)動(dòng)鏈條負(fù)載段和驅(qū)動(dòng)段脫離重合的點(diǎn)。

與外側(cè)驅(qū)動(dòng)鏈條位置不同，內(nèi)側(cè)驅(qū)動(dòng)鏈條驅(qū)動(dòng)段的驅(qū)動(dòng)側(cè)和從動(dòng)側(cè)在螺旋塔內(nèi)不會(huì)占據(jù)額外的位置，因此它只需滿足：

其中：JE′＞L，I H＞L，θ—螺旋導(dǎo)軌的螺旋升角。

3 螺旋導(dǎo)軌系統(tǒng)的力學(xué)模型分析

在螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)中，滾珠同驅(qū)動(dòng)鏈條和軌道的溝槽同時(shí)接觸，在外載荷的作用下導(dǎo)軌和驅(qū)動(dòng)鏈條的彈性變形相對滾珠的彈性變形較小，因此只考慮滾動(dòng)體的彈性變形[2]。螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌所在圓周直徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其導(dǎo)程和軌道橫截面尺寸，為簡化研究，假設(shè)所取的單位節(jié)距呈水平直線運(yùn)行，且每個(gè)節(jié)距內(nèi)參與接觸的滾珠數(shù)相同（為n個(gè)）。螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌單個(gè)節(jié)距的整體受力情況簡化的力學(xué)模型，如圖2所示。為滾珠的半徑，為導(dǎo)軌溝槽和驅(qū)動(dòng)鏈條溝槽的圓弧半徑。

根據(jù)自堆式螺旋速凍機(jī)的工作原理[3-4]，導(dǎo)軌系統(tǒng)所受載荷位于驅(qū)動(dòng)鏈條右側(cè)邊緣，作用點(diǎn)為A點(diǎn)，滾珠同溝槽的接觸壓力為F1，接觸角為β。導(dǎo)軌系統(tǒng)左側(cè)與塑料擋塊接觸處分別受支持力FN和F2，式中：F2作用點(diǎn)為B點(diǎn)。在垂直方向受力滿足：

圖2 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌單個(gè)節(jié)距的力學(xué)模型Fig.2 The Mechanical Model of Single Pitch of Spiral Rolling Guide

根據(jù)Hertz接觸理論，單個(gè)滾珠的法向接觸力同變形之間滿足[5]：

式中：δ1—單個(gè)滾珠在接觸力F1的作用下產(chǎn)生的彈性變形；kh—Hertz接觸常量，它由滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)中相接觸部分的幾何尺寸及其材料特性所決定，即：

式中：μ—與彈性變形區(qū)橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù)；Ci—Hertz接觸理論的材料特性；v1、v2—滾珠和溝槽（驅(qū)動(dòng)鏈條、導(dǎo)軌）材料的泊松比；E1/GPa、E2/GPa—滾珠和溝槽（驅(qū)動(dòng)鏈條、導(dǎo)軌）材料的彈性模量；Σρ/mm-1—滾珠與溝槽接觸的綜合曲率。

通常，在導(dǎo)軌系統(tǒng)的裝配過程中，為消除滾珠與溝槽間的間隙并提高導(dǎo)軌系統(tǒng)的接觸剛度，會(huì)對導(dǎo)軌系統(tǒng)施加預(yù)緊力[6]。假設(shè)在預(yù)緊力的作用下，每個(gè)滾珠所受法向接觸力均為F0，其彈性變形為δ01，它們之間滿足：

同時(shí)，在預(yù)緊力的作用下點(diǎn)B處受壓力F′2，彈性變形為 δ02，B點(diǎn)處壓力滿足：

在外載荷的作用下滾珠發(fā)生彈性變形，假設(shè)導(dǎo)軌溝槽和驅(qū)動(dòng)鏈條溝槽與滾珠始終緊密接觸，則驅(qū)動(dòng)鏈條以導(dǎo)軌和滾珠的接觸點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心有小角度的旋轉(zhuǎn)。導(dǎo)軌系統(tǒng)的相對變形ΔZ可用點(diǎn)A的相對垂直位移表示，即：

由于驅(qū)動(dòng)鏈條相對塑料擋塊彈性模量大，假設(shè)驅(qū)動(dòng)鏈條在受力過程中不發(fā)生變形，則點(diǎn)A的相對垂直位移與點(diǎn)B的相對垂直位移滿足：

