楊 柳， 楊紹普， 楊月婷

(1.北京交通大學 機械工程學院，北京 100044；2.石家莊鐵道大學 機械工程學院，石家莊 050043)

工程中受復雜激勵作用下，機車雙轉(zhuǎn)子傳動系統(tǒng)動態(tài)分析是機車運行狀態(tài)和疲勞強度的關鍵。尤其是在機車高速運行中，出現(xiàn)的軸承及齒輪故障會對機車運行帶來很大的安全隱患。所以如何準確建立非線性轉(zhuǎn)子動態(tài)模型及檢測轉(zhuǎn)子的振動成為分析的關鍵。

機車雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由輪對齒輪、軸承及主、從轉(zhuǎn)軸組成。最初，Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，經(jīng)常被用作研究大型柔性轉(zhuǎn)子結(jié)構模型，系統(tǒng)穩(wěn)定性、臨界轉(zhuǎn)速和動態(tài)特性[1-3]。Jeffcott[4]最早提出并分析了轉(zhuǎn)子動力學單自由度模型。并研究了在超臨界運行時，轉(zhuǎn)子具有自動定心現(xiàn)象。之后，Cveticanin[5]建立了Jeffcott 轉(zhuǎn)子的二階撓度函數(shù)的非線性微分方程，并對Jeffcott轉(zhuǎn)軸進行了穩(wěn)定性分析。Ishida等[6]利用Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，出現(xiàn)2倍轉(zhuǎn)頻時，分析系統(tǒng)非線性分岔特性及內(nèi)共振現(xiàn)象。隨著工業(yè)發(fā)展，對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸-齒輪-軸承耦合系統(tǒng)分析是成為研究重點[7]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性研究主要從以下幾個方面，首先，對柔性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性及臨界轉(zhuǎn)速的研究。其次，不平衡質(zhì)點對幅值和相位角的影響。Dimentberg[8]是第一個給出簡支撐邊界條件下，考慮轉(zhuǎn)軸質(zhì)量，轉(zhuǎn)子齒輪耦合系統(tǒng)的動態(tài)方程。魏靜等[9]建立高速機車齒輪傳動系統(tǒng)彎扭耦合多自由度動力學模型，定量分析了齒輪內(nèi)部激勵、齒面間隙、軸承游隙等參數(shù)等對高速機車齒輪傳動系統(tǒng)的影響。Eshleman等[10]研究了軸承黏彈性條件下，彈性轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速求解及幅值響應分析。唐進元等[11]建立了含齒側(cè)間隙和徑向間隙的動力學模型，著重分析研究了齒輪系統(tǒng)的混沌和分岔現(xiàn)象。竇唯等[12]針對實際高速齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，建立了考慮齒輪嚙合及扭轉(zhuǎn)共同作用的彎扭耦合非線性振動模型，研究了偏心量、齒輪嚙合剛度等參數(shù)對系統(tǒng)振動響應的影響規(guī)律。Luczko[13]建立鐵木辛柯模型，分析了軸轉(zhuǎn)子動力學響應。Shiau等[14]求解了復合支撐條件下，旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。而對于雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學的研究，主要從利用有限元模方法分析雙轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)，求解其臨界轉(zhuǎn)速及模態(tài)變形[15-16]。其中，Gupta等[17]采用傳遞矩陣法計算雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和振型, 分析軸承剛度和阻尼系統(tǒng)響應。

以上文獻研究可以看出，現(xiàn)有轉(zhuǎn)子動力學模型大多數(shù)只是考慮轉(zhuǎn)子質(zhì)量的影響，而忽略了支撐軸承、嚙合剛度等非線性因素的影響，對考慮齒輪-轉(zhuǎn)軸-軸承傳動系統(tǒng)的非線性振動模型的較少。本文在前人基礎上，研究了復合邊界條件下，考慮轉(zhuǎn)軸質(zhì)量的動力學模型，并綜合針對軸承、輪軌激勵、齒輪嚙合剛度的基礎上，建立了傳動系統(tǒng)的非線性雙轉(zhuǎn)子動力學模型，求解了其臨界轉(zhuǎn)速，不同轉(zhuǎn)速下固有頻率、輪軌接觸力及齒輪剛度等非線性參量變化對傳動系統(tǒng)動力學特性的影響。