式中：a—A點(diǎn)與C點(diǎn)的水平距離；b—C點(diǎn)與B點(diǎn)的水平距離。

將式（8）、式（11）代入式（14）得：

式中：k—塑料擋塊的彈性系數(shù)。

式（16）建立了螺旋導(dǎo)軌系統(tǒng)中滾珠所受壓力F1同外載荷Q和預(yù)緊力F0之間的函數(shù)關(guān)系，表達(dá)為：

將式（17）代入式（8）和式（13）可得：

式（17）建立了導(dǎo)軌系統(tǒng)外載荷同相對變形ΔZ之間的函數(shù)關(guān)系。進(jìn)一步將式（16）對Q求導(dǎo)，將式（18）對ΔZ求導(dǎo)，聯(lián)立可獲得導(dǎo)軌系統(tǒng)法向接觸剛度的表達(dá)式：

由式（19）可知螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)鏈條法向接觸剛度受預(yù)緊力以及外載荷的影響，且為非線性的。

4 實(shí)例計(jì)算與仿真分析

4.1 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的相關(guān)參數(shù)

以國產(chǎn)某型號自堆式螺旋速凍機(jī)為分析對象，其主要參數(shù)，如表1所示。

表1 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的的主要參數(shù)Tab.1 The Main Parameters of Spiral Rolling Guide

螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)中的導(dǎo)軌、滾珠以及驅(qū)動(dòng)鏈條均采用鋼制材料，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，塑料擋塊采用尼龍1010材料，彈性模量E為1.07GPa，與驅(qū)動(dòng)鏈條單位節(jié)距內(nèi)有效接觸面積S為114mm2，有效接觸長度l為1.5mm，由此可得塑料擋塊在受力時(shí)的彈性系數(shù)k為：

在Hertz接觸理論中當(dāng)曲率比f≥0.6時(shí)，最大接觸應(yīng)力與接觸尺寸誤差比較小，當(dāng)曲率比f≥0.54時(shí)，接觸尺寸誤差與最大應(yīng)力誤差分別為2.40%和4.63%，當(dāng)f≤0.54時(shí)誤差會(huì)越來越大，甚至不能使用[7-8]，而該螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的曲率比在誤差允許范圍內(nèi)，因此適用于Hertz接觸理論求解。

根據(jù)以上參數(shù)，滾珠與溝槽接觸的綜合曲率為[9]：

主曲率函數(shù)為：

根據(jù)主曲率函數(shù) F（ρ）值，查表[10]可得 μ=0.765。

將以上各參數(shù)代入式（8）、式（9）、式（10）中，可得：

4.2 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)接觸剛度的求解

式（23）建立起了單個(gè)滾珠-溝槽接觸變形和接觸壓力間的函數(shù)關(guān)系，將式（23）對變形量求導(dǎo)可得法向剛度：

從式（23）、式（24）中可以看出滾珠-溝槽間的接觸變形是非線性的，接觸剛度隨著變形量的增加而逐漸增大，但增長幅度在逐漸減小。由此可以看出，適當(dāng)?shù)貙?dǎo)軌系統(tǒng)施加預(yù)緊力可以有效提高導(dǎo)軌系統(tǒng)的接觸剛度。

所分析的自堆式螺旋速凍機(jī)正常工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)鏈條所受外載荷一般小于6083kg，根據(jù)內(nèi)外螺旋導(dǎo)軌的尺寸，假設(shè)每個(gè)節(jié)距的驅(qū)動(dòng)鏈條受力均勻，則外導(dǎo)軌和內(nèi)導(dǎo)軌單位節(jié)距所受外載荷分別約為195N和310N。故取外載荷，求解不同預(yù)緊力下螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)的法向接觸剛度。預(yù)緊力取4個(gè)等級，分別為500N、1000N、1500N、2500N。根據(jù)式（16）和式（18）可繪制出外載荷同相對變形之間的關(guān)系，如圖3所示。根據(jù)式（19）可進(jìn)一步繪制外載荷同導(dǎo)軌系統(tǒng)法向接觸剛度之間的關(guān)系，如圖4所示。

圖3 不同預(yù)緊力下外載荷同導(dǎo)軌相對變形之間的曲線關(guān)系Fig.3 The Curves of Relationship Between the External Load of Different Pre-Tightening Force and Relative Deformation of Guide

圖4 不同預(yù)緊力下外載荷同導(dǎo)軌接觸剛度之間的關(guān)系曲線Fig.4 The Curves of Relationship Between the External Load of Different Pre-Tightening Force and Contact Stiffness of Guide

從圖3、圖4中可以看出在無預(yù)緊力條件下螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的相對變形較大，導(dǎo)軌接觸剛度小而且受載荷影響較大，而導(dǎo)軌系統(tǒng)在有預(yù)緊力的條件下相對變形小，接觸剛度大，受外載荷影響小，此時(shí)可以近似導(dǎo)軌的接觸剛度為常數(shù)。在4個(gè)不同預(yù)緊力等級下，導(dǎo)軌的接觸剛度隨著預(yù)緊力的增大而顯著增大，但較大的預(yù)緊力也會(huì)使得驅(qū)動(dòng)鏈條與塑料擋塊接觸處的壓力P2增大，從而增大該處的摩擦力，使得塑料擋塊加劇磨損。聯(lián)立式（7）和式（15）可繪制出不同預(yù)緊力下外載荷Q同P2之間的關(guān)系，如圖5所示。在無預(yù)緊力的條件下P2受外載荷的影響較大，在有預(yù)緊力的條件下P2幾乎不受外載荷的影響，但隨著預(yù)緊力的增加P2明顯增大。

圖5 不同預(yù)緊力下外載荷同塑料擋塊所受壓力之間的曲線關(guān)系Fig.5 The Curves of Relationship Between the External Load of Different Pre-Tightening Force and Pressure on the Plastic Block

因此，在螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的應(yīng)用中，在系統(tǒng)相對變形允許的范圍內(nèi)適當(dāng)增加預(yù)緊力，并使塑料擋塊所受壓力適中，從而在不大幅加劇塑料擋塊磨損的情況下減小導(dǎo)軌的變形，提高導(dǎo)軌的穩(wěn)定性。

4.3 螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)的有限元分析

為了驗(yàn)證所建立的模型的合理性，下面對螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌系統(tǒng)在ANSYSWorkbench中進(jìn)行有限元分析。為了簡化導(dǎo)軌系統(tǒng)三維模型的建立以及提高ANSYSWorkbench的求解速度，所建立的導(dǎo)軌系統(tǒng)模型只包含一個(gè)滾珠，如圖6所示。

圖6 導(dǎo)軌系統(tǒng)實(shí)體模型Fig.6 The Entity Model of Guide System

圖中：A處—外載荷的作用；B處—預(yù)緊力的施加；C處—導(dǎo)軌的約束，其中，外載荷為Q/n。在對螺旋導(dǎo)軌系統(tǒng)模型前處理完畢后，在ANSYSWorkbench中對滾珠-溝槽接觸變形進(jìn)行求解，求解結(jié)果，如表2所示。

表2 ANSYS Workbench求解結(jié)果Tab.2 The Calculation Results in ANSYS Workbench

當(dāng)外載荷為0時(shí)，滾珠的變形由對應(yīng)的預(yù)緊力產(chǎn)生，大小為δ01。將表2中的數(shù)值代入式（13）中可繪制出外載荷同相對變形ΔZ之間的關(guān)系，如圖7所示。

通過對比不同預(yù)緊力下導(dǎo)軌系統(tǒng)相對變形的理論模型解與仿真解，如圖3、圖7所示?？梢钥闯瞿Ｐ屠碚撉蠼饨Y(jié)果與有限元仿真結(jié)果具有較好的一致性，從而說明了上述螺旋導(dǎo)軌系統(tǒng)建模方法的合理性以及理論模型的正確性。因此，對實(shí)際中螺旋導(dǎo)軌的裝配和預(yù)緊具有一定的指導(dǎo)意義。

5 結(jié)論

（1）根據(jù)自堆式螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的工作原理對其空間位置和布局進(jìn)行了分析，并提出了導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)合理性、緊湊性及螺旋塔成形穩(wěn)定性需要滿足的條件。（2）根據(jù)導(dǎo)軌系統(tǒng)中單個(gè)滾珠-溝槽的Hertz接觸模型和對自堆式螺旋速凍機(jī)螺旋滾動(dòng)導(dǎo)軌的局部受力分析，完成了導(dǎo)軌系統(tǒng)相對變形的建模和接觸剛度的建模。（3）以國產(chǎn)某自堆式螺旋速凍機(jī)導(dǎo)軌為分析對象，求解了4種不同預(yù)緊力等級下外載荷同相對變形和接觸剛度K之間的關(guān)系，結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)預(yù)緊力越大，導(dǎo)軌相對變形越小，剛度越大；同時(shí)，塑料擋塊所受壓力隨預(yù)緊力的增大而顯著增大。（4）對導(dǎo)軌局部建立三維模型后進(jìn)行有限元仿真，求解結(jié)果與理論模型的求解結(jié)果具有較好的一致性，證明了理論建模方法的合理性與模型的正確性。