1 動力學模型

考慮隨機輪軌激勵，輪對剛性支撐，軸承-齒輪嚙合剛度等條件下，機車非線性雙轉(zhuǎn)子軸的動力學模型，如圖1所示。

圖1 機車轉(zhuǎn)子軸模型

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學模型如圖1所示，在該模型中，假設兩輪對彈性支撐，考慮軸承及齒輪等參數(shù)的影響。圖1中:T1為轉(zhuǎn)子扭矩;m1,m2為軸承及M2c,M1c大小齒輪質(zhì)量;M2i為左右輪對質(zhì)量。Ω為輸入轉(zhuǎn)動角速度;I1j,I2d2,I2oc,I1oc分別為軸箱軸承、輪對、大小齒輪轉(zhuǎn)動慣量;c,k(t)分別為輪齒嚙合阻尼、剛度;w1,v1,w2,v2分別為主、從動軸橫向及其縱向彎曲位移變形量;θ1,θ2分別為主、從動扭轉(zhuǎn)位移變形量;I1o,I2o分別為主、從動軸極轉(zhuǎn)動慣量;I1d,I2d分別為主、從動軸轉(zhuǎn)動慣量；A1，A2分別為主、從動軸截面面積；E,G分別為彈性模量、剪切模量。

建立系統(tǒng)非線性動力學模型，綜合考慮轉(zhuǎn)子質(zhì)量及其轉(zhuǎn)動慣量，齒輪及輪對的集中質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量在復合邊界支撐下系統(tǒng)動能及勢能。

轉(zhuǎn)子動能

齒輪動能

(3)

輪對動能

(4)

系統(tǒng)勢能

(5)

(6)

系統(tǒng)嚙合剛度及其阻尼作用能量

(7)

式中:K(t)為齒輪嚙合剛度;Cc齒輪嚙合阻尼系數(shù)；r1,r2為主從動齒輪的基圓半徑。

邊界軸承

軸承剛度、及阻尼剛度對系統(tǒng)影響

(10)

式中:K1b,K2b為主從動軸支撐軸承剛度;c1b,c2b為主從動軸支撐軸承阻尼系數(shù);l1,l2為主動軸及從動軸長度。

外力勢能

(11)

機車垂向平面內(nèi)，車輛與軌道之間的耦合作用下, 通過輪軌接觸實現(xiàn)運動。輪軌垂向作用力由著名的赫茲非線性接觸理論[18]

式中:G為輪軌接觸常數(shù);δw2(t)為輪軌相對變形量，選取軌道變形量為零；P(t)外載荷。

根據(jù)Hamilton最小勢能原理

(12)

將式(1)～式(11)代入得主動輪軸動態(tài)方程

mΩ2(ezsinΩt-eycosΩt)

(13)

Kc[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]=

mΩ2(ezcosΩt-eysinΩt)

(14)

-Teδ(xe)-r1K(t)[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(15)

從動輪軸動態(tài)方程

(16)

-Tfδ(xr)-r2K0[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(17)

K0[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e]=

mΩ2(ezcosΩt-eysinΩt)+δ(xk)P(t)

(18)

式中：P(t)為輪軌激勵;e為偏心距;K(t)為齒輪嚙合剛度，利用Fourier級數(shù)展開嚙合剛度為

K(t)=k0+a1cosΩt+b1sinΩt

(19)

邊界條件

主傳動動軸承支撐下

(20)

(21)

從動傳動軸簡支撐下

(22)

(23)

2 動態(tài)方程化簡

將上列公式代入式(13)～式(23)。

主動輪軸動態(tài)方程

(24)

(25)

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e]

(26)

方程系數(shù)

從動輪軸動態(tài)方程

(27)

(28)

-T負載δ(xr)+T′[δ(x1c)(w1(x,t)+r1θ1)-

δ(x2c)(w2(x,t)-r2θ2)-e(t)]

(29)

方程系數(shù)

邊界條件

主傳動軸簡支撐下

(30)

(31)

從動輪傳動軸邊界

(32)

(33)

方程系數(shù)

3 臨界轉(zhuǎn)速及固有頻率

令方程

z1(x,t)=φ1(x)eiωti+φ1(x)eiωt

z2(x,t)=φ2(x)eiωti+φ2(x)eiωt,θ1(x,t)=ψ(x)eiω1t

代入式(24)～式(29)，其中ε項為零。

主動輪軸模態(tài)方程

(34)

滿足的邊界條件

(35)

從動輪軸模態(tài)方程

(36)

滿足的邊界條件

(37)

由式(34)得，主動軸模態(tài)方程的通解

(38)

(39)

其中系數(shù)為

(40)

其中，主動軸扭轉(zhuǎn)角邊界條件可知

(41)

將式(38)，式(40)代入主動軸彎曲模態(tài)邊界條件式(35)中，其中：c1,c2,c3,c4為任意常數(shù)項，滿足

(42)

式(42)detΔ=0是關于ω的超越方程，有無窮多個解，求解其方程根問題，不能簡單利用迭代求解，本文采用區(qū)間分段法，求解超越非線性方程根問題。如圖2所示，其中，Ω的取值將不直接影響固有頻率的大小，主動軸前三階臨界轉(zhuǎn)速42， 258，577。

圖2 機車主動軸臨界轉(zhuǎn)速

由式(36)得，從動軸模態(tài)方程的通解

(43)

(44)

其中,

(45)

由從動軸扭轉(zhuǎn)角邊界條件可知

(46)

將式(43)、式(45)代入從動軸彎曲模態(tài)邊界條件式(37)中,求取c21,c22,c23,c24方程矩陣detΔ2=0，式中是關于ω的超越方程，有無窮多個解，采用與上式同一解法。其中，系統(tǒng)參數(shù)選定下，轉(zhuǎn)速Ω改變，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的大小如圖3。圖中數(shù)值結(jié)果表明，低價固有頻率的大小受轉(zhuǎn)速影響較小。隨轉(zhuǎn)速Ω的增大高階固有頻率緩慢增加。系統(tǒng)前三階臨界轉(zhuǎn)速值為：12.6，43.8，86.5。

圖3 機車從動軸臨界轉(zhuǎn)速

當Ω=ω臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生時，求取系統(tǒng)機車前三階模態(tài)，如圖4～圖6所示，主動軸耦合模態(tài)值相對較小，從動軸耦合模態(tài)值變化明顯。低階模態(tài)值較大，隨著模態(tài)階數(shù)增加，模態(tài)值減小。

圖4 一階模態(tài)分析

圖5 二階模態(tài)分析

圖6 三階模態(tài)分析

4 系統(tǒng)方程化簡

利用Galerkin方法，離散非線性偏微分方程，試探函數(shù)選取前一階模態(tài)形函數(shù)。

令方程

(47)

代入式(24)～式(29)中，方程微分方程中乘以φ1(x),φ1(x)，并在區(qū)間內(nèi)積分得

系統(tǒng)主動軸動態(tài)方程簡化為

Fr+Ff

(48)

(49)

(50)

系數(shù)如下所示

χ6=β1cη14

系統(tǒng)從動軸動態(tài)方程簡化為

(51)

(52)

(53)

系數(shù)如下所示

5 數(shù)值分析

5.1 時頻響應

機車轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中齒輪嚙合和軸承支撐都是非線性影響因素，整個系統(tǒng)為較復雜的非線性多維方程，因此不必要進行解析求解，在此通過MR-K線性迭代法求解非線性機車雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。本文根據(jù)機車CRH輪對轉(zhuǎn)子作為研究對象，給定系統(tǒng)參數(shù):支撐軸系長度為L=2 000 mm，軸截面外徑R=200 mm，內(nèi)徑為：r=55 mm，車輪質(zhì)量m=305 kg，集中慣性質(zhì)量Io1=18.75 kg·m2，齒輪模數(shù)ma=6 mm，齒數(shù)z1=34,z2=84，齒寬b=70 mm,齒輪的平均嚙合剛度Km。

機車轉(zhuǎn)子受齒輪嚙合剛度及軸承剛度阻尼、軌道激勵作用下，系統(tǒng)響應和頻域分析分別如圖7～圖12所示。取Ω=ω時，圖7時間幅值響應可知，主軸轉(zhuǎn)子縱向振動較小，振動頻率成分較多。幅頻響應可知，頻率f1=2.1 Hz及f2=4 Hz時，出現(xiàn)較大的主軸縱向峰值變化。其中，f1為系統(tǒng)一階固有頻率值，而f2為嚙合頻率。圖中，f3=8.3 Hz及f4=9.2 Hz二倍周期頻率值時幅值出現(xiàn)較大變化。圖8時間幅值響應可知，主軸轉(zhuǎn)子橫向振動較大，齒輪嚙合剛度影響下，響應峰值變化較明顯。幅頻響應中，系統(tǒng)頻率f1及f2時，出現(xiàn)明顯主軸橫向峰值變化。圖9時間幅值響應可知，從動軸轉(zhuǎn)子縱向振動較小，振動比較單一。幅頻響應圖中，頻率f5=1.2時，受輪軌隨機激勵作用，幅值有明顯變化。圖10時間幅值響應可知，受嚙合剛度影響下，系統(tǒng)從動軸轉(zhuǎn)子橫向振動較大。幅頻響應圖中，固有頻率f1時，響應幅值較大。圖11響應可知，主動軸扭轉(zhuǎn)角頻率成分較多，響應變化較大。圖12從動軸扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)子橫向振動較大。幅頻響應圖中，齒輪嚙合頻率f2時，響應幅值較大。

(a) 主動軸v向時程響應

(b) 主動軸v向的頻譜圖

(a) 主動軸w向時程響應

(b) 主動軸w向的頻譜圖

(a) 從動軸v向的時程響應

(b) 從動軸v向的頻譜圖

(a) 從動軸w向的時程響應

(b) 從動軸w向的頻譜圖

(a) 主動軸扭轉(zhuǎn)角時程響應

(b) 主動軸扭轉(zhuǎn)角的頻譜圖

(a) 從動軸扭轉(zhuǎn)角時程響應

(b) 從動軸扭轉(zhuǎn)角的頻譜圖

5.2 參數(shù)影響及幅頻響應

機車在齒面磨損及點蝕破壞下，齒面均勻磨損變化較小，點蝕面更容易引起嚙合剛度的變化。由其早期齒面磨損對嚙合剛度影響不大，產(chǎn)生的振動激勵很小。這里，選取齒面產(chǎn)生12%的點蝕時，嚙合剛度變化約為6%[19]。圖13和圖14中，由于點蝕作用下齒輪嚙合剛度增大，系統(tǒng)一階固有頻率右移，主動軸響應值增大。圖15和圖16中，點蝕減小,從動軸縱向響應向右移、幅值較小，橫向幅值變大。圖17和圖18中，點蝕導致主動軸固有頻率處出現(xiàn)較大變化，對從動軸振動影響較小。

由圖19中可知，式(53)中輪軌激勵P的增加，主軸轉(zhuǎn)子的幅值開始呈速減小趨勢，達到一定值時系統(tǒng)幅值受輪軌激勵影響較小。圖20中，當輪對磨損及扁疤時，輪軌激勵P的增加，從動軸橫向幅值減小，輪軌接觸較為平緩，隨著輪軌激勵的不斷增加，橫向幅值逐漸增大。

圖13 幅頻響應

圖14 幅頻響應

圖15 幅頻響應

圖16 幅頻響應

圖17 幅頻響應

圖18 幅頻響應

圖19 輪軌激勵影響Fig.19 Wheel-rail excitation圖20 輪軌激勵影響Fig.20 Wheel-rail excitation

6 結(jié) 論

本文建立了連續(xù)質(zhì)量軸轉(zhuǎn)子傳動系統(tǒng)彎扭耦合動力學模型，考慮了非線性齒輪嚙合剛度及輪軌接觸的影響。求解系統(tǒng)在復雜邊界條件下，轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速大小。計算與分析，得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合的非線性振動特征及系統(tǒng)振動響應規(guī)律。

(1) 建立了連續(xù)轉(zhuǎn)子模型，能更好的分析輪對、軸、齒輪之間的相互關系及影響。

(2) 復合邊界條件下，精確求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率方程，及其耦合模態(tài)值。

(3) 受齒輪嚙合剛度下，傳動系統(tǒng)縱向橫向彎曲幅值變化較為顯著，扭轉(zhuǎn)角在其耦合頻率幅值較大。點蝕作用下，一階固有頻率右移，主動軸響應值增大。

(4) 輪軌激勵P接觸耦合作用下，輪軌接觸力增大，從動軸橫向彎曲變化顯著。

總上，機車連續(xù)質(zhì)量軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，不同于傳統(tǒng)Jeffcott模型，對鐵路機車傳動系統(tǒng)動力學分析及齒輪軸承等故障分析提供了很好的動力學模型。